四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题（PDF版含解析）

彭山一中 25 届高二下入学考试数学试卷
试卷总分 150分，考试时长 120分钟
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名 班级 考号填写在答题卡规定的位置上;
2.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上;
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一 单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40分，请把答案填涂在答题卡的相应位置上）
1．直线 3x 3y 4 0的倾斜角为（ ）
A．150 B．120 C．60 D．30
2．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验
的方法求概率，利用计算机产生1~ 5之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用 1，3，5表示下雨，用 2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似
9 1 11 13
为（ ） A． B． C． D．
20 2 20 20
S
3．设 Sn是等比数列 an 9的前 n项和，若 S3 4,a4 a5 a6 8，则 S （ ）6
7 5 3
A．2 B． C． D．
3 3 7
2
4 x y
2
．在椭圆 1中，以点M 2,
3
为中点的弦所在的直线方程为（ ）16 9 2
A． x 2y 1 0 B．3x 4y 0 C．3x 4y 12 0 D．8x 6y 25 0
5．圆 x2 y2 1与圆 x2 y2 2x 4y 1 0的公共弦的长度为（ ）
A 5 B 2 5 C 3 5． ． ． D 4 5．
5 5 5 5
6．已知点 P在直线 l : 3x 4y 3 0上，过 P作圆M : x2 y2 6x 4y 9 0的两条切线，
切点为 A,B，则 APB的最大值为（ ）
A．30 B． 45 C．60 D．90
2 2
7 F ,F x y．如图，已知 1 2分别是双曲线C : 2 2 （1 a 0，b 0）的左、右焦点，过点 Fa b 1
的
3
直线与双曲线 C的左支交于点 A，B，若 AF1 AF2 0，BF1 F1A，则双曲线 C的渐近线2
方程为（ ）
A y 6 x B y 6 x C 2 3 5 3． ． ． y x D． y x
3 2 5 6
1
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}
8 x
2 y2 1
．已知椭圆C： 2 2 1 a b 0 的离心率为 ，左顶点是 A，左、右焦点分别是 F2 1，a b
F2，M 是C在第一象限上的一点，直线MF1与C的另一个交点为 N．若MF2 / /AN ，
则直线MN的斜率为（ ）．
A 5 B 3 C 1 D 15． ． ． 2 ．2 11 7
二 多选题（请把答案填涂在答题卡的相应位置上）
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，记 Ai “点数为 i”，其中，i 1，2，3，4，5，6，B “点
数为奇数”，C “点数为偶数”，则（ ）
A．P A 15 B． A2，B为互斥事件 C． A1 B D．B，C为对立事件6
10 2．已知直线 l : a 2a 2 x y 2 0,a R ，则下列结论正确的是（ ）
π π
A．若直线 l与直线15ax 3y 2 0平行，则 a 2 B．直线 l倾斜角的范围为 ,4 2
C．当 a 1时，直线 l与直线 x y 0垂直 D．直线 l过定点 0, 2
11．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB 4，AA1 3，E，F 分别是 A1D1，CD的中点，
G是棱 A1B1上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．若G为 A1B1的中点，则CG AE
B 2 61．若G为 A1B1的中点，则A到 FG的距离为
5
1
C．若 A1G A1B1，则CG//平面 AEF4
D． EFG的周长的最小值为 17 53
12．某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子
*
的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第 0格起跳，记跳到第 n n N
格的概率为 P n ，则（ ）
A． P 1 3 B． P 2 9
4 16
1
C 4 1 1
n 1

