四川省都江堰中学高2016届《计数原理》单元测试题（试卷版，附详解）
文档属性
| 名称 | 四川省都江堰中学高2016届《计数原理》单元测试题（试卷版，附详解） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 92.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-17 18:58:22 | ||
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文档简介
高2016届《计数原理》单元测试题
四川省都江堰中学 沈西德
班级 学号 姓名
一、选择题（每小题5分，共75分）
1．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14 B.24 C.28 D.48
2．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则等于（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7
3．若为有理数），则（ ）
A．33 B． 29 C．23 D．19
4．的展开式中，常数项为15，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
Ａ．18 Ｂ．24 Ｃ．30 Ｄ．36
6．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有（ ）种
Ａ．90 Ｂ．180 Ｃ．270 Ｄ．540
7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
8．若对于任意实数，有，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．已知集合，集合，则以为定义域，为值域的函数有（ ）个
Ａ．24 Ｂ．36 Ｃ．48 Ｄ．81
10．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案 ( )
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
11．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
12．在的展开式中，常数项为（ ）
A．51 B． C． D．11
13．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
14．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
Ａ． Ｂ．85 Ｃ． Ｄ．274
15．2名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A． B． C． D．
16．在的展开式中不含的项的系数绝对值的和为243，不含的项的系数绝对值的和为32，则的值可能为（ ）
A． B．
C． D．选择题 答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
二、填空题（每小题5分，共35分）
17．若, 则的值为 ；
18．已知3,则_______________；
19．若的二项展开式中的系数为,则 .(用数字作答)
20．已知等式成立，则
的值等于 .
21．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）。
22．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种。（用数字作答）
23．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 。
24．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．
25．已知的展开式中没有常数项，，则 .
三、解答题（共25分）
26．（本题满分8分）已知集合和集合各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：（1）且中含有3个元素；（2）（表示空集）。
26．（本题满分9分）在二项式中有，如果它的展开式中最大系数项恰是常数项.（Ⅰ）求常数项是展开式中的第几项； （Ⅱ）求的最值.
27．（本题满分8分）求证：对一切，都有。
参考解答
1．法一：①恰有1名女生，种；②恰有2名女生，种。总计14种。
法二：间接法。6人中选4人的方法数为种，全为男生的选法数为种，故符合条件的方法数为14种。选A。
2．由题设，，选C。
3．∵
又，∴，∴。选B。
4．∵，∴，即是3的倍数，又，验证即知，。选D。
5．四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是。选C。
6．种。选D。
7．图示法。① （××） 甲 × ，此时； ② （××） 甲 ×，此时。总计48种。选B。
8．令，则，∴，∴，∴。选B。
9．∵集合为定义域，集合为值域，∴集合中的每一个的元素必有原象，因而将集合中的元素分为3组，有分法，又3组元素对应集合中的3个元素，有种分法，所以以为定义域，为值域的函数有。选B。
10．分为三类情况。（1）甲、乙两人都不去，则有种；（2）甲、乙两人有且只有1人去，则有种选法，甲乙两人中的去的这个人能去的城市只有，余下的3人没有限制，即种，由乘法原理知，此时有；（3）甲、乙两人都去，则他们游览的种数为，再另外4人中选2人游览余下的两个城市，有种，由乘法原理知，此时有。由加法原理可知，不同的方案有240种。选B。
11．① 用2种花时，A、C同色，B、D同色，此时有种；② 用3种花时，A、C同色，B、D不同色同色（或B、D同色，A、C不同色同色），此时种；③用4种花时，种。总计84种。
12． ，令，即，
又，∴；；。所以展开式中的常数项为。选B。
13．，令，即，∴为5的倍数，∴正整数的最小值为5。选B。
14．根据二项式定理的理论依据，可知含的项的系数为。选A。
15．从后排8人中抽2人调整到前排的选法数为种，选出的2人插入前排，因其他人的相对顺序不变，因此第1人插入的方法数为5，第2人插入的方法数为6，故应为。
16．，它不含的项为，其系数的绝对值为。同理可得。验证即知，选D。
17．∵，∴。
18．∵，由题设，∴。
19．，令，∴。
20．令得，，又，∴。
21．。
22．空盒子的选法，4个放3个盒子必定为（2、1、1）分布，共有，3个盒子的放3类球，共有。总计方法数=144种。
23．对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种。
24．数字和为10的只有3种情况：①1、1、4、4，此时种；②2、2、3、3，此时种；③1、2、3、4，此时种，总计432种。
25．∵展开式的通项为，∴的展开式的通项为，要使之没有常数项，则且，。又，验证即知，。
26．（Ⅰ）∵，令，又，∴
∴，由，所以。∴常数项是展开式中的第5项.
