福州一中2023－2024学年第一学期第二学段考试
高一数学（必修一）模块试卷
（完卷120分钟 满分150分）
（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. －3 D. 3
3. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙 邓清明 张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 古希腊毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图象的一条对称轴方程是，则的值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 0 D.
7. 已知角，且，则（ ）
A. －2 B. C. D. 2
8. 已知函数的一个对称中心为，现将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在上单调递减，则可取值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知扇形周长是6，面积是2，则扇形的半径和圆心角可能为（ ）
A. 半径2，圆心角为1 B. 半径为1，圆心角为2
C. 半径为1．圆心角为4 D. 半径为4，圆心角为1
10. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（ ）
A. 纯音乙的响度与ω无关
B. 纯音乙的音调与ω无关
C. 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则
D. 复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期是
D. 在上有最小值，且最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，则______．
14. 函数的最小值为___________.
15. 试写出一个函数，使其满足以下三个条件：函数的周期为；函数的图象关于直线对称；函数在上单调递减.则的解析式可以为：______．
16. 若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2024个零点，（1）当时，______；（2）时，所有满足条件的正整数的值共有______个．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）求的单调减区间；
（2）为的内角，若，求角的大小．
18. 在中，分别为角所对的边长，．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的周长．
19. 如图，已知是之间的一个定点，且点到的距离分别为，分别是上的动点，且，设．
（1）求以为邻边的平行四边形的面积关于的函数解析式；
（2）求最小值．
20. 已知是上的减函数，且，如图，记为曲线与直线，直线，以及轴围成的图形的面积，并约定．已知，对任意正数，当时，．
（1）求与；
（2）求证：．
21. 已知函数（，）的图像是由的图像向右平移个单位得到的.
（1）若的最小正周期为，求的与轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.
22. 已知．
（1）若，求不等式解集；
（2）存在区间，求的最大值．福州一中2023－2024学年第一学期第二学段考试
高一数学（必修一）模块试卷
（完卷120分钟 满分150分）
（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数定义即可求解.
【详解】由题意及图示可知，点的横坐标为，
所以.
故选：.
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. －3 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，将利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式转化为正切，进而即可求解.
【详解】由知，
所以.
故选：A.
3. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙 邓清明 张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可.
【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，且，得，
则火箭发射时的声强约为，
将其代入中，得，
故火箭发射时的声强级约为，
故选:C.
4. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】易知，显然在上单调递增，
在上单调递减，
因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，
所以.
故选：A
5. 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出，然后利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
6. 函数的图象的一条对称轴方程是，则的值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数对称轴和最值的关系，列式求解.
【详解】函数的最大值为，
因为函数的图象的一条对称轴方程是，
所以，解得：.
故选：A
7. 已知角，且，则（ ）
A. －2 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，分别求得和，再由正切的差角公式即可求得结果.
【详解】因为，故可得，则；
，故可得，即；
，即，
也即，等式两边同时除以，
则；
故；
故选：C.
8. 已知函数的一个对称中心为，现将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在上单调递减，则可取值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式化简函数解析式，利用对称中心求得，根据三角函数图象变换得出，然后结合余弦函数性质求得的范围即可得出答案．
【详解】，
∵函数图象的一个对称中心为.
∴，即，
∵，∴，
∴，
将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，
当时，，
若函数在上单调递减，则，得，故D符合.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径和圆心角可能为（ ）
A. 半径为2，圆心角为1 B. 半径为1，圆心角为2
C. 半径为1．圆心角为4 D. 半径为4，圆心角为1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据扇形的面积，弧长公式求解.
【详解】设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，
，
解得：，则，或，则，
则当时，，
则当时，.
故选：AC
10. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正切差角公式可求值验证A项， 利用倍角公式和诱导公式可以判定B项，运用辅助角公式可判定 C项，运用两角和的正切公式可以验证D项.
【详解】对A，，
故A项正确；
对B，，故B项正确；
对C， ，
故C项正确；
对D，
，故D项错误．
故选：ACD．
11. 声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（ ）
A. 纯音乙的响度与ω无关
B. 纯音乙的音调与ω无关
C. 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则
D. 复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，判断纯音乙函数的最大值是否为定值即可；对于B，判断纯音乙函数的周期是否为定值即可；对于C，只需复合音甲函数的周期更大即可，列出不等式计算并判断；对于D，可以发现，但不能取等，由此即可判断.
详解】由题意，
设的最小正周期为，则，
所以，故，故，
当时，有，从而的最小正周期为，
对于A，由于纯音乙的最大值，即其最大值不变，所以纯音乙的响度与ω无关，故A正确；
对于B，对于纯音乙函数而言，其周期满足，所以纯音乙的音调与ω有关，故B错误；
对于C，若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲函数的周期要更大，即，解得，故C正确；
对于D，，但不能同时取等，
所以，即，所以复合音甲的响度比纯音乙的响度小，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期是
D. 在上有最小值，且最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算出定义域后，由，借助三角函数基本关系，可借助换元法设出新函数，根据新函数的单调性即可研究D选项；结合函数对称性的性质可得A、B选项；结合函数周期性的性质可得C选项.
【详解】由，解得，
所以的定义域为，
，
令，则，
令函数，
当时，，
且函数在上单调递增，在上单调递减．
又因为函数在上单调递增，
且在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上有最小值，且最小值为，D正确；
，
所以的图象关于点对称，A正确；
，
，
所以的图象关于直线对称，B正确；
因为，
所以不是的周期，C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】由，
所以.
故答案为：
14. 函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式可得，再由余弦函数值域以及二次函数性质可得其最小值.