．数列 P n 1 P n 为等差数列 D． P n4 5 20 4
三、填空题（请把答案写在答题卡相应位置上）
13．已知数列{a }，对 m,n N n 都有am an am n，且a1 1，则 a2 a4 a2n .
2
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}
14．在棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为线段DD1靠近D1的三等分点. F 为线
段 BB1靠近 B的三等分点，则直线 FC1到平面 AB1E的距离为 .
15．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A( 3,0)，B( 1, 2)，若圆 (x 2)2 y2 r2 (r 0)
上有且仅有一对点M ,N，使得 MAB的面积是 NAB的面积的 2倍，则 r的值为 .
2 2
16．过双曲线C x y： 2 2 1（ a 0，b 0）的左焦点 F 作C的一条渐近线的垂线，a b
垂足为 P，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点A，O为坐标原点，若 OP ，
PA， OA 成等差数列，则C的离心率为 .
四 解答题（本大题共 6小顼，第 17题 10分，其他每题 12分，共 70分.解答应写出必
要的文字说明，证明过程或演算步骤）
2
17．甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为 p，1 p，，其中
3
0 1 p 1．(1)若 p ，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
4
(2)当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的
概率．
2 2
18 x y．已知椭圆C : 1(a b 0)的右焦点 F 1,0 2 2 与短轴端点间的距离为 2 .a b
(1)求C的方程；
(2)过F 作直线 l与C交于 P,Q 6两点，O为坐标原点，若 S OPQ ，求 l的方程.4
19．将矩形面 ABB1A1绕边 AA1顺时针旋转90 得到如图所示几何体 ABC - A1B1C1．已知
AB 2， AA1 3，点 E在线段BB1上，P为圆弧 B1C1 的中点．
(1)当 E是线段BB1的中点时，求异面直线 AE写 A1C所成角的余
弦值；
(2)在线段BB1上是否存在点 E，使得 AE//平面 A1CP？如果存在，
求出线段 BE的长，如果不存在，说明理由．
3
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}
20．已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且满足 Sn 4 an n N* ，等差数列 bn 满足
b1 2,a8b32 1．
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)设 cn bnSn ，求数列 cn 的前 n项和Tn．
21．如图，四棱锥E ABCD中，AE 平面 ABCD，AD⊥AB，AD//BC，AE=AB=BC=2，
AD=1，过 AD的平面分别与棱 EB,EC交于点 M，N．
(1)求证： AD∥MN ;
(2)记二面角 A DN E的大小为 ，求 cos 的最大值．
22．已知抛物线C : y2 2 px( p 0)的焦点为 F，M m, 2 为抛物线上一点， MF 2．
(1)求抛物线 C的标准方程；
(2)已知点 A 2,0 ，点B 2,1 ，过点 A的直线与抛物线交于 P，Q两点，连接 PB交抛
物线于另一点 T，证明：直线 QT过定点，并求出定点坐标．
4
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彭山一中 25 届高二下入学考试数学参考答案：
1．A 3 4【详解】由直线 3x 3y 4 0得 y x
3 3
3
故直线的斜率为 ，又倾斜角范围为 0,180 ，所以倾斜角为150 ．3
2．D【详解】设事件 A “三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有123, 435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354，
13
即事件A发生了 13次，用频率估计事件A的概率近似为 ．
20
3．B【详解】由题意得 S6 S3 8， S6 S3 8 4 8 12 ，
2
因为 S3 ,S6 S3 ,S9 S6 成等比数列，故 S6 S3 S3 S9 S6 ，
2
即8 4 S9 12
S9 28 7
，解得 S9 28，故 S6 12 3
.
3
2

4．C【详解】因为 22 2 ，故点M 2,
3
在椭圆内部，过点M 2,
3
1 2 2
的直线恒与椭圆

16 9
有两个交点，设交点为 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则 x1 x2 4, y1 y2 3，
x2 21 y

1 1
16 9 x2 x2 y2 y2 k y1 y2
9 x x
1 2 1 2 0 1 2
9 4 3
又 ，两式相减得 ，整理得
x
2
2 y
2
2 16 9 x1 x2 16 y y1 1 2 16 3 4
，
16 9
3 3 3
所以以点M 2, 为中点的弦所在的直线方程为 y x 2 ，即3x 4y 12 0 .
2 2 4
5．D【详解】圆 x2 y2 1的圆心为 0,0 ，半径为1，圆 x2 y2 2x 4y 1 0的圆心为 1, 2 ，
半径为 2，则圆心距离为 1 4 5 1,3 ，故两圆相交，则两圆的公共弦所在直线方程为
2
1 2x 4 y 1 0 ，即 x 2y 1 0
1 4 5
，所以公共弦的长度为 2 1 .
1 4 5
6．C【详解】圆M 的标准方程为 (x 3)2 (y 2)2 4，圆心M 3,2 ，半径 r 2，
3 3 4 2 3
圆心M 到直线 l的距离为 d 4 2，即 l与圆相离，
33 42
由于MA AP，故 sin MPA
| AM | 2

