【素养目标】2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 第2课时 学案 （含答案）

19.2.2　菱形的判定 第2课时
素养目标
1.通过动手操作,归纳出菱形的判定定理2的内容.
2.能应用菱形的判定定理2证明有关问题.
3.综合应用菱形的各种判定方法证明有关问题.
◎重点:菱形判定定理2的证明及其应用.
预习导学
知识点 菱形的判定定理2
阅读教材本课时第二个“思考”至第二个“练习”前的所有内容,解决下列问题.
1.菱形的对角线有什么性质 关于对角线,哪个是平行四边形具有的一般性质 哪个是菱形所特有的
2.取两个长度相等的细木棒,让两个木棒的中点重合并固定在一起,转动其中一个木棒,重复上面的做法,当两个木棒之间的夹角等于90°时,用笔和直尺画出木棒四个端点的连线,得到的图形是什么图形呢
　　3.通过上面的操作,你能得到什么结论 用文字描述你得到的结论,并证明你的结论.
【讨论】对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗
归纳总结　对角线　 　的平行四边形是菱形,对角线　 　的四边形是菱形.
【答案】1.菱形的性质:“两条对角线互相垂直平分”.“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质,而“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质.
2.菱形.
3.结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AD=DC.∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
【讨论】
不一定.
归纳总结　
互相垂直　互相垂直平分
对点自测　如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C、D,则直线CD为所求.根据他的作图方法,可知四边形ADBC一定是 ( )
A.矩形　　　　　　B.菱形
C.正方形 D.梯形
【答案】B
合作探究
任务驱动一 如图,菱形ABCD的周长为40 cm,∠BAD∶∠ABC=1∶2,求两条对角线的长.
方法归纳交流　解决与菱形有关的线段计算问题时,要注意勾股定理和方程思想的应用.
【答案】解:∵菱形的周长为40 cm,∴AB=10 cm.
∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠BAD∶∠ABC=1∶2,∴∠ABC=60°.
又∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=10 cm.
∵AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2,
∴OB2+52=102,
∴OB=5,∴BD=10 cm.
任务驱动二 如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件　 　,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
【答案】OA=OC或AD=BC或AD∥BC或AB=BC等
任务驱动三 一位同学剪了个菱形的纸片,如图所示,如果在菱形ABCD的AC上截去两段,使AE=CF,然后又沿BE、DE、DF、FB剪下,得到了一个小四边形,你能告诉这个同学这是一个什么形状的四边形吗 并说明理由.
【答案】解:菱形.理由:如图,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,OE=OF.又∵OB=OD,∴四边形DEBF是平行四边形.∵AC⊥BD,∴ DEBF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
任务驱动四 如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于点F,ED与AB、BC分别交于点M、H.如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.
【答案】解:四边形ACDM是菱形.
证明:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∠BCE=45°,∴∠1=∠2=45°.∵∠E=45°,∴∠1=∠E,∴AC∥DE,∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD.又∵∠A=∠D=45°,∴四边形ACDM是平行四边形.∵AC=CD,∴平行四边形ACDM是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
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