2024年湖南省长沙市中考数学高频易错题精选练习（一）（含解析）

2024年湖南省长沙市中考数学高频易错题精选练习（一）
一、单选题
1．如果□+8＝0，那么“□”内应填的实数是（　　）
A．﹣8 B．- C． D．8
2．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列调查中，适宜采用全面调查的是( )．
①了解全国中学生的用眼卫生情况；
②了解某校合唱团 30 名成员订做比赛服装的尺寸大小；
③了解某种电池的使用寿命；
④调查长江流域的水污染情况
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知和两点关于原点对称，则
A．-81 B．-9 C．9 D．81
6．2020年9月28日上午，2020中国企业500强榜单在郑州发布，本次河南共有10家企业上榜2020中国企业500强，18家企业上榜制造业企业500强，7家企业上榜服务业企业500强，上榜企业数较上年均有所增加．郑州某企业1～5月份利润的变化情况如图所示，则以下说法与图中反映的信息相符的是（ ）
A．1～2月份利润的增长快于2～3月份利润的增长
B．1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差不同
C．1～5月份利润的众数是130万元
D．1～5月份利润的中位数为120万元
7．已知某商品经过了两轮价格上涨，第一轮的增长率为，第二轮的增长率为．设这两轮的平均增长率为，则下列关于与之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．在直角三角形ABC中，，在C点处作AB的平行线，如图所示，则的度数是（ ）
A．50° B．45° C．60° D．30°
9．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（ ）
A． B． C．D．
10．如图，中，由，，要求用圆规和直尺作图，分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若有意义，则实数的取值范围是 ．
12．方程的解是 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=4，则平行四边形ABCD的周长为 ．
14．关于x的方程有实根，则m的取值范围是
15．某学校有学生2000名，从中随意询问200名，调查收看电视的情况，结果如下表：
每周收看电视的时间（小时）
人数 15 47 78 41 19
则全校每周收看电视不超过4小时的人数约为 ．
16．以下说法中：①若，则；②若，则；③，则；④若，则，其中正确的有 个（填个数）．
三、解答题
17．（1）已知，，，且，求的值．
（2）已知有理数a，b，c满足，求的值．
18．解不等式组：
19．如图，已知．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点；
(2)连接，若，，求的度数．
20．我们可以用下面的方法把循环小数化成分数．设x＝0.66…，则10x＝6.666…，可得方程10x－x＝6，解得x＝，即．用上面的方法解决下列问题：
（1）把化成分数；
（2）计算：．
21．证明“全等三角形的对应角平分线相等”，命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证及证明过程，把下列证明补完整．
图形：如图所示：
已知：
求证：
证明：
22．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 ______ 0.942 0.946 0.951 ______
(1)填写完成表格中的空格；
(2)画出该批乒乓球优等品频率的折线统计图；
(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是___________（精确到0.01）
23．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点E在边AB上，且AE=5． 动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD—DC运动，到达点C后停止运动． 连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长；
(2)如图2，如果BC=4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值．
24．如图①，AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D，(1)求证：∠DAC＝∠BAC；
(2)若AD和⊙O相切于点A，求AD的长；
(3)若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G，C两点，题中的其他条件不变，试问这时与∠DAC相等的角是否存在，并说明理由．
25．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
(1)判断函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；
(2)若函数y=x2﹣x与y=x a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】根据互为相反数的和等于0进行解答．
【详解】∵□+8＝0，而互为相反数的和等于0，
∴“□”内应填的实数是﹣8．
故选A．
【点睛】本题主要考查了互为相反数的和等于0的运算法则，熟记有理数的运算法则是解题的关键，也是今后学习数学的基础．
2．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得从正面看左边是3层小正方形，右边是1层小正方形．
【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图是：
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．A
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】①了解全国中学生的用眼卫生情况，调查范围广，适合抽样调查，故错误；
②了解某校合唱团 30 名成员订做比赛服装的尺寸大小适合普查，故正确；
③了解某种电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故错误；
④调查长江流域的水污染情况，调查范围广，适合抽样调查，故错误；
故选A.
【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，解题关键在于掌握调查方法.
4．D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方法则，是解题的关键．
5．A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标互为相反数求出a、b.
【详解】解：∵和两点关于原点对称
∴a=4,b=5
∴(4+5)2×(4-5)=-81
故选A.
【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标的特征.