| PM | | PM |，
故当MP l时， |MP |最小，此时 MPA最大，则 APB 2 APM 也取最大值，
2 1
此时 sin MPA , MPA 30 ，
4 2 APB 2 MPA 60
，
1
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7．C【详解】依题意，设 AF1 2m，则 BF1 3m， AF2 2a 2m, BF2 2a 3m，

由 AF1·AF2 0，得 AF1 AF
2 2
2，在Rt BAF2中， 25m2 2m 2a 3m 2a ，
a 2a 12a
整理得5m2 am 0，因此m ， AF1 , AF2 ，5 5 5
Rt F AF (2a )2 (12a在 1 2中，有 )
2 (2c)2，整理得
5 5 37a
2 25c2，
2
显然37a2 25(a2 b2 ) b 12 b 2 3，即
a2
，解得 ，
25 a 5
y 2 3所以双曲线的渐近线方程为 x．
5
8．A 1【详解】因为离心率为 2 ，故可设 a 2k ,c k(k 0)，故b 3k，
x2 y2 AF
故椭圆方程为： k 2 ，而 AF1 a c k， F2F1 2k
1 1
，故 ，因MF2 / /AN ，4 3 F2F1 2
NF1 1
故 MF 2 .故直线
MN与 x轴不垂直也不重合，故可设MN : x my k，M x1, y1 ，
1
x my k
N x2 , y2 ，则 y

1 2y
2 2 2
2，由 2 2 2 可得 4 3m x 6mkx 9k 0
3x 4y 12k
，
y y 6km 1 2
4 3m
2
9k 2
因F1在椭圆内部，故 0恒成立，且 y1y2 2 ，
4 3m
y1 2 y2


6km 12km 9k 2
2 5故
4 3m2 4 3m2
2 ，因 k 0，故m ，4 3m 5
12k 2 5
y 5 3 5 k 3 5 2 5 k此时 1 ，12 x1 k k 0
，
4 4 4 5 2
5
1 5
故M 在第一象限，符合条件，MN的斜率为 ，
m 2
9．ABD【详解】对 A：抛掷一枚骰子，所有基本事件为：A1, A2 , A3, A4 , A5 , A6，故 P Ai
1
，
6
故 A正确；对 B： A2 B ， A2 ,B为互斥事件，选项 B正确；
对 C： A1 B 1 ，选项 C错误；
对 D： B C Ω,B C , B,C为对立事件，选项 D正确．
2
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10．BC【详解】选项 A， l : a2 2a 2 x y 2 0,a R 存在斜率，
直线 l方程可化为： y (a 2 2a 2)x 2，
直线15ax 3y 2 0
2
也存在斜率，方程可化为 y 5ax ，
3
2
由 2 ，则两直线平行的充要条件为 a2 2a 2 5a，
3
即a2 - 3a+ 2 = 0解得 a 1或 2，故 A错误；
选项 B，由直线 l的斜率 k a 2 2a 2 (a 1)2 1 1 ，
π π
则倾斜角的范围为 , ，故 B正确； 4 2
选项 C，当 a 1时，直线 l : x y 2 0，斜率为1，
又直线 x y 0的斜率为 1，则两直线斜率之积为 1，故两直线垂直，C正确；
选项 D， l : a2 2a 2 x y 2 0,a R ，令 x 0，得 y 2 2，
故直线过定点 (0,2)，不过 (0, 2)，D错误.
11．BCD【详解】解：以A为坐标原点， AB,AD,AA1所在的直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，则

