2024年广东省广州市中考数学高频易错题精选练习（一）（含解析）

2024年广东省广州市中考数学高频易错题精选练习（一）
一、单选题
1．在庆祝中国共产主义青年团成立100周年期间，学校LED屏幕上，以共青团团歌为背景音乐，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：青、春、正、值、韶、华，同学们能看到的一个展开图是（ ）
A． B． C． D．
2．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各数﹣4，，0，，π，，0.101001000…，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A． B．是关于 的方程的一个根
C． D．当 时， 随 的增大而减小
7．如图，数轴上点A对应的数是1，点B对应的数是2，BC⊥AB，垂足为B，且BC=1,以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为
A．1.4 B． C．+1 D．2.4
8．随意转动图中两转盘上的指针，指针静止在如图所示的情形时(即蓝色和绿色相配)的概率为 ( )
A． B． C． D．
9．如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
10．如图所示，下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第15个图形中共有五角星的个数是（　　）
A．59 B．60 C．61 D．62
二、填空题
11．甲、乙人进行射击，每人10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别为=0.65， =0.52，则成绩比较稳定的是 .(填“甲”或“乙”) ．
12．因式分解：
13．平行四边形中，，则 °
14．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是 ．
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：AB=_____.
16．如图，等腰直角中，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中，．
18．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得 　 　；
(2)解不等式②，得 　 　；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 　 　．
19．如图，平行四边形中，是对角线，，
(1)连接，求证：．
(2)连接，，求证四边形是平行四边形．
20．某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．
(1)若人和木板对湿地地面的压力一定时，木板对烂泥湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
①求出与的函数解析式；
②当木板面积为时，压强是多少？
(2)已知该科技小组每个成员的体重与每块木板重量之和在之间，若要求压强不超过5000Pa，要确保每个人都能安全通过湿地，木板的面积至少要多大？
21．随着通讯网络技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更加便捷和多样．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生的学生家长（学生将问卷带回家让家长填写，然后收回统计），将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次统计共抽查了___________名学生家长；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为___________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1500名学生，请估计该校学生家长中最喜欢用“微信”进行沟通的学生家长有多少名．
22．如图，在中，
(1)用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求证：．
23．如图，在中，点、在边上，，．
试说明与相似．
若，，，请你求出与之间的函数关系式．
小明猜想：若，，，只要与之间满足某种关系式，问题中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出与所满足的关系式；若不同意，请说明理由．
24．某公司生产某种产品的成本是200元/件，售价是250元/件，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足二次函数关系：．
(1)如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式（无需自变量的取值范围）；
(2)如果公司年投入的广告费不低于10万元且不高于50万元，求年利润S的最大值；
25．在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点，点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当点，点关于此抛物线的对称轴对称时，连接AB，求线段AB的长；
(3)将此抛物线上，两点之间的部分(包括，两点)记为图象．当图象对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】根据正方体的展开图判断即可；
【详解】解：由题图可知“青”与“正”相邻，“华”与“正”相邻且在“正”的右侧；
故选：D
【点睛】本题主要考查正方形的展开图，观察“青”、“正”、“华”的位置关系是解题的关键．
2．B
【分析】由分母不为0，列不等式，再解不等式即可.
【详解】解： 分式有意义，
故选：B.
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义：分母不为0”是解本题的关键.
3．C
【分析】将方程－2x－y=14转换成y=－2x－14，即可确定这条直线对应的一次函数表达式．
【详解】在方程－2x－y=14中，
可得：y=－2x－14，
所以这条直线对应的一次函数表达式为y= 2x－14；
故选：C.