（Ⅱ），由题设，第5项又是系数最大的项，
∴，∴，。
27．由二项式定理知，
∴
当且仅当时，，当时，
四川省都江堰中学 沈西德
班级 学号 姓名
一、选择题（每小题5分，共75分）
1．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14 B.24 C.28 D.48
2．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则等于（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7
3．若为有理数），则（ ）
A．33 B． 29 C．23 D．19
4．的展开式中，常数项为15，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
Ａ．18 Ｂ．24 Ｃ．30 Ｄ．36
6．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有（ ）种
Ａ．90 Ｂ．180 Ｃ．270 Ｄ．540
7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
8．若对于任意实数，有，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．已知集合，集合，则以为定义域，为值域的函数有（ ）个
Ａ．24 Ｂ．36 Ｃ．48 Ｄ．81
10．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案 ( )
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
11．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
12．在的展开式中，常数项为（ ）
A．51 B． C． D．11
13．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
14．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
Ａ． Ｂ．85 Ｃ． Ｄ．274
15．2名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A． B． C． D．
16．在的展开式中不含的项的系数绝对值的和为243，不含的项的系数绝对值的和为32，则的值可能为（ ）
A． B．
C． D．选择题 答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
二、填空题（每小题5分，共35分）
17．若, 则的值为 ；
18．已知3,则_______________；
19．若的二项展开式中的系数为,则 .(用数字作答)
20．已知等式成立，则
的值等于 .
21．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）。
22．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种。（用数字作答）
23．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 。
24．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．
25．已知的展开式中没有常数项，，则 .
三、解答题（共25分）
26．（本题满分8分）已知集合和集合各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：（1）且中含有3个元素；（2）（表示空集）。
26．（本题满分9分）在二项式中有，如果它的展开式中最大系数项恰是常数项.（Ⅰ）求常数项是展开式中的第几项； （Ⅱ）求的最值.
27．（本题满分8分）求证：对一切，都有。
参考解答
1．法一：①恰有1名女生，种；②恰有2名女生，种。总计14种。
法二：间接法。6人中选4人的方法数为种，全为男生的选法数为种，故符合条件的方法数为14种。选A。
2．由题设，，选C。
3．∵
又，∴，∴。选B。
4．∵，∴，即是3的倍数，又，验证即知，。选D。
5．四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是。选C。
6．种。选D。
7．图示法。① （××） 甲 × ，此时； ② （××） 甲 ×，此时。总计48种。选B。
8．令，则，∴，∴，∴。选B。
9．∵集合为定义域，集合为值域，∴集合中的每一个的元素必有原象，因而将集合中的元素分为3组，有分法，又3组元素对应集合中的3个元素，有种分法，所以以为定义域，为值域的函数有。选B。
10．分为三类情况。（1）甲、乙两人都不去，则有种；（2）甲、乙两人有且只有1人去，则有种选法，甲乙两人中的去的这个人能去的城市只有，余下的3人没有限制，即种，由乘法原理知，此时有；（3）甲、乙两人都去，则他们游览的种数为，再另外4人中选2人游览余下的两个城市，有种，由乘法原理知，此时有。由加法原理可知，不同的方案有240种。选B。
11．① 用2种花时，A、C同色，B、D同色，此时有种；② 用3种花时，A、C同色，B、D不同色同色（或B、D同色，A、C不同色同色），此时种；③用4种花时，种。总计84种。
12． ，令，即，
又，∴；；。所以展开式中的常数项为。选B。
13．，令，即，∴为5的倍数，∴正整数的最小值为5。选B。
14．根据二项式定理的理论依据，可知含的项的系数为。选A。
15．从后排8人中抽2人调整到前排的选法数为种，选出的2人插入前排，因其他人的相对顺序不变，因此第1人插入的方法数为5，第2人插入的方法数为6，故应为。
16．，它不含的项为，其系数的绝对值为。同理可得。验证即知，选D。
17．∵，∴。
18．∵，由题设，∴。
19．，令，∴。
20．令得，，又，∴。
21．。
22．空盒子的选法，4个放3个盒子必定为（2、1、1）分布，共有，3个盒子的放3类球，共有。总计方法数=144种。
23．对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种。
24．数字和为10的只有3种情况：①1、1、4、4，此时种；②2、2、3、3，此时种；③1、2、3、4，此时种，总计432种。
25．∵展开式的通项为，∴的展开式的通项为，要使之没有常数项，则且，。又，验证即知，。
26．（Ⅰ）∵，令，又，∴
∴，由，所以。∴常数项是展开式中的第5项.
（Ⅱ），由题设，第5项又是系数最大的项，
∴，∴，。
27．由二项式定理知，
∴
当且仅当时，，当时，