【素养目标】2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册19.1.2 矩形的判定 第2课时 学案 （含答案）

19.1.2　矩形的判定 第2课时
素养目标
1.知道矩形判定定理2的内容,并能证明该判定定理.
2.能熟练应用矩形的判定定理2解决有关问题.
◎重点:矩形判定定理2的应用.
预习导学
知识点 矩形的判定定理2
阅读教材本课时第二个“思考”至第一个“练习”前的所有内容,解决下列问题.
1.矩形的对角线有什么性质 哪些性质是平行四边形具有的一般性质 哪些是矩形特有的
2.取两条长度相等的绳子,让两条绳子的中点重合并固定在桌面上,分别拉紧绳子的端点,并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线.你得到的图形是什么呢
3.画两条相交的直线,交点记为O,在直线上分别截取OA=OB=OC=OD,顺次连接A、B、C、D,你得到的图形是什么 把你得到的图形与教材P108的“图20.2.1”比较,并与同伴交流.
　　4.通过上面的操作,你能得到什么结论 用文字描述你得到的结论.你能证明你得到的结论吗
归纳总结　对角线　 　的平行四边形是矩形,对角线　 　的四边形是矩形.
【答案】1.“两组对边平行且相等”、“两组对角相等”、“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质,而“对角线相等”是矩形所特有的性质.
2.矩形.
3.矩形
4.结论:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.又∵ AC=BD,BC=BC,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB=90°,∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
归纳总结　相等　互相平分且相等
对点自测　平行四边形ABCD中,AC、BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是 ( )
A.AB=BC　　　
B.AC=BD
C.AC⊥BD　　　
D.AB⊥BD
【答案】B
合作探究
任务驱动一 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AC=BD
B.AC⊥BD
C.AC=BD且AC⊥BD
D.AB=AD
【答案】A
任务驱动二 对角线互相平分且相等的四边形是 ( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.等腰梯形
【答案】B
任务驱动三 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长,交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF.
(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形 并说明理由.
　　方法归纳交流　条件探索类的问题,一般是把结论当作题设,反向推导出与问题相关的结论.
【答案】解:(1)证明:由平行四边形ABCD可得到AB∥CD,则∠ABE=∠FCE,又∵EB=EC,∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△CFE(ASA),∴AB=CF.
(2)当BC=AF时,四边形ABFC是矩形.由△ABE≌△CFE可得到EA=EF,EB=EC,∴四边形ABFC是平行四边形.又∵BC=AF,∴四边形ABFC是矩形.
任务驱动四 如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.
(1)求证:△ABF≌△DEC.
(2)求证:四边形BCEF是矩形.
【答案】证明:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC(SAS).
(2)由(1)可知,△ABF≌△DEC,∴BF=CE,∠AFB=∠DCE,∴∠BFC=∠ECF,
∴BF∥EC,∴四边形BCEF是平行四边形.
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.
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