1.4 第1课时 角平分线的性质及逆定理学案 2023-2024学年初中数学湘教版八年级下册（含答案）

1.4 第1课时 角平分线的性质及逆定理
素养目标
1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用.
2.掌握作已知角平分线的方法.
◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理的应用.
预习导学
知识点一 角平分线的性质定理
阅读课本本课时“动脑筋”之前的所有内容,回答下列问题.
1.角平分线是一条　 　,它把这个角分成两个相等的角.
2.通过折叠后,对应相等的线段有:　 　=　 　,　 = ,相等的角有∠　 　=∠　 　,∠　 　=∠　 　.
3.P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD,PE是　 　;在这两个三角形中有　 　对应相等,所以△PDO≌△PEO,根据　 　判定定理.
【答案】1.射线
2.PD　PE　OD　OE　AOC　BOC　DPO　EPO
3.垂线段　两角一边　AAS
归纳总结　角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的　 　相等.
【答案】距离
对点自测　如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( )
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
【答案】B
知识点二 角平分线的性质定理的逆定理
阅读课本本课时“动脑筋”至“例1”之前的一段内容,回答下列问题.
1.点到直线的距离是指过这点向这条直线所作的　 　的长.
2.角的内部到角的两边距离相等的点有　 　个,这样的点都　 　上.
3.由PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E说明PD,PE就是点P到　 　,同时可以得出两个直角相等,结合题目中的隐含条件　 　,根据　 　判定定理可得Rt△PDO≌Rt△PEO,得出结论.
【答案】1.垂线段
2.无数　在一条射线
3.角两边的距离　公共边　HL
归纳总结　角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角的两边 相等的点在角的 上.
【答案】距离　平分线
对点自测
如图,这是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,那么PC和PD应满足　 　,才能保证OP为∠AOB的平分线.
【答案】PC=PD
合作探究
任务驱动一 角平分线的性质定理的应用
1.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB上的点E处.已知BC=12,∠B=30°,则DE的长是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
2.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为　 　.
3.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G,AD与EF垂直吗 证明你的结论.
4.在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如图1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度数.
(2)如图2,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=1,AC=4,求△ADC的面积.
【答案】1.B
2.3
3.解:AD与EF垂直.
证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF,∴DA⊥EF.
4.解:(1)∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-30°-20°=130°.
(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DE=1.
∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,
∴DF=DH=1,
∴S△ADC=DF·AC=×1×4=2.
任务驱动二 角平分线性质定理与逆定理的综合
5.如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2.
【答案】证明:如图,过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PF⊥BC于点F.
∵P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC,∴PE=PF.同理可证PF=PG.∴PG=PE,又PE⊥AB,PG⊥AC,∴PA是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2.
学习小助手　(1)角的平分线性质的应用涉及角平分线上的点到角的两边的距离,因此每一个角需要构造两条垂线,所以过点P作PE　 　AB,PG　 　AC,PF　 　BC.
(2)由PE⊥AB,PF⊥BC得出:　 　.由PG⊥AC,PF⊥BC得出:　 　.
【答案】(1)⊥　⊥　⊥
(2)PE=PF　PF=PG
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