2023-2024学年初中数学湘教版八年级下册1.2 第1课时 勾股定理的认识及证明 学案（含答案）

1.2 第1课时 勾股定理的认识及证明
素养目标
1.通过学生动手体验,利用等面积法探索勾股定理.
2.运用勾股定理和转化思想,从方程的角度求直角三角形的边长.
3.通过猜想和运用数形结合的思想分析几何图形,解决求边长的问题.
◎重点:勾股定理在直角三角形中的应用.
预习导学
知识点一 利用网格中的条件求斜边
阅读课本本课时“做一做”中的内容,回答下列问题.
1.图中的已知量:∠ACB=　 　°,AC=b=　 　,BC=a=　 　.未知量:斜边AB=c=　 　.
2.如果改变数据:a=5,b=12.在图中画一画,再量一量,可知c=　 　.
【答案】1.90　4　3　5
2.13
归纳总结　在上述两个问题中,都是已知三个量:一个角是　 　、两条直角边长,求出了　 　.
【答案】直角　斜边长
知识点二 认识勾股定理
阅读课本本课时“议一议”中的内容,回答下列问题.
1.图中的直角边是　 　,斜边是　 　.
2.图中的三个正方形的面积,S1=9、S2=　 　、S3=　 　,而9+　 　=　 　,所以S1+　 　=　 　.
即BC2+　 　=　 　.
【答案】1.AC,BC　AB
2.16　25　16　25　S2　S3　AC2　AB2
温馨提示　求S3时,可以用边长为　 　的大正方形的面积,减去4个小直角三角形的面积.
【答案】7
知识点三 勾股定理的证明
阅读课本本课时“探究”至结束的内容,回答下列问题.
1.本探究证明勾股定理的方法运用　 　法.
2.两种不同的算法计算正方形EFGD的面积:
(1)直接利用正方形的面积公式求S正方形EFGD;
(2)组合求面积,即S正方形EFGD=4·S△DHK+S正方形HIJK.
3.在直角三角形中,斜边大于　 　.
【答案】1.等面积
3.任一直角边
归纳总结　直角三角形两直角边a,b的　 　和,等于斜边c的　 　.即a2+b2=　 　.
【答案】平方　平方　c2
温馨提示　勾股定理体现了直角三角形三边的数量关系,也就是说在直角三角形中,只要知道其中的两条边的长度,就可以求出　 　的长度.
【答案】第三边
对点自测　(1)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则AB的长为 ( )
A.4　　　　 B.
C. D.5
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为 ( )
A.5 B.6
C.8 D.10
(3)在△ABC中,∠C=90°.若a=2.4,b=3.2,则c=　 　;若∠A=45°,c=18,则a=　 　;若c=17,b=15,则△ABC的面积等于　 　.
【答案】(1)C
(2)C
(3)4　9　60
合作探究
任务驱动一 利用勾股定理求三角形的边长或面积
1.(分类讨论)若一个直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边长.
【答案】1.解:本题需要分类讨论:①当8 cm是斜边时,第三边长==2(cm);②当6 cm和8 cm是直角边时,第三边长==10(cm).故第三边的长为2cm或10 cm.
方法归纳交流　应用勾股定理时,在不明确直角边、斜边的情况下,我们要针对三角形三边的________进行讨论,根据“斜边大于　 　”的情况,正确运用勾股定理解题.
【答案】长度　直角边
2.(希波克拉底月牙问题)右图表示的是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,分别以Rt△ABC的各边为直径向外作半圆,则图中两个“月牙”,即阴影部分的面积为　 　 .(用含a,b,c的式子表示)
【答案】2.ab　提示:由勾股定理得a2+b2=c2,
则S阴影部分=×π×2+×π×2+ab-×π×2
=π××(b2+a2-c2)+ab
=ab.
故答案为ab.
任务驱动二 用等面积法证明勾股定理
3.【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,也被称为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
【实践操作】勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,图1,图2,图3是三种常见的
证明方法,请你从中任选一种证明勾股定理(图中出现的直角三角形的大小和形状均相同).
【探索发现】如图4,以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形,请判断S1,S2,S3的数量关系并说明理由.
【答案】3.解:【实践操作】证明:在题图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,
即c2=ab×4+(b-a)2,
整理得a2+b2=c2.
如图1,连接MN.
则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和,
即(a+b)(a+b)=ab×2+c2,
整理得a2+b2=c2.
在题图3中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,
即(a+b)2=c2+ab×4,
整理得a2+b2=c2.
【探索发现】S1+S2=S3.
理由:设S3所在的等边三角形为△ABC.
如图2,过点A作AD⊥BC于点D,
则∠BAD=30°,∠ADB=90°,
∴BD=AB,
∴AD==AB,
∴S3=c·c=c2.
同理,S2=b·b=b2,S1=a·a=a2,
∴S1+S2=a2+b2=(a2+b2).
∵a2+b2=c2,
∴S1+S2=S3.
方法归纳交流　等面积法在证明题中的应用一般包括以下算法:(1)图形的整体面积等于每部分面积　 　;(2)采用相同的算法,但计算时从不同的角度(或方向)计算　 　图形的面积;(3)用　 　的方法计算同一图形面积等.
【答案】和　同一　不同
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