17.3.1 一次函数 学案(含答案) 2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册

17.3.1　一次函数
素养目标
　　1.知道一次函数和正比例函数的概念.
2.会根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.
3.经历由实际问题引出一次函数关系式的过程,体会数学与现实生活的联系.
◎重点:一次函数和正比例函数的概念.
预习导学
知识点 一次函数与正比例函数的定义
阅读本课时教材“问题1”至“练习”上面的部分,回答下列问题.
1.“问题2”中的函数关系式为y=　 　.
2.上题中的关系式与关系式s=570-95t有什么共同特征
3.一次函数是怎样定义的
4.k≠0这个条件能否省略不写
5.b能为0吗 当b=0时,一次函数称为什么函数
归纳总结　1.若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式,则称y为x的　 　(x为自变量,y为因变量).当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做　 　.
2.比较一次函数和正比例函数:
一般形式 k的范围 b的范围 从属关系
一次函数 一次函数包括正比例函数
正比例函数 正比例函数是一次函数
　　【讨论】如何判断一个函数是一次函数
【答案】1.0.3x+6
2.都是含有两个变量的等式;自变量和因变量的指数都是一次;自变量的系数都不为0.
3.一般地,如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么,y叫做x的一次函数.
4.不能,若k=0,则y=kx+b变形为y=b,b是关于x的0次式,因此不是一次函数.
5.当b=0时,一次函数y=kx+b变为y=kx,符合一次函数的定义,因此b能为0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数.
归纳总结　
1.一次函数　正比例函数
2.y=kx+b　k≠0　b≠0　y=kx　k≠0　b=0
【讨论】
一看自变量的系数;二看自变量的指数.二者必须同时考虑.
对点自测　下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是 ( )
A.y=-　　　 B.y=-
C.y=-　　　 D.y=
【答案】C
合作探究
任务驱动一 已知函数y=(5m-3)x2-n+(m+n).
(1)当m、n为何值时,此函数是一次函数
(2)当m、n为何值时,此函数是正比例函数
变式演练　 已知函数y=(m-3)x|m|-2+3是一次函数,求函数表达式.
方法归纳交流　一次函数y=kx+b只需满足　 　,而当它是正比例函数时,必须还要满足　 　.
【答案】解:(1)当函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)是一次函数时,
2-n=1且5m-3≠0,
解得n=1,m≠.
(2)当函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)是正比例函数时,
解得n=1,m=-1.
变式演练　
解:∵m-3≠0且|m|-2=1,
∴m=-3,
∴函数表达式为y=-6x+3.
方法归纳交流　
k≠0　b=0
任务驱动二 (1)三角形的三条边长分别为3 cm、5 cm、x cm,试写出此三角形的周长y(cm)与 x(cm)的函数关系式.
(2)一根蜡烛长20厘米,点燃后匀速燃烧,每分钟燃烧0.2厘米,燃烧x分钟后剩下的蜡烛长为y(厘米),求y与x之间的函数关系式.
(3)某种商品每件进价100元,售出每件获利20%,售出x(件)的总利润为y(元),试写出y与x之间的函数关系式.
【答案】解:(1)y=x+8(2任务驱动三 为了加强公民节约用水意识,某市制定了如下收费标准:每户每月用水不超过10吨时每吨水收费1.2元;超过10吨时,超过部分按每吨1.8元收费.该市某住户3月份用水超过10吨,那么该住户3月份应缴水费多少元
【答案】解:设该用户3月份用水x吨,则y=10×1.2+(x-10)×1.8=1.8x-6(x≥10).
任务驱动四 如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P,设∠A=x,∠BPC=y,当∠A变化时,求y与x之间的函数关系式,指出自变量的取值范围,并判断y是不是x的一次函数.
【答案】解:在△ABC中,因为∠A=x,BP、PC是∠B与∠C的平分线,
所以∠PBC+∠PCB=.
在△BPC中,∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB),
即y=180°-=90°+x(0°2