2024年湖南省长沙市中考数学高频易错题精选练习（二）（含解析）

2024年湖南省长沙市中考数学高频易错题精选练习（二）
一、单选题
1．下列四个数：，，，中，绝对值最大的数是（ ）．
A． B． C． D．
2．电影《长津湖》备受观众喜爱，截止到2021年12月初，累计票房57.44亿元，57.44亿元用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列四个命题中，真命题有（ ）
①一个三角形中至少有两个锐角． ②如果是的对顶角，那么．
③如果a为实数，那么． ④实数与数轴上的点是一一对应的．
⑤0.3，0.4，0.5是一组勾股数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．在同一直角坐标系中，一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象与正比例函数y＝kx图象的位置可能是（　）
A． B． C．D．
7．八（1）班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，则体育锻炼时间的中位数是（ ）
时间（） 5 6 7 8
人数（人） 2 6 5 2
A． B． C． D．
8．下列运算正确的是( )
A． B．　 C． D．　
9．红红和娜娜按下图所示的规则玩“锤子、剪刀、布”游戏，
游戏规则：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜，若两人出相同的手势，则两人平局.
下列说法中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
10．下列命题正确的是（）．
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
二、填空题
11．在实数范围内因式分解： ．
12．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是 ．
13．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是x＝1，则2028﹣a﹣b＝ ．
14．在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，AD是角平分线，CD=3cm，点P在边AB上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为 ．
15．某校为了举办“庆祝建党90周年”的活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息这所学校一共有 人．
16．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点，若，则圆环的面积是 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：已知，求的值．
18．计算.（﹣）﹣2+（π﹣3）0﹣ ；
19．如图，已知锐角，．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在边上且，请连接，求证：．
20．
(1)如图1，在中，，，求的面积；
(2)我市将在春天举办花展，政府为花展划定了一个三角形区域，米，米．根据需要，政府将花展区域内的区域划定为管理区域，禁止游客进入．其中点D，E分别在，边上，米，米．主办方在四边形内部摆满鲜花，其中在边上摆满郁金香．某游客想要拍摄AD边上的郁金香，且已知拍摄的张角等于时，拍照效果最佳．请你帮该游客在四边形的边上寻找最佳拍摄地点P，并求此时的长度．（）
21．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
(1)事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是___；
(2)事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是___；
(3)现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
22．列方程解应用题
学校给七年级学生组织知识竞赛，共设20道题，各题的分值相同，每题必答.下表记录了5名学生的得分情况
参赛者 答对题数 答错题数 得分
小明 10 10 40
小红 19 1 94
小刚 20 0 100
小强 18 2 88
小丽 14 6 64
(1)参赛者小芳得76分，她答对了几道题？
(2)参赛者小花说她得了83分，你认为可能吗？为什么？
23．在△ABC中，D为BC边中点，DM，ND分别是∠ADB，∠ADC的内角平分线．
（1）请比较MN与BM+CN的大小关系，并证明；
（2）当∠BAC＝90°时，BM＝2，CN＝，求MN的长度．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．