A 0,0,0 ,E 0,2,3 ,F 2,4,0 , AE 0,2,3 ， AF 2, 4,0 ，
2
可得平面 AEF 的一个法向量为m 2, 1, 3
．


若G为 A1B1的中点，则G 2,0,3 ,CG 2, 4,3 ，

CG AE 1 0， AG 2,0,3 , FG 0, 4,3 ，

2
2 AG FG
则A到 FG的距离 d AG
2 61
，A不正确，B正确．

FG
5

1
若 A1G A1B1，则G 1,0,3 ,CG 3, 4,3 ,CG m

0 ，则
4 CG m
，
因为CG 平面 AEF ，所以CG//平面 AEF ，C正确．
将平面 A1B1C1D1沿着 A1B1翻折至与平面 A1B1CD共面，
当E,G,F 三点共线时， EFG的周长最小，此时 EG FG 22 72 53 ，
翻折前EF 17，故 EFG的周长的最小值为 17 53 ，D正确．
3
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12．ACD【详解】两枚骰子的点数均为奇数的概率 P
1 1 1
，故玩家每次往前跳两格的
2 2 4
1 3 3 1 3 3 13
概率为 ，往前跳一格的概率为 ，则 P 1 ,P 2 ，A正确，B不正确．
4 4 4 4 4 4 16
3
由题可知，P n 2 P n 1 1 P n ，
4 4
则P n 2 1 P n 1 1 1 P n 1 P n P 2 P 1 1，
4 4 4

故数列 P n
1
1 P n 为常数列，也是等差数列，C正确．
4
又P n 1 1 P 4 1n 1，得 P n 1 P n
4
，
4 5 4 5
P 1 4 1 4 1 1因为 ，所以数列 P n 是以 为首项， 为公比的等比数列，
5 20 5 20 4
n 1 n 1
则P n 4 1 1

，则 P n
4 1 1

，D正确．5 20 4 5 20 4
13． n2 n【详解】令m 1，可得 an 1 an a1 1，
故{an}是以 1为首项，1为公差的等差数列，则 an 1 n 1 n，故 a2n 2n bn，
bn 1 2n 2，bn+1 -bn = 2，b1 2，故{bn}是以 2为首项，2为公差的等差数列，
设bn 前 n项和为 Sn，则 a2 a4 a b
n(2n 2)
2n 1 bn Sn n
2 n .
2
14 3 22． 【详解】如图，以 D为坐标原点建立空间直角坐标系，
11
则 A 3,0,0 ,E 0,0,2 ,F 3,3,1 ,C1 0,3,3 ,B1 3,3,3 ，

所以 AE 3,0,2 , FC1 3,0,2 ，所以 AE FC1，
而 AE 平面 AB1E， FC1 平面 AB1E，故 FC1 //平面 AB1E，
所以直线 FC1到平面 AB1E的距离即为点 F到平面 AB1E的距离.

又 AE 3,0, 2 ， AB1 0,3,3 ，设平面 AB1E的法向量为 n x, y, z ，

n AE 0 3x 2z 0 n 故 ，即 ，取 z 3，则 2, 3,3 3y 3z 0 ， n AB 1 0

EF AB E d n EF 6 3 22又 3,3, 1 ，故点F 到平面 1 的距离为 .n 22 11
4
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}
15 5 2 y 0 x 3． 【详解】解：直线 AB的方程为 ，即 x y 3 0．
6 2 0 1 3
圆 (x 2)2 y2 r2 (r 0)的圆心 (2,0)到直线 AB d |1 2 3 | 5 2的距离 ，
2 2
由 MAB的面积是 NAB的面积的 2倍的点M ，N有且仅有一对，
可得点M 到 AB的距离是点 N到直线 AB的距离的 2倍，
可得MN过圆的圆心，如图：
5 2 5 2 5 2
由 r 2( r)，解得 r ．
2 2 6
16． 5
【详解】如图，设F c,0 b b（c 0），渐近线OA：y x，渐近线OP：y x，直线 FA：
a a
y a x c a b，因为点A在第一象限，所以 ，得b a，原点O到直线 FA的距离，即
b b a