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，理解两者之间的联系是解题关键．
4．D
【分析】直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得到答案．
【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D. 是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形、轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题的关键．
5．C
【分析】有理数包括整数和分数，而无理数是无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．
【详解】∵﹣4，0，=2，是整数，∴﹣4，0，是有理数；
∵是分数，∴是有理数；
∵，π，0.101001000…，是无限不循环小数，∴，π，0.101001000…是无理数．
故选C．
【点睛】本题考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：整数和分数统称为有理数，有理数能写成有限小数和无限循环小数、而无理数只能写成无限不循环小数的形式．
6．B
【分析】根据抛物线开口向上得出，与轴交于负半轴，得出，即可判断A选项，根据抛物线对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点为，即可判断B选项，根据对称轴为直线，即可判断C选项，结合图形即可判断D选项．
【详解】解：∵抛物线开口向上得出，与轴交于负半轴，得出，
∴，故A选项错误；
∵抛物线对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点为，
∴是关于 的方程的一个根，
故B选项正确；
∵对称轴为直线，
∴，即，
故C选项错误，
∵抛物线对称轴为直线，开口向上，
∴当 时， 随 的增大而增大，
故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
7．C
【分析】首先根据勾股定理求出AC的长，再根据同圆的半径相等可知AD=AC，再根据条件：点A对应的数是1，可求出D点坐标．
【详解】∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC=，
∵以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，
∴AD=AC=，
∵点A对应的数是1，
∴点D表示的数是：+1，
故选C．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出AC的长是解答本题的关键．
8．A
【分析】列举出所有情况，看蓝色和绿色相配的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：共有6种情况，蓝色和绿色相配的情况数有1种，所以所求的概率为．
故选A．
【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解题关键．
9．B
【分析】因为四边形是平行四边形，所以；又因为点是的中点，所以是的中位线，由，即可求得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴（cm）；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
10．B
【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第n个图形中五角星的数量，然后令n＝15，从而可以解答本题．
【详解】由图可得，第n个图形有五角星：4n，
令n＝15，得4n＝60，
故选B．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中图形的变化规律
11．乙
【分析】根据方差的性质可知，方差越小，数据波动越小，数据情况越趋于稳定，据此进行分析即可.
【详解】解：由题干可得甲、乙的方差分别为=0.65， =0.52，有=0.65 =0.52，故乙的成绩比较稳定.
【点睛】本题考查方差所反映的数据稳定情况，掌握方差越小，数据波动越小，数据情况越趋于稳定即可.
12．
【分析】根据完全平方公式展开，再合并，最后再提取公因式即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了提公因式及公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．80
【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质：对角相等，是解题的关键．
14．2
【分析】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围，根据根与系数的关系得到＝2m，解分式方程即可．
【详解】解：根据题意得：m≠0且Δ＝[﹣2（m＋2）]2﹣4m2＝16m＋16＞0，
∴m＞﹣1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝，
∵x1＋x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
经检验，m＝2或﹣1是原分式方程的解，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程的步骤是解题的关键．
15．1：1.5
【分析】根据角平分线的性质和等腰三角形的性质可求证AD=CD，然后即可得出AD∶AB.
【详解】解：∵AB∥CD
∴∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB
∴∠CAB=∠CAD =∠DCA
∴AD = CD
∵DC∶AB=1∶1.5
∴AD∶AB=1∶1.5
【点睛】角平分线的性质和等腰三角形的性质是本题的考点，证明AD=CD是解题的关键.
