9.3.1 用相同的正多边形 学案（含答案） 2023-2024学年初中数学华东师大版七年级下册

9.3.1　用相同的正多边形
素养目标
1.经历探究任一正多边形每个内角度数的过程,体会用相同的正多边形铺设地面的条件.
2.会判断用某种正多边形能否铺设地面.
◎重点:用相同的正多边形铺设地面的条件.
预习导学
知识点 用相同的正多边形铺设地面
请你阅读课本本节的内容,思考:当正多边形满足什么条件时可以铺设地面
填表归纳:请你完成下表,并归纳以下知识.
正多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形内角和 180° …
每个内角的度数 60° …
　　正多边形的每个内角都　 　,每个内角的度数为　 　(正多边形的边数为n).
动手操作:
温馨提示:各组在课前准备好若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形……硬纸片.
各组用准备好的硬纸片拼图,观察:如果用其中的一种正多边形铺设地面,哪几种正多边形可以铺满地面
　 　可以,　 　等不可以.
(1)由正三角形拼成的图案中,每个拼接点有　 　个角,每个角都等于　 　,六个角等于　 　.
(2)在正四边形的拼接点处有　 　个角,每个角都等于　 　,四个角的和等于　 　.
(3)在由正六边形拼成的图案中,每个拼接点处有　 　个角,每个角都等于　 　,三个角的和等于　 　.
发现规律:在用同一种正多边形进行覆盖时,关键是看正多边形的一个内角,当周角是一个内角的　 　倍时,即一个内角的　 　倍是360°时,这种正多边形可以覆盖平面,否则就不可以.
【答案】解:
正多边形 的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形 内角和 180° 360° 540° 720° 900° … (n-2)180°
每个内角 的度数 60° 90° 108° 120° …
相等　
温馨提示　正三角形、正四边形、正六边形　正五边形、正七边形、正八边形
(1)6　60°　360°
(2)4　90°　360°
(3)3　120°　360°
发现规律　整数　正整数
合作探究
任务驱动一 1.小亮的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面.小亮根据所学的知识告诉父亲,为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设,购买的地板砖形状不能是 ( )
　　A　　 　　B　　 　　 C　 　　　D
【答案】1.C
任务驱动二 2.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的.
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面
(2)像上面那样铺地砖,能否全用正十边形的材料 为什么
【答案】2.解:(1)因为正三角形的每个内角都是60度,六块这样的三角形密铺时组成周角,所以能密铺地面.
(2)正十边形的每个内角的度数是144度,不能拼成周角,所以不能密铺地面.
任务驱动三 3.如图,房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成.图中第1个黑色形由3个正方形组成,第2个黑色形由7个正方形组成,……那么组成第6个黑色形的正方形个数是 ( )
A.22 B.23 C.24 D.25
　　变式演练　我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面,但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的.右图是拼铺图案的一部分,其中每个五边形有3个内角相等,那么这3个内角都等于　 　度.
方法归纳交流　能否铺满地面,关键看拼在同一顶点处的几个角的和是否是360°.
【答案】3.B
变式演练　120
任务驱动四 4.如图所示的图案是由边长为1的正三角形和边长为1的正六边形地砖铺设而成的.
(1)图案中最多可用边长为1的正六边形瓷砖多少块
(2)若一块边长为1的正三角形瓷砖售价为0.5元,一块边长为1的正六边形的瓷砖售价为2.7元,则最少需要多少元购买瓷砖
(3)某商店推出凡购买瓷砖数达到50块可优惠12%的活动,由此可以选择以下两种方案:①全部用边长为1的正三角形瓷砖;②两种瓷砖都用.你认为哪个方案花钱更少 这种方案需要多少钱
【答案】4.解:(1)如图所示,图案中最多可用边长为1的正六边形瓷砖8块.
(2)∵所用正三角形瓷砖最少12块,正六边形瓷砖最多8块,∴最少费用:0.5×12+2.7×8=27.6元.
(3)方案①费用:0.5×(6×8+12)×(1-12%)=26.4元;
方案②费用:27.6元.
∵26.4<27.6,∴方案①花钱更少,需要26.4元.
2