2023-2024学年初中数学湘教版八年级下册1.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 学案（含答案）

1.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
素养目标
1.通过动手操作,探究“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质.
2.利用“有一个角为30°的直角三角形的性质与逆命题”开展实际应用.
◎重点:1.“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”的理解与应用.
2.“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为30°”的理解与应用.
预习导学
知识点一 在直角三角形中,30 °角所对的直角边与斜边的关系
阅读课本本课时第一个“动脑筋”的所有内容,回答下列问题.
1.图中的线段存在等量关系为:BC=　 　=　 　=　 　.
2.△BCD、△ACD分别是　 　三角形、　 　三角形.
3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,BC=　 　AB.
【答案】1.BD　DA　CD
2.等边　等腰
3.
归纳总结　在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的　 　.
【答案】一半
对点自测　如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC等于 ( )
A.6 B.6
C.6 D.12
【答案】A
知识点二 在直角三角形中,一条直角边等于斜边的一半,求这条直角边所对的角
阅读课本本课时第二个“动脑筋”的内容,回答下列问题.
1.D是AB的　 　,CD=　 　=　 　=AB,而BC=AB,所以△BCD是　 　三角形.
2.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,BC=AB,则∠A=　 　.
【答案】1.中点　AD　BD　等边
2.30°
归纳总结　在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为　 　.
【答案】30°
对点自测　在直角三角形中,最大边的长度是最小边长度的2倍,那么最小内角的度数为 ( )
A.15° B.30°
C.45° D.60°
【答案】B
合作探究
任务驱动一 在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若AC=12,则AD的长是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.如图,在△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=AB.
【答案】1.C
2.证明:如图,过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E,则∠AEB=90°.
∵∠BAD=30°,∴BE=AB.∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∴∠AEB=∠DAC.
又∵BD=CD,∠BDE=∠CDA,∴△BED≌△CAD,∴BE=CA,∴AC=AB.
方法归纳交流　由结论AC=AB和条件∠BAD=30°,由此想到能否找出一个含　 　°角的直角三角形,所以过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E,这样就得到了　 　,这是解决本题的关键.
【答案】30　Rt△ABE
任务驱动二 含30°角的直角三角形的性质应用
3.为了推进节能减排,某市新换了一批新能源公交车(如图1).图2、图3分别是该公交车双开门关闭、打开中某一时刻的俯视(从上面往下看)示意图.ME,EF,FN是门轴的滑动轨道,∠E=∠F=90°,两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上,两门关闭时(如图2),点A,D分别在点E,F处,门缝忽略不计(B,C重合);两门同时开启时(如图3),点A,D分别沿E→M,F→N的方向同时以相同的速度滑动,当点B到达点E处时,点C恰好到达点F处,此时两门完全开启.若EF=1 m,AB=CD,在两门开启的过程中,当∠ABE=60°时,求BC的长度.
【答案】3.解:∵点A,D分别沿E→M,F→N的方向同时以相同的速度滑动,
∴BE=CF.
∵EF=AB+CD=1 m,
∴AB=CD= m.
在Rt△AEB中,∠E=90°,∠ABE=60°,
∴∠EAB=30°,
∴BE=AB= m,∴CF=BE= m,
∴BC=EF-BE-CF= m.
任务驱动三 在直角三角形中,一条直角边等于斜边的一半,求这条直角边所对的角
4.如图,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC,D是AB的中点,且DE=BE.求∠C的度数.
【答案】4.解:∵BE⊥AC(已知),且D为AB的中点,∴DE为直角三角形ABE斜边上的中线,∴DE=AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).又∵BE=DE,∴BE=AB(等量代换),∴∠A=30°.在△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠C(等边对等角),∴∠C=×(180°-30°)=75°(三角形内角和定理).
任务驱动四 利用特殊角构造含30°角的直角三角形
5.一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图甲,从正面看如图乙,已知AO=BO=50cm,CO=DO=40 cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°,求桌面到地面的距离.
【答案】5.解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AO=BO=50cm,CO=DO=40cm,∴AD=OA+OD=50+40=90(cm),∵AO=BO,∠AOB=120°,∴∠A=∠B=30°,∴DE=AD=×90=45(cm),即桌面到地面的距离为45 cm.
学习小助手　本题没有直角三角形,因此通过作辅助线构造直角三角形,再利用直角三角形中的30°角所对的直角边等于斜边的　 　即可解得答案.
【答案】一半
方法归纳交流　本题主要巧妙地利用∠A=　 　°去构造一个直角三角形,再利用含　 　°角的直角三角形的性质解决直角边与斜边的数量关系.
【答案】30　30
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