河南省许平汝名校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

河南省许平汝名校2023-2024学年高二下学期开学考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至第二册第四章第三节.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.下列四对向量中，平行的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.在数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在正四面体中，是的中点，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知椭圆为的两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
6.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.324 B.420 C.480 D.768
7.过原点的直线与圆交于两点，且，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
8.在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.曲线可以表示（ ）
A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆
C.焦点在轴上的双曲线 D.圆
10.如图，三角形数阵由一个等差数列排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（ ）
A.数阵中前7行所有数的和为1190
B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137
D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
11.已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（ ）
A.的标准方程为
B.
C.四边形的周长随的变化而变化
D.当不与的上 下顶点重合时，直线的斜率之积为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在等差数列中，，则的前10项和__________.
13.已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，则__________，是上一点，且点，则的最小值为__________.
14.已知为等比数列，且，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知正项等比数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和.
16.（15分）.
已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，且，求二面角的正弦值.
18.（17分）
在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
19.（17分）
已知双曲线的左 右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：.
河南省许平汝名校2023-2024学年高二下学期开学考试
数学参考答案
1.C 因为，所以选C.
2.B 因为的一个方向向量为，所以设的方程为.将点代入，解得，故的方程为.
3.D 因为，所以，
所以是周期为2的数列，则.
4.A .
5.C 由解得.因为，所以.
6.C 因为为等比数列，且，显然的公比不为-1，所以也成等比数列.由，得.
7.A 圆，即圆，圆心到直线的距离为的中点为.因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，所以直线经过圆心，所以.
8.D 取的中点，连接，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.
因为是棱上一动点，设，且，所以.因为，所以.令，则.又函数在上为增函数，所以线段的长度的取值范围为.
9.AC 若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.A正确.若表示焦点在轴上的椭圆，则，无解.B不正确.若表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.C正确.若表示圆，则，无解.D不正确.
10.ACD 设等差数列的通项公式为.数阵中前7行共个数，数阵中前7行所有数的和为，A正确.
令，解得，前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，错误.记每一行的第1个数组成数列，则，累加得，所以，C正确.数阵中第10行从左至右的第4个数是，D正确.
11.ABD 对于，由题意知，解得，故的标准方程为正确；
对于，因为关于原点对称，且也关于原点对称，
所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，正确；
对于，
故四边形的周长为，为定值，错误；
对于，设，则，
因为在上，所以，整理得，所以，故D正确.
12.75 因为是等差数列，所以.
13.； 因为的焦点到其准线的距离为4，所以.当与的准线垂直时，取得最小值，且最小值为6.
14. 因为为等比数列，所以
.
15.解：（1）设的公比为，则
解得或（舍去）.
所以的通项公式为.
（2）因为是递增数列，所以，
.
.
16.解：（1）设，由，得.
因为是圆上的动点，所以，
故曲线的方程为.
（2）将的方程整理为，
令解得所以过定点.
当时，取得最小值，此时，解得，直线的方程为.
由（1）可知，曲线是圆心为，半径为3的圆，点到的距离为，所以点到的距离，
故面积的最大值为.
17.（1）证明：易知四边形为等腰梯形，如图1，作于于.
，所以，
所以，则.
因为平面平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）得平面，所以.
因为，所以平面.
以为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则，.
设平面的法向量为，则有令，可取.
平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则，，故二面角的正弦值为.
18.解：（1）当时，，则.
当时，由，得，则，则.
因为，所以从第2项起成等比数列，
则
（2），当为大于1的奇数时，，
当为偶数时，.
.
，
则，
则，
则，
则.
19.（1）解：由题意可知，解得.
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
所以双曲线的方程是.
（2）证明：由对称性可知，点的坐标为.
设直线的方程为，联立方程组消去得，
解得，代入，得，即.
易知，所以直线的方程为，
直线的方程为，联立方程组解得即
.
所以，
所以.