【素养目标】2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册16.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 学案（含答案）

16.3　可化为一元一次方程的分式方程 第1课时
素养目标
　　1.知道分式方程的概念,并能判断一个方程是否为分式方程.
2.能类比一元一次方程的解法求分式方程的解.
3.能类比解一元一次方程的步骤说出可化为一元一次方程的分式方程的求解步骤.
4.知道分式方程中增根产生的原因,以及分式方程的解检验的必要性,并能应用两种方法对分式方程的解进行检验.
◎重点:分式方程的概念及其解法.
预习导学
知识点一 分式方程的概念
阅读教材本课时内容至“思考”前的所有内容,解决下列问题.
1.在行程问题中常见的量有哪些,它们之间存在怎样的等量关系
2.在教材本课时“问题”中找出能表示相等关系的语句.
3.若轮船在静水中的速度为x km/h,完成下表:
行驶路程 行驶速度 行驶时间
顺水航行
逆水航行
　　根据问题中的相等关系可得:　 　=　 　.
　　4.观察上面的方程,它是整式方程吗 为什么
归纳总结　方程中含有分式,并且　 　中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.
【讨论】分式方程和整式方程最大的区别是什么
【答案】1.行驶路程、行驶时间、行驶速度;
行驶路程=行驶时间×行驶速度.
2.轮船在顺水中航行80千米所需要的时间和逆水中航行60千米所需要时间相同.
3.80　x+3　　60　x-3　
　
4.不是,方程中含有分式.
归纳总结　分母
【讨论】　分母中是否含有未知数.
对点自测　下列各式中是分式方程的有　 　.
(1)2x-3y=0;(2)-3=;(3)=;(4)+8.
【答案】(3)
知识点二 可化为一元一次方程的分式方程的解法
阅读教材本课时“思考”后面至“例3”前面的内容,解决下列问题.
1.解方程-=1时,去分母时,应乘　 　,变形为　 　,方程的解为　 　.
2.类比问题1,解分式方程=,去分母时,应乘以最简公分母　 　,把分式方程变形为整式方程　 　,解这个一元一次方程的解为　 　.
3.检验分式方程的解时,可以把分式方程的解代入到　 　或　 　中.问题2中,经检验x=3　 　分式方程的解,所以x=3　 　分式方程的解.
归纳总结　1.解分式方程的过程,实质上是将方程的两边都乘以　 　,约去　 　,把分式方程转化为　 　来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的　 　.
2.在解分式方程时,有时可能产生不适合　 　方程的解(或根),这种根通常称为　 　.
3.分式方程的解一定要　 　,检验的方法有两种:一代入　 　;二代入　 　中.
【答案】1.4　2(x+1)-x=4　x=2
2.2x(x-1)　3(x-1)=2x　x=3
3.原方程的左右两边　最简公分母　是　是
归纳总结　1.同一个整式　分母　整式方程　最简公分母
2.原分式　增根
3.检验　原分式方程　最简公分母
对点自测　下面是四位同学解方程+=1过程中去分母的一步,其中正确的是 ( )
A.2+x=x-1 B.2-x=1
C.2+x=1-x D.2-x=x-1
【答案】D
合作探究
任务驱动一 判断下列各式哪个是分式方程:
(1);(2)-=1;
(3)-=;
(4)+=x(a、b是常数,且ab≠0);
(5)x+2x=5.
方法归纳交流　分式方程必须具备两个条件:(1)　 　;(2)　 　.
【答案】解:因为(1)是分式;(2)、(5) 中尽管有分母,但都是常数;(4)中分母中含有字母,但字母不是未知数;只有(3)符合分式方程的条件.故(3)是分式方程.
方法归纳交流　
是方程　分母中含有未知数
任务驱动二 解方程:(1)-=1;
(2)+=.
方法归纳交流　解分式方程的步骤:
(1)　 　,分式两边同时乘以　 　;(2)　 　;(3)　 　,　 　;(4)　 　;(5)　 　.
【答案】解:(1)方程两边都乘以(x+1)(x-1),得x2+x-2(x-1)=(x+1)(x-1),即x2+x-2x+2=x2-1,解得x=3.经检验,x=3是原方程的根.
(2)原方程可以化为+=,
所以方程两边同乘以x(x-1),得3(x-1)+6x=x+5,解得x=1.
检验:当x=1时,x-1=0,所以原方程无解.
方法归纳交流　
(1)去分母　各分母的最简公分母　(2)去括号
(3)移项　合并同类项　(4)系数化为一　(5)检验
任务驱动三 当m为何值时,关于x的方程=会产生增根
方法归纳交流　分式方程的增根不是　 　,是分式方程去分母后的一元一次方程的解.
【答案】解:关于x的方程=有增根,则此增根必使3x-9=3(x-3)=0,所以增根为x=3.去分母,方程两边同乘以3(x-3),得3(x-1)=m2.
根据题意,x=3是上面整式方程的根,
所以3(3-1)=m2,则m=±.
方法归纳交流　
分式方程的解
任务驱动四 当x为何值时,分式与的和等于2
方法归纳交流　解分式方程时,一定要检验.检验的方法:
(1)把方程的解代入　 　中,若原分式方程的　 　等于分式方程的　 　,则说明这个解　 　分式方程的解,否则就是分式方程的　 　.
(2)把方程的解代入　 　中,若方程的解使得最简公分母的值　 　,则这个解就　 　分式方程的解,若最简公分母的值　 　,则这个解就是分式方程的　 　,原分式方程则　 　.
【答案】解:由题意可得+=2,即-=2,
方程两边都乘以x-1,得x-2=2(x-1).
解得x=0.
检验:x=0时,x-1≠0,∴x=0是原分式方程的解.
方法归纳交流　
(1)原分式方程　左边　右边　是　增根
(2)最简公分母　不等于零　是　等于零　增根　无解
任务驱动五 若关于x的分式方程=1的解为x=2,则m的值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
　　变式演练　关于x的分式方程+=0的解为x=4,则常数a的值为 ( )
A.a=1 B.a=2
C.a=4 D.a=10
【答案】B
变式演练　D
任务驱动六 已知关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.
【答案】解:由=1,
解得x=m-3.
∵关于x的分式方程=1的解是负数,
∴m-3<0,
解得m<3.
当x=m-3=-1时,方程无解,
则m≠2,
故m的取值范围是m<3且m≠2.
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