x a
2c
ac b2 a2OP a A a
2c abc
2 2 .将直线FA与OA联立方程组可解得 ，故a b b2 a2
,
b2 a2
.
y abc
b2 a2
4 2 2 2
OA a c a b c
2 ac2
所以 2 2 2 2 2 2 2 .b a b a2 b a
OA 5
在Rt△OPA中，OP OA 2 PA 2 OA 2 OP 2 ，整理可得 OP 3，
c2 5 c2 c
所以 ，整理得 5，所以离心率 e 5 .
b2 a2 3 a2 a
1
17．【详解】（1）因为 p ，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率
4
P 1 1 1 3 3 1 3 1 2 11 ．4 4 3 4 4 3 4 4 3 3
2
（2）这三人都没答对该试题的概率 P2 1 p p
1 1
p
1

1 1
，
3 3 2 12 12
1
当且仅当 p 时，等号成立，
2
P 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1此时这三人中恰有一人答对该试题的概率 3 ，2 2 3 2 2 3 2 2 3 3
这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率
P 1 P P 1 1 1 74 2 3 ．12 3 12
5
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}
18．【详解】（1）由已知得 c 1，又因为右焦点F 1,0 与短轴端点间的距离为 2
2
得b2 ( 2)2 c2 1，则C x的方程为 y2 1 .
2
（2）由题可知，若△OPQ面积存在，则斜率不为 0，
所以设直线 l的方程为 x my 1，P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x2
y2 1, 2 2
联立 2 消去 x得 m 2 y 2my 1 0，
x my 1,
因为直线 l过点 F ，所以Δ 0
2m 1
显然成立，且 y1 y2 , y y .m2 2 1 2 m2 2
1 1 2 1 2m 2 4 2 m2 1
因为 S OPQ OF y1 y2 y1 y2 4y1y2 2 2 2 m2

2 m2

2 m2 2
2 m2 1 6 2
即 ，解得m2 2或m2 （舍去）
m2 2 4 3
则m 2 ，所以直线 l的方程为 x 2y 1 0或 x 2y 1 0 .
19．【详解】（1）如图，以 A为原点，以 AC，AB， AA1分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标
系 Axyz．则 A(0,0,0)， A1(0,0,3)，C(2,0,0)， P 2, 2,3 ，
3 3
当 E是线段 BB1的中点时， E 0,2, ， AE 0,2, ， A1C (2,0, 3)， 2 2
9
0 0
cos AE, A 2 9 13则 1C 9 65 ，4 4 9
4
9 13
所以异面直线 AE与 A1C所成角的余弦值为 ．
65
（2）设 BE h(0 h 3)，设平面 A1CP的法向量为 n

(x, y, z)，

又 A1C (2,0, 3)， A1P 2, 2,0 ， AE (0, 2,h)，

AC n 2x 3z 0
所以 1 ，令 x 3，得 n (3, 3,2)，
A1P n 2x 2y 0

AE// ACP AE n 若 平面 1 ，则 0 3 2 ( 3) 2h 0，解答 h 3．
所以在线段BB1上存在点 E，使得 AE//平面 A1CP，此时 BE 3．
6
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}
20．【详解】（1）当 n 1时， S1 4 a1，又 S1 a1，所以 a1 2．
a 1
由 Sn 4 an，得 Sn 1 4 an 1 ，两式相减，得a a a
n 1
n 1 n n 1，即 an 2
，
1 n 1 1 n 21
所以 an 是首项为 2，公比为 a 2 的等比数列，因此 n 的通项公式 an 2 ， 2 2
设等差数列 bn
1
的公差为d ，则由 a8b32 1，得b32 64a ，8
又b1 2，所以31d 62，解得 d 2，所以数列 bn 的通项公式为bn b1 n 1 d 2n．
n 2 n 2 n 2 n
2 S 4 a a 1 1

