【素养目标】 2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册19.3 正方形 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 【素养目标】 2023-2024学年初中数学华东师大版八年级下册19.3 正方形 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-28 08:47:46 | ||
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文档简介
19.3 正方形
素养目标
1.知道正方形的概念、性质和判别条件;知道正方形是轴对称和中心对称图形;知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.能运用正方形的性质进行有关计算,能运用正方形的判别进行合理的推理说明.
◎重点:正方形的性质和判别,以及正方形性质的应用.
预习导学
知识点一 正方形的定义及性质
阅读教材本课时“例1”前面的内容,回答下列问题.
1.正方形是轴对称图形,其对称轴有 条,分别是 ;正方形是中心对称图形,对称中心是 .
2.正方形的性质: .
3.如图,使得矩形ABCD为正方形,可添加的一个条件是 .
4.小明制作了一个菱形,由于菱形具有不稳定性,小明将菱形的一个内角α变为直角(过程如图),此时菱形变成的图形是 .
5.根据小明的操作过程,你能得到什么结论 用文字表述.
归纳总结 有一个角是 的菱形是正方形;有一组邻边相等的 是正方形.正方形是特殊的矩形,特殊的 ,特殊的平行四边形.
【答案】1.四 两组对边的垂直平分线和两条对角线所在的直线 两条对角线的交点
2.四条边都相等;四个角都是直角;两条对角线互相垂直平分且相等;每一条对角线平分一组对角
3.AB=BC或AB=AD或BC=CD或DA=DC
4.正方形
5.有一个角是直角的菱形是正方形.
归纳总结
直角 矩形 菱形
对点自测 正方形可以由两个能够完全重合的 三角形拼合而成.
【答案】等腰直角
知识点二 正方形的判定
阅读教材本课时的“例1”, 回答下列问题.
1.判断下列命题是真命题还是假命题,并说明理由.
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形;
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
2.完成教材的“讨论”,并与同伴交流.
归纳总结 判断一个四边形是正方形的思路:
【答案】1.解:(1)、(2)、(5)是真命题,(3)、(4)是假命题.
(3)是假命题的原因:对角线平分的四边形是平行四边形,对角线垂直的平行四边形是菱形,所以它不一定是正方形.如图1,满足AO=CO,BO=DO且AC⊥BD,但四边形ABCD不是正方形.
(4)是假命题的原因:它可能是任意四边形.如图2,AC⊥BD且AC=BD,但四边形ABCD不是正方形.
2.小明的方法不可信,四条边相等的四边形是菱形,不一定是正方形.
小兵的方法也不可信,对角线相等的四边形有可能是矩形,不一定是正方形.
小英的做法也不完善,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形.
正确的做法有(方法不唯一):(1)测量四边形的四条边相等,再测一个内角为直角;(2)测量四个角是直角,再测一组邻边相等.
归纳总结
相等 直角 直角 相等
合作探究
任务驱动一 如图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
任务驱动二 如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使AB落在AD边上,然后打开,折痕为AE,顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是什么特殊四边形 请说出你的理由.
变式演练 如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成 ( )
A.22.5°角 B.30°角
C.45°角 D.60°角
【答案】解:四边形ABEF是正方形.理由:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠B=90°.∵∠B与∠AFE折叠后重合,∴∠AFE=∠B=90°,∴四边形ABEF是矩形.又∵AB、AF折叠后重合,AB=AF,∴四边形ABEF是正方形.
变式演练
C
任务驱动三 如图,顺次延长正方形ABCD的各边AB、BC、CD、DA至E、F、G、H,且使BE=CF=DG=AH.求证:四边形EFGH是正方形.
【答案】证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG.
又∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴HE=EF=FG=GH,∴四边形EFGH为菱形.
∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,
∴∠FEB+∠HEA=90°,∴四边形EFGH是正方形.
任务驱动四 如图,已知EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH.求证:四边形EFGH是正方形.
【答案】证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠2+∠3.
∵EG⊥FH,∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴△COH≌△BOE,∴OE=OH.