【详解】根据题意可得，
令，则，
根据二次函数性质可得，
所以函数的最小值为.
故答案为：
15. 试写出一个函数，使其满足以下三个条件：函数的周期为；函数的图象关于直线对称；函数在上单调递减.则的解析式可以为：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】结合三角函数的性质，即可求解函数的解析式.
【详解】由条件可设，
由函数的周期为，可知，可以为2，
因为函数的图象关于直线对称，则，,所以可以为0，
则，
又函数在上单调递减，，，所以，
则可以为，
所以满足条件的一个函数
故答案为：（答案不唯一）
16. 若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2024个零点，（1）当时，______；（2）时，所有满足条件的正整数的值共有______个．
【答案】 ①. 1012 ②. 4
【解析】
【分析】（1），数形结合得到不等式，求出的取值范围，结合为正整数，所以；
（2）三角恒等变换，结合换元法得到，而，分三种情况，数形结合得到这样的正整数有4个.
【详解】（1）当时，，当时，，
要想在上恰有2024个零点，则，
解得，
因为为正整数，所以；
（2）由题意知，
令，此时，
而，
则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，
①当时，，其中无解，
对于，在内都有2个零点，
内都有4个零点，则或；
②当时，在有2个零点，在内有3个零点，
在内有5个零点，在内有6个零点，则需要个周期，
故；
③当时，因为，所以，
故当时，有，解得，
因为，，所以，
又，故，
则在内有4个零点，在内有8个零点，故；
综上所述，这样的正整数有4个，分别为，，或1012.
故答案为：1012；4
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）求的单调减区间；
（2）为的内角，若，求角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）整体法求单调区间；
（2）由三角形内角性质及同角三角函数关系，结合（1）求得、的正余弦值，利用两角和正弦公式和诱导公式可得，从而可解.
【小问1详解】
令，得，
所以减区间．
【小问2详解】
由得，
由得，
由得，
因为，所以，
所以，
同理，，
所以，
所以，
得，
即，
所以，即，
又因为，所以．
18. 在中，分别为角所对的边长，．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由半角公式，诱导公式，三角恒等变换得到，故，证明出结论；
（2）利用诱导公式和三角恒等变换得到，进而得到，由正弦定理求出，得到周长.
【小问1详解】
由可得，
为三个内角，
，，
即，即，
又因为，所以，即，所以，
所以是等腰三角形．
【小问2详解】
由得，
即，
所以，所以，
，因为，
为锐角，，所以，，
由正弦定理，，
解得，所以的周长为．
19. 如图，已知是之间的一个定点，且点到的距离分别为，分别是上的动点，且，设．
（1）求以为邻边的平行四边形的面积关于的函数解析式；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）首先结合图形的几何关系，利用三角函数表示，最后结合面积公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，利用三角恒等变形，即可求函数的最值.
【小问1详解】
，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，
【小问2详解】
由得，
所以，即时，取得最大值，
所以时，最小值为．
20. 已知是上的减函数，且，如图，记为曲线与直线，直线，以及轴围成的图形的面积，并约定．已知，对任意正数，当时，．
（1）求与；
（2）求证：．
【答案】（1）1，；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据的定义，以及约定，结合，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，构造不等式，，即可证明.
【小问1详解】
，
，
由，所以，所以．
【小问2详解】
由是上的减函数，
所以小于直线，直线，直线，以及轴围成的矩形的面积，
即，所以，即，
另一方面，大于直线，直线，直线，及轴围成的矩形面积，
即，所以，即，综上所述，．
21. 已知函数（，）的图像是由的图像向右平移个单位得到的.
（1）若的最小正周期为，求的与轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由函数的的最小正周期求得，再根据图象的平移得出函数的解析式，由正弦函数的性质可得答案；
（2）由图象平移得出：，再由在上仅有一个零点，建立不等式组，解之可得范围.
【详解】解：（1）因为的最小正周期为，，，
的图像是由的图像向右平移个单位得到，
，即，
令，，得的对称轴方程为，，
要使直线（）与轴距离最近，则须最小，
，此时对称轴方程为，即所求对称轴方程为.
（2）由已知得：，
令得：，，即，，
在上仅有一个零点，，，，
，，，解得：，
，，.
【点睛】方法点睛：求解的性质时，可采用将整体看待，可求得函数的值域、对称轴、对称中心、单调性等性质以及求参数的范围.
22. 已知．
（1）若，求不等式的解集；
（2）存在区间，求的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）结合函数得奇偶性与单调性计算即可得；
（2）由可以得到函数的对称性，对的值进行分类讨论可得函数单调性，从而得到函数的对称性及单调性，结合的对称性及单调性从而可得其符合要求得定义域，即可得解.
【小问1详解】
时，，定义域为，，
，
所以是奇函数.
，令
易知函数在内单调递增，
函数在内单调递增，
所以，由复合函数的单调性可知在内单调递增.
所以可化为，即，
所以，
，得，
由，得，解得；
由单调递增，单调递增，所以，
又时，值为0，所以，解得，
即可得，
所以所求不等式解集为．
【小问2详解】
因为
，
所以图象关于对称，且有，
，
若，
则定义域为，所以在上单调递增，
令，得，又在单调递增，图象关于对称，
所以的解集为，
所以，所以，
②若无意义，舍去，
③若，则定义域为，所以单调递减，
令，得，又单调递减，图象关于对称，
所以的解集为，所以，
所以，
综上所述，.
【点睛】关键点睛：第二问关键在于得到函数的对称性及单调性，从而得到函数的对称性及单调性，结合的对称性及单调性从而可得其符合要求得定义域.