（ ）由 n n及 n ，得 S 4 ，所以 cn 2n 4
1 8n 8n 1
2 n 2 2

2
8n n P n 8 8n 设 的前 项和为 n，则 Pn 4n2 4n．2
n 2 n
设 8n
1 n 1 1 1 的前 项和为Qn，则Qn 8 1 8 2 8n ，
2 2 2 2
1 1 2 3 n 1Q 8 1 8 2 1 1n 8n

2 2 2 2
1 1 1
2
1
3 n n 1
1 1
两式相减，得 Qn 8 1 82 2 2
2
2
8n
2
n 1
2 1 1
2

n 1 1 n 2 Q 16 n 2 4 8n 1 8
，所以 n ．
2 2n 2 2
n 3
1
2
T P Q 4n 2 n 2 n 2所以 n n n 4n

16
2
2n 3
4n 4n
2n 3
16 ．
21．【详解】（1）因为 AD//BC， AD 平面 BCE， BC 平面 BCE，
所以 AD//平面 BCE .因为过 AD的平面分别与棱 EB,EC交于M ,N，所以 AD//MN；
（2）因为 AE 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，AD 平面 ABCD
所以 AE AB, AE AD，又因为 AB AD ，
如图，建立空间直角坐标系 A xyz，则
B(2,0,0),C(2,0, 2),E(0, 2,0),D(0,0,1)，

所以 ED (0, 2,1),EC (2, 2,2),BE ( 2,2,0),AD (0,0,1) ，

设BM BE, 0,1 ,则 AM AB BM (2,0,0) ( 2,2,0) (2 2 , 2 ,0)
7
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}

设平面 AND即平面 AMND的法向量为m (x1, y1, z1)，

m AD z1 0
则 ，令 x1 ，则 y1 1，于是m ( , 1,0)；
m AM (2 2 ) x1 2 y1 0

设平面END即平面 ECD的法向量为n (x2 , y2 , z2 )，

n

ED 2 y z 0
则
2 2
，令 y2 1，则 z2 2, x2 1，于是 n ( 1,1, 2)，
n EC 2x2 2 y2 2 z2 0
m n cosm,n 1 1
m n 6 2 ( 1)2 1 2所以 6 2 1
，
2

2

0,1 cosm ,n 3 6

因为 ，所以 , ，由二面角 A DN E的大小为 ，
3 6

根据m ( , 1,0), n ( 1,1,2)的方向判断可得 π m,n，
1 3
所以，当 时， cos 的最大值为 .
2 3
4 2
22．【详解】（1）因为M m, 2 为抛物线C : y2 2 px( p 0)上一点，所以m 2p p ，
2 p
又因为 MF 2
p
，所以 2 m ，即 2 p 2
2 p 2 ，解得 ，
所以抛物线 C的标准方程为 y2 4x．
2 P x , y Q yx , y T x , y PQ y y 2 y1（ ）设 1 1 ， 2 2 ， 3 3 ，则 的直线方程为 1 x xx x 1 ，2 1
y2 y1 x2y1 x1y2 2 2
化简得 y x x x x P
Q
x ，又 ， 在抛物线上，得 y1 4x1， y2 4x2，2 1 2 1
y 22 y
2
1
y y2 y
y y
代入 PQ直线得 1 x 4
1 4 2 y 4 x y 1y2
y 2 2 2 2 ，化简得 ，2 y1 y2 y1
y2 y1 y2 y1
4 4 4 4
代入点 A 8 4
y y
2,0 ，得 y1y2 8，则 y1 y ①，同理的 PT的直线方程为 y x
1 3
2 y3 y1 y3 y
，
1
8 8
代入点B 2,1 ，得 y3 y1 8 y1y3 ②，由①②得 y3 8 yy y 3 ，即 y2 y3 8 8 y2 y3 ③，2 2
y 4 yQT x 2
y3
同理可得 的直线方程为 y y y y ，3 2 3 2
8 y y 8 4
代入③得 y
4
x 2 3 ，即 y x 2 8，故直线 QT过定点 2,8y y ．y3 y2 y3 y2 3 2
8
{#{QQABKYoAogAAAhBAAAgCUwG4CAGQkAGACAoOhEAAsAABiRFABAA=}#}