【素养目标】2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册19.2.1 菱形的性质 第2课时 学案 （含答案）

19.2.1　菱形的性质 第2课时
素养目标
1.知道菱形的性质定理.
2.能应用菱形的性质定理进行简单的证明和计算.
◎重点:菱形性质定理的应用.
预习导学
知识点 菱形性质定理的应用
阅读教材本课时“例2”和“例3”的所有内容,解决下列问题.
如图,在菱形ABCD中,
1.菱形的对角线把菱形分成了　 　个全等的直角三角形,分别是　 　.
2.菱形的对角线把菱形分成了　 　个等腰三角形,分别是　 　.
3.若AC=6,BD=8,则AB= 　=　 　,理由是　 　.
归纳总结　1.菱形的对角线　 　.
2.菱形的四条边都　 　.
【讨论】当菱形有一个角是60°时,对角线所分的三角形中有等边三角形吗 有几个
【答案】1.4　Rt△AOB、Rt△AOD、Rt△COD、Rt△BOC
2.4　△ABD、△CBD、△ADC、△ABC
3.　5　菱形的对角线平分且垂直
归纳总结　
1.互相垂直
2.相等
【讨论】
有2个等边三角形.
对点自测　已知菱形ABCD中一个内角为60°,且较短的对角线的长为2 cm,则菱形ABCD的周长为　 　.
【答案】8 cm
合作探究
任务驱动一 菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角度数之比为　 　.
【答案】5∶1
任务驱动二 如图,已知菱形ABCD的对角线AC=16 cm,BD=12 cm,DE⊥BC于点E.
(1)求BC的长.
(2)求DE的长.
【答案】解:(1)∵AC=16 cm,BD=12 cm,
∴OA=AC=×16=8(cm),OD=BD=×12=6(cm).
又∵AC⊥BD,
∴BC=AD===10(cm).
(2)S菱形ABCD=AC×BD=BC×DE,
∴×16×12=10DE,
∴DE=9.6(cm).
任务驱动三 如图,菱形ABCD的周长为20,对角线BD=8.求菱形ABCD的面积.
【答案】解:∵菱形ABCD的周长为20,∴AB=BC=CD=AD=5.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,且OA=OC,OB=OD=4,
∴在直角三角形ABO中,由勾股定理得,AO=3,∴AC=6,
∴S菱形ABCD=6×8÷2=24.
任务驱动四 如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点.求证:AE=AF.
变式演练　上题中,若把AE和AF改为BC和CD边上的高,结论还成立吗
　　方法归纳交流　在菱形证明边上的高线相等时,通常根据　 　解决比较简单.
【答案】证明:在菱形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,
∠B=∠D.
∵点E、F分别是BC、CD边的中点,
∴BE=BC,DF=CD,
∴BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF.
变式演练　
证明:成立.
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD.∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴菱形ABCD的面积=AE·BC=AF·CD,∴AE=AF.
方法归纳交流　
菱形的面积相等
任务驱动五 如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°.若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA'B'C',求点B的对应点B'的坐标.
【答案】解:作B'H⊥x轴于点H,连接OB,OB',如图.
∵四边形OABC为菱形,
∴∠AOC=180°-∠C=60°,OB平分∠AOC,
∴∠AOB=∠BOC=30°.
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA'B'C'的位置,
∴∠BOB'=75°,OB'=OB=2,
∴∠HOB'=∠BOB'-∠BOC=45°,
∴△OBH为等腰直角三角形,
∴OH=B'H=OB'=,
∴点B'的坐标为(,-).
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