（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
25．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC＝120°，点D为BC上一动点（不与B、C重合），E是AD延长线上的一点，且∠BCE=∠BAD．
（1）求∠AEC的度数；
（2）试说明：在点D运动的过程中，∠AEB的度数是一个定值；
（3）若AD=a，DE=b，求ab的最大值．
参考答案
1．A
【分析】先求出负数的绝对值的大小，再进行实数的比较即可．
【详解】∵，，，．
∴．
∴绝对值最大的数为-4．
故选A．
【点睛】本题考查实数大小的比较方法以及绝对值的性质．掌握“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”是解答本题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：57.44亿用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可进行解答；轴对称图形：沿对称轴折叠后两部分可重合的图形；中心对称图形：绕旋转中心旋转180度后与原图重合的图形．
【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．C
【分析】根据三角形内角的性质、对顶角的定义、绝对值的性质、数轴的定义、勾股数的定义进行判断即可．
【详解】解：①一个三角形中至少有两个锐角，正确，为真命题；
②如果是的对顶角，那么，正确，为真命题；
③当时，，故③错误，为假命题；
④实数与数轴上的点是一一对应的，正确，为真命题；
⑤勾股数需为正整数，故⑤错误，为假命题；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握勾股数的定义、数轴的定义、绝对值的性质及对顶角的定义和三角形内角的性质是解题的关键．
5．C
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论．
【详解】解：连接，，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
6．C
【分析】根据正比例函数与一次函数的图象性质作答．
【详解】解：当k＞2时，正比例函数y＝kx图象经过1，3象限，一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象1，2，3象限；
当0＜k＜2时，正比例函数y＝kx图象经过1，3象限，一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象1，2，4象限；
当k＜0时，正比例函数y＝kx图象经过2，4象限，一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象2，3，4象限，当（k﹣2）x+k＝kx时，x＝＜0，所以两函数交点的横坐标小于0．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象性质，正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
7．B
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：∵共有15个数，最中间的数是8个数，
∴这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6；
故选：B．
【点睛】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
8．C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算逐项计算排除即可．
【详解】、与不是同类项，不可以合并，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算正确，符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算及其应用．
9．A
【详解】试题解析：红红和娜娜玩“锤子、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：
红红娜娜 锤子 剪刀 布
锤子 （锤子，锤子） （锤子，剪刀） （锤子，布）
剪刀 （剪刀，锤子） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，锤子） （布，剪刀） （布，布）
由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（锤子，锤子）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
因此，红红和娜娜两人出相同手势的概率为，两人获胜的概率都为，
红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为，错误，故选项A符合题意，
故选项B，C，D不合题意；
故选A．
10．C
【分析】根据随机事件、不可能事件的定义和概率的性质判断各选项即可．
【详解】A中，只有必然事件概率才是1，错误；
B中，随机事件的概率p取值范围为：0＜p＜1，错误；
C中，可能性很小的事件，是有可能发生的，正确；
D中，不可能事件一定不发生，错误
故选：C
【点睛】本题考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之间．
11．
【分析】利用提公因式法和平方差公式即可解答．
【详解】
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实属范围内分解因式，采用提公因式法和平方差公式是解答本题的关键．
12．8
【分析】首先根据平行四边形的性质得出,再说明EF是△ADO的中位线，得出,即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
又∵E,F为AD,OD的中点，
∴,
∴,
∴,
故填：8．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，熟练掌握平行四边形和三角形中位线的性质是解题关键．
13．2021
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到a+b﹣7＝0，于是得a+b的值，再代入计算2028﹣a﹣b的值．
【详解】解：把x＝1代入ax2+bx﹣7＝0得a+b﹣7＝0，
∴a+b=7
∴2028﹣a﹣b＝2028-（a+b）=2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．3≤DP＜6
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝2CD＝6，过D作DP⊥AB于P，PD＝AD＝3，于是得到结论．
【详解】解：如图，
∵∠CAB＝60°，AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，CD＝3，
∴AD＝2CD＝6，
过D作DP⊥AB于P，
∴∠APD＝90°，
∴PD＝AD＝3，
∴线段DP的长度范围为3≤DP＜6，
故答案为：3≤DP＜6．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．400
【分析】根据A文艺演出的人数及所占的比例即可得出总人数，
【详解】解：160÷40%=400（人）．
则这所学校一共有400人
故答案为：400.
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16．
【分析】如图，连接、，设，，由切线的性质得，，由垂径定理得，，由勾股定理得，，由即可求出圆环的面积．
【详解】
如图，连接、，设，，
大圆的弦切小圆于点，
，
，
，
在中，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及圆与圆环的面积计算，掌握圆的相关知识是解题的关键．
17．，．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后整体代入求值即可．
【详解】解：
＝
＝．
当时，
原式=
=
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式加减法则进行化简，整体代入求值．
18．7
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的乘法可以解答本题．
【详解】解：（﹣）﹣2+（π﹣3）0﹣
＝9+1﹣
＝9+1﹣3
＝7
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂和二次根式的乘法的运算法则是关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧与AB、BC相交，再分别以两个交点为圆心，大于两点间距离的一半为半径，在角的内部相交于一点，连接此点与点B并延长交AC与点D；
（2）根据已知条件证明△DBE≌△DBC，即可得到结论.
【详解】（1）作图如图所示，
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．
20．(1)
(2)取点见解析，100或
【分析】对于（1），先说明是等边三角形，再根据勾股定理求出高，根据三角形的面积计算即可；
对于（2），当点P在上时，根据“两角分别相等的三角形相似”得，再根据相似三角形的对应边长比例得，然后代入数值得出答案；当点P在上时，利用平行线分线段成比例定理得到，即，解方程即可．
【详解】（1）∵，，
∴是等边三角形，
∴．
过点A作，于点F，
∴．
根据勾股定理，得．
∴；

（2）解：如图所示，当点P在上时，
∵，
∴．

∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得或，
当时，，不符合题意；
∴米；
当点P在上时，
∵，
∴，
∴，即，
∴米，
综上所述，的长为100米或米

