陕西省榆林市重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题(含答案)

榆林市重点中学2023-2024学年度第二学期摸底考试
九年级数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，若，，则的长为（ ）
A．－3 B．2或－3 C．－1或2 D．2或－3或－1
4．一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（ ）
A．40 B．30 C．16 D．50
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的弦，于点，连接并延长交于点，连接．已知，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
8．当时，二次函数有最大值4，则实数的值为（ ）
A．－3 B．2或－3 C．－1或2 D．2或－3或－1
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
10．一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是______．
11．已知，和的面积分别为9和16，若，则的长为______．
12．如图，点、在反比例函数（为常数且的图象上，轴于点，轴于点，连接、，则与重叠部分（阴影部分）的面积为______．
13．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，点是点关于直线的对称点，连接、，则的最小值是______．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解方程：．
15．（5分）如图，在正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，求阴影部分的面积（结果保留）
16．（5分）已知反比例函数为常数且），若在每个象限内，函数值随的增大而减小，求的取值范围．
17．（5分）如图，已知点、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE=AF，CE=CF．求证：四边形ABCD是菱形．
19．（5分）随着人类社会的发展，青少年应亲近大自然．某中学为了能够让学生感受大自然的美好和大千世界的美妙，于是在校内开展了以自然与社会为主题的选修课．已知有四个课题A．《草虫春秋》，B．《中华鸟兽》，C．《山河故人》，D．《文明外传》都深受学生欢迎，但需要从中选择2个课题作为本学期选修课的课程，于是将写有这四个编号的卡片（除编号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．
（1）第一次抽中的卡片上的课题是B．《中华鸟兽》的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率．
20．（5分）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（）的反比例函数，其图象如图所示，当木板的压强为500Pa时，求木板的面积．
21．（6分）如图，在P处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，该轮船沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，求此时轮船与灯塔P的距离PB．（参考数据：，，）
22．（7分）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？
23．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用标杆测量大楼的高度CD．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立标杆AB，此时小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5m，标杆AB=2.5m，BD=23m，FB=2m，EF、AB、CD均垂直于地面FD．求大楼的高度CD．
24．（8分）如图，是的直径，点在直径上，，，连接，与相交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，，求的长．
25．（8分）冬季来临之前，学校劳动社团的同学打算为蔬菜基地设计一款蔬菜大棚，大棚使用钢结构的骨架，上面覆上一层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，该大棚的横截面可以看作由矩形和地物线构成，其中，．同学们以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，为了让大棚通风，同学们设计了两个边长为的正方形通风孔LFGT和，点、均在抛物线上，点、、、在所在的水平线上，求两个通风孔之间的距离的长．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，在四边形中，，点是上一点，连接、，若，求证：；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，点是上一点，过点作交于点，若，，，求的值；
【问题解决】
如图3，四边形是某公园的一块空地，，分别沿、修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，，，求栽种竹子的面积（即的面积）．
榆林市重点中学2023~2024学年度第二学期摸底考试
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．3 10．16 11．4 12．1 13．4
三、解答题（共13小题．计81分．解答应写出过程）
14．解：这里，，．
，
，，．
注：其他解法正确也可。
15．解：由题意可得
，
阴影部分的面积为．
16．解：反比例函数在每个象限内，函数值随的增大而减小，
，
解得，
的取值范围是．
17．解：如图所示，即为所求．（作法不唯一）
18．证明：四边形是平行四边形，
．
，，
，，
．
在：和中，，，，
，
，
四边形是菱形．
19．解：（1）．
（2）画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的有6种．
两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率为．
20．解：设木板对地面的压强与木板面积之间的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
从板对地面的压强与从板面积之间的函数表达式为，
当时，有，解得，
当木板的压强为时，木板的面积为．
21．解：如图所示标注字母．
根据题意得，，，，海里，
．．
住：中，
（海里），
此时轮船与灯塔的距离约为75海里．
22．解：设每件保暧衣应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：每作保暖衣应降价20元．
23．解：过点作于点，交于点．则四边形，四边形都是矩形
，，．
，．
由题意易得．
又，
，
，即，
解得，
，
故大楼的高度为．
24．（1）证明：连接．
是的切线，
，则．
，．
，，
，
．
（2）解：连接．
是的直径，
．
由题意可得，，则，
．
，，
，
，
．
25．解：（1）由题意可设抛物线的函数表达式为．
四边形为矩形，为的中垂线，
，．
，
点，代入，得：，
解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意可得点和点的纵坐标为1．75，
令，则，
解得，，
．
，，
两个通风孔之间的间距的长为．
26．（1）证明： ，
，，
．
，
．
（2）解：过点作于点，，，，根据（1）的方法可得，
．
在，，
．
，
．
在中，，，
，．
（3）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，，，，
根据（1）的方法可得，
，
，，，
．
在中，，．
，，
，
故栽种竹子的面积（即的面积）为．