山东省东营市第一中学2023-2024学年高二下学期开学收心考试数学试题（含答案）

试卷类型：A
东营市第一中学2023-2024学年高二下学期开学收心考试
数学（2024.02）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设，随机变量的分布列为：
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A． B．6 C．4或6 D．或4
5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点，且，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．今年春节，《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第20条》、《红毯先生》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《热辣滚烫》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点，过点作的切线，点关于的对称点为，若，则（ ）注：表示面积．
A．2 B． C．3 D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
9．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D．若3个女生按从高到矮的顺序排列（可以不相邻），则不同的排法有种
10．在平面直角坐标系中，已知分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B．若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C．若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为1
D．若为曲线上一点，则的取值范围是
11．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”，则（ ）
A． B． C． D．
12．在棱长为2的正方体中，为平面上一动点，下列说法正确的有（ ）
A．若点在线段上，则平面
B．存在无数多个点，使得平面平面
C．当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1
D．若，则点的轨迹为抛物线
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．已知为正整数，且，则_______．
14．如图，电路中三个电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率_______．
15．在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为_______．
16．已知抛物线的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则的最小值为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
（1）求值及二项式系数最大项：
（2）求的值（用数值作答）．
18．如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）点在线段上，若，求与平面所成的角的大小．
19．学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
（1）求学生甲被录取的概率；
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．
20．已知抛物线为的焦点，直线与交于不同的两点，且点位于第一象限．
（1）若直线经过的焦点，且，求直线的方程；
（2）若直线经过点为坐标原点，设的面积为的面积为，求的最小值．
21．如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为上的一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
22．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过点的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的值；
（3）设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上．
东营市第一中学2023-2024学年高二下学期开学收心考试答案
1．D 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C
9．BCD 10．BC 11．ACD 12．ABC
13．5 14． 15． 16．
17．（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
即仅有最大，所以，故．
即，二项式系数最大项为第5项：；
（2）令，得，
令，得．
两式相加可得．
18．（1）因为为正方形，则，
则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，
因为三角形是等边三角形，则，
平面平面．
所以异面直线与所成的角为．
（2）作交于点，连接，
平面平面，
则与平面所成的角为，
因为，所以，
则与平面所成的角的大小为
19．记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”．
则
设事件C表示“学生甲不被录取”，则
所以
所以学生甲被录取的概率为
（2）的可能取值为2，3，4
所以的分布列为
2 3 4
20．（1）解：依题意知，．
若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点，
联立，可得，则，
由韦达定理可得，
所以，，
解得，所以，直线的方程为或，
即或．
（2）解：若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点，
联立，可得，则，
由韦达定理可得，则，即．
不妨设，则，
所以，的面积为，
的面积为，
所以，，
当且仅当时，即时取等号．
所以的最小值为．
21．（1）在梯形中，取的中点，连接，
四边形为平行四边形，
，
平面平面，
平面平面平面．
（2）取中点，连接，
为中点，，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
分别为中点，平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，则，
平面与平面夹角的余弦值为，
又平面的一个法向量，
则，
解得，
又点到平面的距离．
22．解：（1）由题意知所以
所以的标准方程为．
（2）直线的方程为，所以，
当直线的斜率不存在时，
（1）若，则
（2）若，则，
所以
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由
得．所以，所以
所以，
综上，
（3）直线的方程为，直线的方程为，设交点，
法一：，
即，
因为，所以，即点在定直线上
法二：由（2）得，
由，
得，
即点在定直线上．