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
21．(1)0
(2)
(3)4个
【详解】（1）解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，
∴从口袋中随机摸出一个球是绿球是不可能事件，
发生的概率为0；
故答案为：0；
（2）解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，共有10个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是=；
故答案为：；
（3）解：设取走了x个红球，根据题意得：
，
解得：x=4，
答：取走了4个红球．
【点睛】此题考查了用概率公式求事件概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
22．(1)小芳答对了16道题；(2)小花不可能的83分，理由见解析.
【分析】根据表格得出答对一题得5分，再算出错一题扣1分，
（1）设小芳答对了m道题，答错了（20-m）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=76分建立方程求出其解即可；
（2）假设小花得83分可能，设答对了y道题，答错了（20-y）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=83分建立方程求出其解即可．
【详解】由小刚可得答对一题得5分
设答错一题得x分，10x+50=40(或19×5+x=94或18×5+2x=88或14×5+6x=64)
x=-1
(1)设小芳答对了m道题，则答错(20-m)道题
5m-(20-m)=76
m=16
答小芳答对了16道题
(2)不可能.
假设可能，设小花答对了y道题，则答错了(20-y)道题
5y-(20-y)=83
y=
因为不是整数
所以假设不成立
所以小花不可能的83分
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，结论猜想试题的运用，解答时关键答对的得分+加上答错的得分=总得分是关键．
23．（1）BM+CN＞MN，理由见解析；（2）3
【分析】（1）如图，延长ND到H，使ND=DH，连接MH，BH，由“SAS”可证△CDN≌△BDH，可得BH=CN，DH=DN，∠ACB=∠DBH，由线段垂直平分线的性质可得MN=MH，由三角形的三边关系可求解；
（2）先证明∠ABH=90°，在Rt△BHM中，由勾股定理可求MH的长，即可求解．
【详解】解：（1）BM+CN＞MN，
理由如下：如图，延长ND到H，使ND=DH，连接MH，BH，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△CDN和△BDH中，
，
∴△CDN≌△BDH（SAS），
∴BH=CN，DH=DN，∠ACB=∠DBH，
∵DM，ND分别是∠ADB，∠ADC的内角平分线，
∴∠ADM=∠ADB，∠ADN=∠ADC，
∴∠ADM+∠ADN=90°，
∴∠MDN=90°，
∴MH=MN，
在△BMH中，BM+BH＞MH，
∴BM+CN＞MN；
（2）∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠DBH=90°，
∴∠HBM=90°，
∵BM=2，BH=CN=，
∴MH==3，
∴MN=MH=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1）①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ的最大值为9．（2）m+n的值为定值．m+n＝6．
【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；
②设M（m，m2﹣8m+12），利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求出Q（m，﹣2m+12），即可求出MQ的长与m的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；
（2）将B（6，0）代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据一次函数的性质设出直线MN的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．
【详解】（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），

∵B（6，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，

将B（6，0）代入二次函数解析式中，得
解得：
∴二次函数解析式为
∴C（0，﹣36﹣6b），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把（6，0）代入得到：k＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，
由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，
∴x1+x2＝6，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴m+n＝6．
∴m+n为定值，m+n＝6．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
25．（1）∠AEC=30 ；（2）不变，见解析；（3）3
【分析】（1）由AB=AC=2，∠BAC＝120°，可得∠ABC=∠ACB,由∠BCE=∠BAD，可得∠AEC=30°；
（2）作△ABC的外接圆，延长AD交圆于E，则点E满足条件：∠BCE=∠BAD，可知在点D运动时，弧不变，利用同弧所对圆周角相等可得∠ACB=∠AEB=30°即可；
（3）过A作AF⊥BC，交⊙O于G，连结EG，BG，根据垂径定理可得AG为⊙O的直径，由AB=2，∠ABF=30°，可求AF，∠BGA=∠ABF=30°，可得AG=2AB=4，可证△ADF∽△AGE，可得，当最小时，AD=AF==1，即可．
【详解】解:（1）∵AB=AC=2，∠BAC＝120°，
∴∠ABC=∠ACB=,
∵∠BCE=∠BAD，
∴∠AEC==30°
（2）作△ABC的外接圆，延长AD交圆于E，连结CE，则点E满足条件：∠BCE=∠BAD
∵在点D运动时，弧不变，
∴∠ACB=∠AEB=30°
∠AEB的度数不变化，∠AEB=30°
（3）过A作AF⊥BC，交⊙O于G，连结EG，BG，
∵AB=AC，
∴，
∴AG为⊙O的直径，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF=，
∵，
∴∠BGA=∠ABF=30°，
∴AG=2AB=4，
∵AG为⊙O的直径，
∴∠AEG=90°=∠AFD，
又∠DAF=∠GAE，
∴△ADF∽△AGE，
∴，即，
∴，
∴当最小时，AD=AF==1，
∴，
∴当a=1时，ab的最大值为3．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，三角形外接圆，圆周角性质，30°角直角三角形性质，三角形相似判定与性质，掌握等腰三角形性质，三角形内角和，三角形外接圆，圆周角性质，30°角直角三角形性质，三角形相似判定与性质是解题关键．