黑龙江省方正县高楞高级中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

高楞高级中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：选择性必修第一册（第一章～第三章3.2）。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
3．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．无法确定
5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．若两异面直线与的方向向量分别是，则异面直线与的夹角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
7．已知双曲线一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
10．已如双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，则的取值可以是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
11．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金管宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线的左右顶点为，则（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线与双曲线有相同的渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点
D．双曲线上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3
12．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面为中点，为线段上一点
A．若，则
B．若为中点，则
C．若，则四棱锥外接球表面积为
D．直线与平面所成的角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．直线经过的定点坐标是______．
14．已知双曲线，则的渐近线方程为______．
15．已知空间向量，则向量在向量的投影向量的坐标是______．
16．如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知直线经过点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为，求直线的方程．
18．（12分）
如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．
（1）求；
（2）求．
19．（12分）
命题：直线与圆有公共点，命题：双曲线的离心率．
（1）若均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若一真一假，求实数的取值范围．
20．（12分）
已知点，残，目的半径为1，圆心在上．
（1）若圆心在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，冰圆心的橫坐标的取估范围．
21．（12分）
已知椭圆的短轴长为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．
22．（12分）
如图，且且且平面．
（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
高楞高级中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 因为，则所以，，，因此，．
2．C 双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心染为．
3．A 设点关于直线的对称点的坐标为，则解得所以点的坐标为．
4．B 圆的圆心到直线的距离，从而，即点在圆外．
5．D 由题知表示焦点在轴上的椭圆，则有：解得或．
6．A 因为两异面直线与的方向向量分别是，所以，．设异面直线与所成的角为，则．又因为，所以，所以异面直线与的夹角为．
7．C由 题可知双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，则，即，又，所以．
8．B 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，不妨设，则解之得代入，可得，整理得，即，也就是．
9．ABD 对于A，由圆与圆的交点为，，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，则线段中垂线斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径，所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即到直线距离的坟大值为，故D正确．故选ABD．
10．AB 双曲线中，焦距，实轴长，不妨设，，，，则，又，则，由，可知，即，则的报大值为16，故选AB．
11．ABD 由题意可得，所以即解得，所以双曲线方程为，所以A正确；双曲线的渐近线方程为，双曲线的浙近线方程为，所以B正确；由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的浙近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点，所以C错误；由题意得，设为双曲线上任意一点，则，所以，所以双曲线上存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3，所以D正确．故选ABD．
12．ABD 对于B，如图1，连接，由于平面平面且交线为，所以平面，所以，所以，当是中点时，，B选项正确．对于C，即，由于平面平面且交线为，所以平面，所以，而，即两两相互垂直，所以四棱锥外接球的直径，所以外接球的表面积为，C选项错误．对于A，以为空间坐标原点建立如图2所示空间直角坐标系，则，当时，是等边三角形，所以，所以，所以A选项正确；对于D，设，其中，则，设平面的法向是为，则故可取，设直线与平面所成的角为，则，由于线面角的范围是，所以，将代入上式并化简得，由于，所以，所以D选项正确．故选ABD．
13． 把直线的方程改写成：，由方程组解得所以直线过定点．
14． 由题知双曲线的焦点在轴上，，所以的渐近线方程为．
15． 因为空间向量，所以，
所以向量在向量上的投影向量为．
16． 以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量，则取，得．设，，所以，所以，因为平面，所以，所以；连接，因为平面，所以平面的一个法向量；设与平面所成角为，则；所以时，，此时时，，此时，所以与平面所成角的范围是．
17．解：（1）直线与直线垂直，所以直线的斜率为2．
又直线经过点，所以直线的方程为，即．
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，所以点到直线的距离，解得或．
所以直线的方程为或．
18．解：（1）记，
则．
，
，
，即有．
（2）．
19．解：（1）若命题为真命题，则，解得，
若命题为真命题，则且，解得，
均为真命题，实数的取值范围是．
（2）若一真一假，则当真假时，即“”且“或”，则此时的取值范围是；
当假真时，即“或”且“”，则此时的取值范围是．
综上，的取值范围是．
20．解：（1）由得圆心为，
因为圆的半径为1，所以圆的方程为．
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，
所以，即，解得或．
所以所求的切线方程为或，即或．
（2）因为圆的圆心在直线上，故设圆心为，
则圆的方程为．
又因为，设，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有公共点，
所以，
整理得．
由，得；
由，得．
综上所述，的取值范围为．
21．解：（1）由题意可得
解得：，
故椭圆的标准方程为．
（2）设．
由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由整理得：，
由韦达定理可知：，
又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即．
则，
令，则，则，
令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，
即当时，在上单调递增，因此有，所以，
即当，即时，最大，最大值为3．
22．（1）证明：如图，依题意，建立以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系，可得，，，，，，，，，则．
设为平面的法向量，
则即不妨令，可得．
又，可得，故．
又因为直线平面，所以平面．
（2）依题意，可得．
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得．
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得．
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为．
（3）设线段的长为，则点的坐标为，可得．
易知，为平面的一个法向量，故，
由题意，可得，解得，
所以线段的长为．