16．/
【分析】将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，即有，
∴，
，，，
，
随着点的运动，总有，，
，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∴、、三点在同一直线上，
点的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，如图，
在等腰中，，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17．，2022
【分析】先根据平方差公式及完全平方公式去小括号，合并同类项，再计算除法，最后代入字母的值计算．
【详解】解：原式
∵，．
∴原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式混合运算顺序及平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）解不等式即可求得解集；
（2）解不等式即可求得解集；
（3）按照不等式解集在数轴上的表示方法表示出来即可；
（4）根据两个不等式解集在数轴上的表示即可确定出不等式组的解集．
【详解】（1）解不等式①，得，
故答案为：．
（2）解不等式②，得，
故答案为：．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为．
（4）原不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的步骤是关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据已知条件得出，即可证明；
（2）根据，得出，进而得出，则，结合条件，即可得证．
【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
20．(1)①，；
(2)木板的面积至少要
【分析】①根据压强与面积的关系设函数关系，代入一个已知点的坐标求解即可．
②代入函数解析式即可．
(2) 由题意可得人与木板对湿地地面的最大压力为750N，此时有，当时代入数据求解即可．
【详解】（1）①设与的函数关系式为，由图可知，当时，
所以有，解得：．
即与的函数解析式为：．
②把代入得：
答：当木板面积为时，压强是2000Pa．
（2）（2）由题意可得：人与木板对湿地地面的最大压力为750N，此时有，
当时，所以．
答：木板的面积至少要
【点睛】本题考查反比例函数与实际问题，解题的关键是根据图形求出反比例函数的解析式代入数据求解即可．
21．(1)
(2)见解析
(3)该校最喜欢用“微信”进行沟通的有600名学生
【分析】（1）根据喜欢“电话”沟通的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生，然后即可计算出喜欢“短信”沟通的学生及喜欢“微信”沟通的学生数，据此即可求得表示“微信”的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生人数．
【详解】（1）解：本次共调查了（名）学生，
喜欢“短信”沟通的学生有：（人），
喜欢“微信”沟通的学生有：（人），
表示“微信”的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：；
（2）解：补充完整的条形统计图如图所示；
（3）解：（名），
答：估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的有600名学生．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．(1)图见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交交于点，交于点，即为所求；
（2）利用证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查基本作图，证明三角形全等．熟练掌握尺规作垂线的方法，以及三角形全等的判定方法，是解题的关键．
23．（1）说明见解析；（2）；（3）同意，2β-α=180°
【分析】（1）根据PC=PD=CD，得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，则∠ACP=∠BDP=120°，可证明∠A=∠BPD，从而证得△APC与△PBD；
（2）由（1）得 ，则 ，从而得出y与x的函数关系式；
（3）由条件可知当关系成立时则有△APC∽△PBD，可得到∠A=∠CPB，再结合外角和三角形内角和可找到α和β之间的关系式．
【详解】解：（1）∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD
∴△APC∽△PBD
（2）由（1）得△APC∽△PBD，，
∴，即
（3）同意，2β-α=180°
理由如下：
∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC，
∴∠PCA=∠PDB，
当时，则有△APC∽△PBD，
∴∠A=∠DPB，
∵∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD=β-α，
∴∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=β-α，
在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴β-α+β-α+α=180°，即2β-α=180°．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
24．(1)
(2)万
【分析】（1）根据利润＝（销售单价 成本）×销售量 广告费用，列出函数关系式，化简成一般式即可得；
（2）将（1）中二次函数一般式配方成二次函数的顶点式，由x的范围结合二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式为：；
（2）解：∵，
∴当时，S随着x的增大而增大；
当时，S随着x的增大而减小；
当时，S有最大值920.5．
答：年利润S的最大值为920.5万元．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)，．
【分析】（1）根据函数对称轴和与轴交点可直接得到结论；
（2）根据题意可知，点的横坐标与点的横坐标的中点在对称轴上，由此列出方程，可得出的值，进而得出结论；
（3）①根据题意，需要分两种情况：当时，；当时，，再对于每部分最高点和最低点进行讨论，从而得出结论；
【详解】（1）解：∵抛物线（，为常数）的对称轴为直线，
∴．
∴．
∵抛物线与轴交于点，
∴．
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）∵点，点关于此抛物线的对称轴对称，
∴．解得．
∴，．
∴；
（3）∵图象对应的函数值随的增大而先淢小后增大，
∴图象的最低点的纵坐标为．
根据题意，得．解得．
最高点有两种情况：
①当，即时，
此时图象的最高点为，
，此时；
②当，即时，
此时函数的最高点为．
此时，此时
∴，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，分类讨论思想等相关知识，根据二次函数的性质进行分类讨论是解题关键．