1.4 第2课时 角平分线的性质定理及逆定理的应用学案 2023-2024学年初中数学湘教版八年级下册（含答案）

1.4 第2课时 角平分线的性质定理及逆定理的应用
素养目标
1.掌握角平分线的性质定理和逆定理的综合应用.
2.利用角平分线的性质定理和逆定理解决线段相等及作图等问题.
◎重点:角平分线的性质定理和逆定理的综合应用.
预习导学
知识点一 角平分线的性质定理及逆定理的应用
阅读课本本课时“例2”之前的所有内容,回答下列问题.
1.由EF⊥AB,MN⊥AC可知,点M到AB,AC的距离分别是 ,即它们是点M到∠　 　两边的距离,增加条件　 　即可使点M在∠　 　的平分线上.
2.由MN⊥AC,EF⊥CD可知,点M到AC,CD的距离分别是 ,即它们是点M到∠　 　两边的距离,增加条件　 　即可使点M在∠　 　的平分线上.
3.∵M是EF的中点,∴　 　,∴只要增加条件　 　,即可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线, 是∠ACD和∠CAB的公共边;△AMC是 三角形,S△AMC= S梯形AFEC.
【答案】1.MF,MN　BAC　MN=ME　BAC
2.MF,MN,ME　ACD　MN=MF　ACD
3.ME=MF　MN=MF(或MN=ME)
AC　直角　
归纳总结　到三条两两相交的直线距离都相等的点,　 　任意两条直线之间的夹角.
【答案】平分
对点自测
(1)人们常用两个三角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,使两个三角尺的一直角边分别与OA,OB重合,移动三角尺使两个直角顶点分别与M,N重合,三角尺的另两条直角边相交于点C,作射线OC,可证得△MOC≌△NOC,从而得OC是∠AOB的平分线.在上述过程中,判定两个三角形全等的方法是 ( )
A.HL B.ASA C.SAS D.SSS
(2)如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC,交∠BAC的平分线AE于点E,EM⊥AB于点M,EN⊥AC交AC延长线于点N.求证:BM=CN.
【答案】(1)A
(2)证明:连接BE、EC,∵BD=DC,DE⊥BC,∴BE=EC.∵AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN⊥AC,∴EM=EN,∠EMB=∠ENC=90°.在Rt△BME和Rt△CNE中,∵BE=EC,EM=EN,∴Rt△BME≌Rt△CNE(HL),∴BM=CN.
知识点二 与角平分线有关的作图
阅读课本本课时第二个“动脑筋”中的所有内容,回答下列问题.
1.点P要到三边AB,BC,CA的距离相等,也就是到任意　 　距离相等,所以只要找到一点到AB,BC的距离相等,同时也要到BC,CA的距离相等,所以只要作两个角的平分线即可.
2.满足条件的点有　 　个,且这个点一定在三角形的　 　部.
3.通过作图,我们可以看出,S△ABC=　 　.
【答案】1.两边
2.1　内
3.S△ABP+S△APC+S△BPC
归纳总结　三角形中任意两条角平分线的　 　,也在第三个角的平分线上.
【答案】交点
对点自测　(1)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是 ( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】(1)A (2)D
合作探究
任务驱动一 角平分线的定理与逆定理的应用
1.如图,点B,C在∠A的两边上,且AB=AC,P为∠A内部一点,PB=PC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:PE=PF.
【答案】1.
证明:如图,连接AP,
在△ABP和△ACP中,
∴△ABP≌△ACP(SSS),
∴∠BAP=∠CAP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴PE=PF.
方法归纳交流　角平分线的性质的应用要注意:①找出相关　 　的角,在没有角平分线的情况下先通过作线构造角平分线;②找出两个　 　;③得出一个结论:通过两个　 　相等,再转移到两个直角三角形中,用全等证明.
【答案】方法归纳交流　相等　距离　距离
任务驱动二 角平分线的作图与应用
2.如图,在四边形ABCD中,BC=DC,请用尺规作图法,在四边形ABCD的AB边上求作一点E,使S△BCE=S△DCE.(保留作图痕迹,不写作法)
3.(超市选址与角平分线)如图,三条公路l1,l2,l3两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,可供选择的地方有多少处 你能在图中找出来吗
【答案】2.解:如图,点E即所求.
3.解:三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等;∠ACB,∠ABC的外角平分线交于一点,利用角的平分线的性质和判定定理,可以得到此点也在∠CAB的平分线上,且到公路l1,l2,l3的距离相等;同理还有∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点;∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点,因此满足条件的点共有4个.
作法:(1)如图所示,作出△ABC两内角∠BAC,∠ABC的平分线的交点O1.
(2)分别作出∠ACB,∠ABC的外角平分线的交点O2,∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点O3,∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点O4,故满足条件的修建点有四处,即点O1,O2,O3,O4处.
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