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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第五章：分式与分式方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.，故本选项正确，不符合题意；
B.，故本选项正确，不符合题意；
C.，故本选项正确，不符合题意；
D.，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
2．若把分式的同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（ ）
A．5 B． C． D．
解：∵x和y都扩大5倍，
∴扩大到原来的：倍，
∵分式的值也扩大5倍，
∴扩大到原来的5倍，
∵x扩大5倍，
∴“□”也要扩大到原来的5倍，
∴“□”可以是，
故选：B．
3．化简的结果是（ ）
A． B．m C． D．
解：原式
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
解：与的最简公分母为，
故选：．
6．一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（ ）
A．1升 B．升 C．升 D．升
解：根据题意得：
=
=
=（升），
即次倒出的水量共为升．
故选：B．
7．若关于x的分式方程无解，则( )
A． B．3 C．1 D．
解：原方程移项得：，
去分母得：，
合并同类项得：，
原方程无解，
，解得，
故选：B．
8．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间则大，小两根水管的注水速度分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解：若小水管的半径为r米，则大水管的半径为米，
所以大水管的横截面是小水管横截面的4倍，
设小水管注水速度为x立方米/分，则大水管注水速度为立方米/分；
由题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程解；
则，
小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分；
故选：
9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．0
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的分式方程无解，
∴，
∴，
故选：C．
10．“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租价为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，得．
故选：D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．若，则的值为 ．
解：，
，
，
故答案为：2．
12．化简： ．
解：，
故答案为：．
13．若分式的值为，则的值为 ．
解∵分式的值为，
∴，，
解得，
故答案为：．
14．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ．
解：去分母得：，
解得：，
关于的分式方程的解满足，
，，
解得：且，
的取值范围是且，
故答案为：且．
15．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
关于的不等式组无解，
，
解得，
，
方程可化为，
方程两边同乘得，，
解得，
是正整数，，
或或或，
当时，，分式方程无解，舍去，
或或，
满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）解分式方程
(1)
(2)．
（1）解：方程两边同乘，得 ，
解得 ，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：方程两边同乘，得 ，
解得 ，
检验：当时，，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
17．（7分）已知，求代数式的值．
解：
将代入中，原式．
18．（8分）某希望学校收到帮助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件．改为每班少分1件，结果剩余14件．这所希望学校有多少个教学班？
解：设希望学校有个教学班，根据题意得：
解得：，
经检验是原方程的解．
答：这所希望学校有17个教学班．
19．（8分）某街道道路改造工程，预计由甲.乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍．
(1)求甲.乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲队独做n天后，再由甲.乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为 ；
(3)为了加快工程进度，甲.乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作12天完成整个工程的，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）．
解（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要天，
，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴．
答：甲.乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天．
（2）由题意得：，
∴．
（3）由题意得，，
解得
答：甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的倍．
20．（8分）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
(1)甲.乙所购饲料的平均单价各是多少元？
(2)谁的购买方式平均单价较低？
（1）解：甲的平均价格是（元）
乙的平均价格是：（元）
（2）解：甲－乙 即
因为（），
所以，
所以，即
所以．
所以乙的购买方式平均单价低．
21．（9分）如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为__________；“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为__________；__________小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(2)如图2，在试验田四周（图2虚线部分）修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍，求值．
（1）解：①根据题意，“丰收1号”单位面积产量为；
“丰收2号”单位面积产量为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：；；“丰收2号”；
②∵，
∴
，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍；
（2）解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且满足题意．
22．（9分）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与.与都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数；
(3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：，
，
与是“臻美数对；
（2），理由如下：
由题意得：
，
移项合并同类项可得：
，
左右两边同时除以9可得：
；
两“臻美数对”的和为：
两“臻美数对”的和是的倍数；
（3）这两个数为“臻美数对”，
即
解得：，
，；
，，
这两个数分别为：．
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第五章：分式与分式方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若把分式的同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（ ）
A．5 B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B．m C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
6．一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（ ）
A．1升 B．升 C．升 D．升
7．若关于x的分式方程无解，则( )
A． B．3 C．1 D．
8．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间则大，小两根水管的注水速度分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．0
10．“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租价为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．若，则的值为 ．
12．化简： ．
13．若分式的值为，则的值为 ．
14．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ．
15．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）解分式方程
(1)
(2)．
17．（7分）已知，求代数式的值．
18．（8分）某希望学校收到帮助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件．改为每班少分1件，结果剩余14件．这所希望学校有多少个教学班？
19．（8分）某街道道路改造工程，预计由甲.乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍．
(1)求甲.乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲队独做n天后，再由甲.乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为 ；
(3)为了加快工程进度，甲.乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作12天完成整个工程的，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）．
20．（8分）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
(1)甲.乙所购饲料的平均单价各是多少元？
(2)谁的购买方式平均单价较低？
21．（9分）如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为__________；“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为__________；__________小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(2)如图2，在试验田四周（图2虚线部分）修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍，求值．
22．（9分）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与.与都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数；
(3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
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