【素养目标】2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册19.1.2 矩形的判定 第3课时 学案（含答案）

19.1.2　矩形的判定 第3课时
素养目标
1.知道判定一个四边形是矩形的方法.
2.能熟练应用矩形的定义和判定定理证明一个四边形是矩形.
◎重点:矩形的判定定理的综合应用.
预习导学
知识点 矩形的性质定理和判定定理的综合应用
阅读教材本课时“例5”和“例6”的所有内容,解决下列问题.
1.等边三角形有哪些性质呢
2.在“例5”中,由两个等边三角形且存在一边上的中线,你能得到什么结论呢
3.由问题2可知“图19.1.12”中∠DNB=　 　=　 　,因此证明四边形BMDN是矩形可以选择的判定方法是　 　,因此,只需再证明　 　=90°即可,要想证明这个角是直角,可以根据　 　以及　 　.
4.在“例6”中判定四边形ADCE是矩形主要应用的方法:　 　.
　　5.在“例6”中若想应用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明这个问题,该怎样证明呢
归纳总结　1.矩形的性质主要有　 　,　 　.
2.矩形的判定方法主要有　 　;　 　;　 　.
3.应用对角线相等和一个角是直角证明四边形是矩形时,这个四边形必须是　 　;但应用三个角是直角证明时,这个四边形是　 　即可.
【答案】1.等边三角形每个内角都是60°,等边三角形具有三条三线合一的线.
2.这条中线也是等边三角形的高线和角平分线.
3.∠DMB　90°　三个角都是直角的四边形是矩形　∠NBM　等边三角形的每一个角都是60°　中线和角平分线互相重合
4.对角线相等的平行四边形是矩形
5.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.
∵AG是∠FAC的平分线,∴∠1=∠2.
∵∠FAC是△ABC的外角,∴∠1+∠2=∠B+∠ACB,∴∠1=∠B,∴AE∥BC.
∵AB∥DE,∴四边形AEDB是平行四边形,∴BD=AE.
∵BD=CD,∴AE=DC.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
归纳总结　1.矩形的四个角都是直角　矩形的对角线相等
2.有一个角是直角的平行四边形是矩形　有三个角都是直角的四边形是矩形　对角线相等的平行四边形是矩形
3.平行四边形　一般的四边形
合作探究
任务驱动一 下列关于矩形的说法,正确的是 ( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
方法归纳交流　矩形的对角线　 　;对角线相等的　 　是矩形;对角线　 　的四边形也是矩形.
【答案】D
方法归纳交流　
相等且互相平分　平行四边形　相等且互相平分
任务驱动二 如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在边BC、AC上,且DF∥AB,过点A作平行于BC的直线与DF的延长线交于点E,连接CE、BF.
(1)求证:△ABF≌△ACE.
(2)若D是BC的中点,判断△DCE的形状,并说明理由.
【答案】解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,AE∥BD,
∴∠EFA=∠BAC=60°,∠CAE=∠ACB=60°,
∴△EAF是等边三角形,
∴AF=AE.
在△ABF和△ACE中,
,
∴△ABF≌△ACE(SAS).
(2)△DCE是直角三角形,∠DCE=90°.
理由:如图,连接AD,
∵DE∥AB,AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
∴AE=DC.
∵AE∥DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥DC,
∴四边形ADCE是矩形,
∴△DCE是直角三角形,∠DCE=90°.
任务驱动三 如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
【答案】证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵AE=BF=CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∵OE+OG=FO+OH,即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
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