6．C
【分析】根据极差的判定方法得出1～4月份以及1～5月份极差，再结合中位数的定义求出1～5月份利润的中位数即可得出答案．
【详解】根据折线图1～2月以及2～3月的倾斜程度可以得出：
2～3月份利润的增长快于1～2月份利润的增长；故①选项错误，不符合题意；
1～4月份利润的极差为：130﹣100＝30，1～5月份利润的极差为：130﹣100＝30，
则1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差相同，故本选项错误，不符合题意；
∵130万元出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是130万元，故本选项正确，符合题意；
1～5月份利润的中位数是：从小到大排列后115万元位于最中间，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了极差以及中位数和众数等知识，正确的区分它们的定义是解决问题的关键．
7．C
【分析】设该商品原价为1，分别列出两轮增长后的价格即可解答．
【详解】解：该商品原价为1，则
若这两轮的平均增长率为，则两轮增长后的价格为，
若第一轮的增长率为，第二轮的增长率为，则两轮增长后的价格为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，熟知“原价×（1+增长率）=一次增长后价格”的等量关系，是解题的关键．
8．C
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠1=30°，
则∠ABC=90°-∠1=60°，
∵ab,
∴∠2=∠ABC=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
9．D
【详解】试题分析：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
∵一次函数y=-x+，
当x=0时，y=，
∴A（0，），
当y=0时，x=，
∴B（，0），
∴OA=OB=，
∴AB==4，
∴OP=AB=2，
∴PQ==．
故答案为．
故选D
考点：勾股定理
10．B
【分析】由作法知，可判断A；由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断B；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断C；由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断D．
【详解】解：A、由作法知作图是线段的垂直平分线，
∴，即，
∵中，由，，
∴，
∴，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
B、由作法知所作图是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，
故此选项符合题意；
C、由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】根据题意可知，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键．
12．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．16
【分析】在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，可得AB＝BC，所以四边形ABCD为菱形，进而求出周长．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的周长为：4×4＝16
故答案为：16
【点睛】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质及菱形的判定与性质，解题的关键根据平行四边形的性质和角平分线的性质证得四边形ABCD是菱形，
14．
【分析】讨论当m=0和m≠0时的情况，当m=0时，方程为一元一次方程，当m不等于0时，方程为一元二次方程，则即可求解.
【详解】解：当m=0时，
方程为：2x=0，即x=0，有实根；
当m≠0时，
方程为：，
=，
令，
解得：，
∴且m≠0，
综上：m的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
15．620人
【分析】根据2000乘以样本中每周收看电视不超过4小时的人数所占样本的比例即可求得全校每周收看电视不超过4小时的人数
【详解】解：全校每周收看电视不超过4小时的人数约为（人，
故答案为：620人．
【点睛】本题考查了根据样本求总体，从统计图获取信息是解题的关键．
16．
【分析】根据有理数的绝对值、相反数、倒数、平方等相关知识进行求解．
【详解】①若，则，故①错误；
②若，则，即，故②正确；
③，则，故③正确；
④若，则，故④错误；
正确的有②③，
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的绝对值、相反数、倒数、平方等的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
17．（1）0或；（2）
【分析】（1）根据绝对值的意义和，求出a，b，c的值，再代值计算即可；
（2）根据绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再代值计算即可．
【详解】解：（1），，，
∴，
∵，
∴或，
∴或；
（2）∵因为，
∴．
∴．
【点睛】本题考查绝对值的意义和非负性，熟练掌握绝对值的意义和非负性是解题的关键．
18．-3【详解】解：解不等式①得：x＞－3，
将②化简得：2x－1≤3，
解得：x≤2，
∴不等式组的解为－3＜x≤2．
19．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图求解即可；
（2）由中垂线的性质可得，据此知，继而得，最后在中根据内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴的度数为．
【点睛】本题考查线段中垂线的尺规作图，中垂线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及线段中垂线的性质．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）设x==0.5555…，则有10x==5.5555…．，可得10x-x=5，解方程即可；