同理可证OE=OF=OG.∴OE+OG=OF+OH,即EG=FH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为正方形.
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素养目标
1.知道正方形的概念、性质和判别条件;知道正方形是轴对称和中心对称图形;知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.能运用正方形的性质进行有关计算,能运用正方形的判别进行合理的推理说明.
◎重点:正方形的性质和判别,以及正方形性质的应用.
预习导学
知识点一 正方形的定义及性质
阅读教材本课时“例1”前面的内容,回答下列问题.
1.正方形是轴对称图形,其对称轴有 条,分别是 ;正方形是中心对称图形,对称中心是 .
2.正方形的性质: .
3.如图,使得矩形ABCD为正方形,可添加的一个条件是 .
4.小明制作了一个菱形,由于菱形具有不稳定性,小明将菱形的一个内角α变为直角(过程如图),此时菱形变成的图形是 .
5.根据小明的操作过程,你能得到什么结论 用文字表述.
归纳总结 有一个角是 的菱形是正方形;有一组邻边相等的 是正方形.正方形是特殊的矩形,特殊的 ,特殊的平行四边形.
【答案】1.四 两组对边的垂直平分线和两条对角线所在的直线 两条对角线的交点
2.四条边都相等;四个角都是直角;两条对角线互相垂直平分且相等;每一条对角线平分一组对角
3.AB=BC或AB=AD或BC=CD或DA=DC
4.正方形
5.有一个角是直角的菱形是正方形.
归纳总结
直角 矩形 菱形
对点自测 正方形可以由两个能够完全重合的 三角形拼合而成.
【答案】等腰直角
知识点二 正方形的判定
阅读教材本课时的“例1”, 回答下列问题.
1.判断下列命题是真命题还是假命题,并说明理由.
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形;
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
2.完成教材的“讨论”,并与同伴交流.
归纳总结 判断一个四边形是正方形的思路:
【答案】1.解:(1)、(2)、(5)是真命题,(3)、(4)是假命题.
(3)是假命题的原因:对角线平分的四边形是平行四边形,对角线垂直的平行四边形是菱形,所以它不一定是正方形.如图1,满足AO=CO,BO=DO且AC⊥BD,但四边形ABCD不是正方形.
(4)是假命题的原因:它可能是任意四边形.如图2,AC⊥BD且AC=BD,但四边形ABCD不是正方形.
2.小明的方法不可信,四条边相等的四边形是菱形,不一定是正方形.
小兵的方法也不可信,对角线相等的四边形有可能是矩形,不一定是正方形.
小英的做法也不完善,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形.
正确的做法有(方法不唯一):(1)测量四边形的四条边相等,再测一个内角为直角;(2)测量四个角是直角,再测一组邻边相等.
归纳总结
相等 直角 直角 相等
合作探究
任务驱动一 如图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
任务驱动二 如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使AB落在AD边上,然后打开,折痕为AE,顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是什么特殊四边形 请说出你的理由.
变式演练 如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成 ( )
A.22.5°角 B.30°角
C.45°角 D.60°角
【答案】解:四边形ABEF是正方形.理由:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠B=90°.∵∠B与∠AFE折叠后重合,∴∠AFE=∠B=90°,∴四边形ABEF是矩形.又∵AB、AF折叠后重合,AB=AF,∴四边形ABEF是正方形.
变式演练
C
任务驱动三 如图,顺次延长正方形ABCD的各边AB、BC、CD、DA至E、F、G、H,且使BE=CF=DG=AH.求证:四边形EFGH是正方形.
【答案】证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG.
又∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴HE=EF=FG=GH,∴四边形EFGH为菱形.
∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,
∴∠FEB+∠HEA=90°,∴四边形EFGH是正方形.
任务驱动四 如图,已知EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH.求证:四边形EFGH是正方形.
【答案】证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠2+∠3.
∵EG⊥FH,∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴△COH≌△BOE,∴OE=OH.
同理可证OE=OF=OG.∴OE+OG=OF+OH,即EG=FH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为正方形.
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