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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章：因式分解
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列等式从左到右是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
7．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下面分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a.，周长为14，面积为12，请计算的值为（ ）
A．42 B．84 C．76 D．82
10．如图，在中， ，，， 点D在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形， 使， 连接， 若 则下列关系式正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．分解因式：
12．分解因式： ．
13．分解因式的结果是 ．
14．如果a＋b＝2022，a-b＝1，那么＝ 2022 ．
15．甲.乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
17．（7分）已知，xy＝3，求的值．
18．（6分）按要求解下列各题：
(1)计算：；
(2)因式分解：；
(3)先化简，再求值：，其中．
19．（8分）【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式．
(1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
(2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
20．（8分）（1）求证：当n为正整数时，能被8整除；
（2）已知a，b，c是的三边长，试说明的值一定是负数．
21．（9分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
(2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
22．（9分）配方法是数学中重要的思想方法之一．它是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形，化为完全平方或几个完全平方式和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
问题呈现：若，求a.b的值．
方法介绍：
①看到可想到如果添上常数4恰好就是
同理，恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为由平方的非负性可得且．
经验运用：
(1)已知，则的值为 ．
(2)若，则的值为 ．
(3)若，，判断.的大小关系，并说明理由．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章：因式分解
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列等式从左到右是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意，选项错误；
B.，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意，选项错误；
C.是因式分解，故该选项正确；
D.，不是整式，不属于因式分解，不符合题意，选项错误；
故选：C．
2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C.，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意
D.，符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
3．多项式因式分解的结果是（ A ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
5．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（）
A． B． C． D．
解：，
则把多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故选：B．
6．已知，，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
解：，，
故选：A
7．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A. ，故本选项不正确，不符合题意；
B. ，本选项正确，符合题意；
C. ，故本选项不正确，不符合题意；
D. ，不能再分解，故本选项不正确，不符合题意．
故选：B
8．下面分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.，不符合题意；
B.，符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意．
故选：B．
9．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a.，周长为14，面积为12，请计算的值为（ ）
A．42 B．84 C．76 D．82
解：由题意得：，，
，
，
故选：．
10．如图，在中， ，，， 点D在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形， 使， 连接， 若 则下列关系式正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
解：过点E作于点F，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即；
故选A
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．分解因式：
解：原式
．
故答案为：．
12．分解因式： ．
解：
．
故答案为：．
13．分解因式的结果是 ．
解：
．
故答案为：．
14．如果a＋b＝2022，a-b＝1，那么＝ 2022 ．
15．甲.乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
解：（1）∵，
∴乙正方形的边长为，
∴，
故答案为：20；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得，
即，
∴或，
∴或（舍去）
∴，
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
17．（7分）已知，xy＝3，求的值．
解：．
∵，xy＝3，
∴．
18．（6分）按要求解下列各题：
(1)计算：；
(2)因式分解：；
(3)先化简，再求值：，其中．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式
19．（8分）【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式．
(1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
(2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
图3的面积为，
又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积，
；
（2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的
同理可得；
20．（8分）（1）求证：当n为正整数时，能被8整除；
（2）已知a，b，c是的三边长，试说明的值一定是负数．
解：（1）证明：∵，
∴当n为正整数时，原式能被8整除．
（2）
．
∵a，b，c是的三边长，
∴，，，，
∴，
∴原式的值一定是负数．
21．（9分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
(2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
（2）解：①根据长方形的周长为，可得：
，
，
，
．
答：的值为5．
②空白部分的面积为，
根据②得：，
∵阴影部分的面积为，
且阴影部分的面积表示为，
故，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：空白部分的面积为．
22．（9分）配方法是数学中重要的思想方法之一．它是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形，化为完全平方或几个完全平方式和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
问题呈现：若，求a.b的值．
方法介绍：
①看到可想到如果添上常数4恰好就是
同理，恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为由平方的非负性可得且．
经验运用：
(1)已知，则的值为 ．
(2)若，则的值为 ．
(3)若，，判断.的大小关系，并说明理由．
（1）解：∵，
∴，
即，
∴，，
解得：，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，，
∴；
（3）∵，，
∴
，
∴；
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