（2）设x==0.454545…，可得：100x-x=45，解方程求得x==，再计算异分母分数加法即可．
【详解】解：（1）设x==0.5555…，则有10x==5.5555…．，
可得：10x-x=5，
合并得：9x=5，
解得：x=；
（2）设x==0.454545…，则100x=45.454545…，
可得：100x-x=45，
合并得：99x=45，
解得：x==；
原式=．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，正确理解题意中的小数化分数的运算规律并列方程解决问题是解题的关键．
21．见详解
【分析】根据全等三角形的性质可得出，，，再利用角平分的定义可得出，，进而可得，从而可根据角边角定理得证，最后再根据全等三角形的性质即可得证结论．
【详解】解：已知：如图，，、分别是和的角平分线．
求证：．
证明：∵
∴，，
∵、分别是和的角平分线
∴，
∴
在和中
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的定义等，熟练运用相关知识是解题的关键．
22．(1)见详解
(2)见详解
(3)0.95
【分析】（1）用频数除以对应的乒乓球数即可得；
（2）用横轴表示乒乓球数，纵轴表示频率，再结合表格描点，连线即可得；
（3）由折线统计图最后趋于0.95可得答案．
【详解】（1）解：补全表格如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（2）解：折线图如下：
（3）解：从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95；
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图．
23．(1)BC的长为3；
(2)t的值为6秒或12秒或14秒．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到PE是线段AC的垂直平分线，利用勾股定理即可求解；
（2）分点P在线段AD上，点F落在CD边上；点P在线段CD上，点F落在CD边上；点P在线段CD上，点F落在BC边上，三种情况讨论，利用轴对称的性质及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接EC、AP，
∵F与点C重合，点A与点F关于直线PE对称，
连接EC、AP，
∴PE是线段AC的垂直平分线，
∴EC=AE=5，BE=AB-AE=4，
∴BC=3，
∴BC的长为3；
（2）解：当点P在线段AD上，点F落在CD边上时，连接EF，过点F作FG⊥AB于点G，
∵矩形ABCD中，FG⊥AB，
∴四边形AGFD为矩形，
∴FG=AD=BC=4，
∵点A与点F关于直线PE对称，
∴PE是线段AC的垂直平分线，
∴EF=AE=5，
∴GE=，
∴DF=AG=AE-GE=2，
∴t的值为(秒)；
当点P在线段CD上，点F落在CD边上时，连接EF，过点F作FH⊥AB于点H，
同理求得EH=3，BH=BE-EH=1=CF，
∴t的值为(秒)；
当点P在线段CD上，点F落在BC边上时，连接EF，
同理求得FB=3，CF=BC-BF=1，
∴t的值为(秒)；
综上，t的值为6秒或12秒或14秒．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．分类讨论，防止遗漏．
24．（1）详见解析；（2）5；（3）存在，∠BAG＝∠DAC，理由详见解析.
【详解】试题分析：
（1）连接OC，则OC∥AD，得∠OCA=∠DAC，又∠OCA=∠OAC，即可证明；
（2）根据切线长定理，证明矩形OADC是正方形；
（3）连接BC，证∠BCG=∠DAC，又∠BCG=∠BAG，即得证.
试题解析：
(1)证明：如图①，连接OC.∵直线EF和⊙O相切于点C，
∴OC⊥EF.∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠BAC.
(2)解：∵AD和⊙O相切于点A，∴OA⊥AD.∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°.∴四边形OADC是矩形．∵OA＝OC，
∴矩形OADC是正方形．∴AD＝OA.∵AB＝2OA＝10，∴AD＝OA＝5.
(3)解：存在，∠BAG＝∠DAC.理由如下：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°.∴∠ACD＋∠BCG＝90°.∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠DAC＝∠BCG.∵∠BCG＝∠BAG，∴∠BAG＝∠DAC.
点睛：本题主要考查了圆周角定理、切线长定理、正方形的判定与性质等知识点，在圆中证明角的关系时，常用的方法是圆周角定理，特别要注意直径所对的圆周角是直角的灵活运用，有切点时一般需要连接圆心和切点.
25．(1)函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是“相邻函数”，理由见解析；
(2)a的取值范围为≤a≤1．
【分析】（1）通过构建函数，根据一次函数的性质可得出该函数在上单调递增，分别代入、即可得出的取值范围，由此即可得出结论；
（2）由函数与在上是“相邻函数”，构造函数，根据抛物线的位置不同，令其最大值、最小值，解关于的不等式组即可得出结论．
【详解】（1）函数与在上是“相邻函数”，理由如下：
点与　分别是两个函数与图象上的任一点，
当时，，
通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值的范围是，
所以成立，
因此这两个函数在上是“相邻函数”．
（2）函数与在上是“相邻函数”，
构造函数，在上．
根据抛物线对称轴的位置不同，来考虑：
①当，即时（图，
，解得：，
此时无解；
②当，即时（图，
，解得：，
；
③当，即时（图，
，解得：，
此时无解；
④当，即时（图，
，解得：，
此时无解．
综上可知：若函数与在上是“相邻函数”，则的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及二次函数的性质，解题关键是（1）构建函数y=x-1,根据一次函数的性质找出当0≤x≤2时，-1≤y≤1；（2）按抛物线的对称轴不同，再结合“相邻函数”的定义找出a的不等式组.本题属于中档题，难度不大，解决这类题型题目时，可据二次函数的性质按对称轴的位置不同来分段讨论.