浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末调研测试数学试题（含答案）

湖州市2023学年第一学期期末调研测试卷
高一数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．图中实线是某商品利润关于销售量的图象，由于目前亏损，商店决定降低成本，同时提高商品售价，决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小正周期为 D．在上是增函数
8．已知函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
A．若角的终边过点且，则
B．设角为锐角（单位为弧度），则
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”
D．若，，则“”是“”的充分不必要条件
10．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若，则 D．
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的初相为 B．1秒时，函数的相位为0
C．4秒后，点第一次到达最高点 D．7秒和15秒时，点高度相同
12．已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的反函数是______．
14．已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是______．
15．设函数，，则函数的值域是______．
16．已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知集合，．
（1）求和；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
18．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（本题满分12分）
随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示．
0 10 30 70
0 1325 3375 9275
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，．
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值．
20．（本题满分12分）
已知定义域为的函数是奇函数．
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）解关于的不等式．
21．（本题满分12分）
2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地的半径为20米，圆心角，承办方初步计划将其中的（如下左图，点位于弧上，，分别位于半径，）区域改造为花卉区，扇形荒地内其余区域改造为草坪区．
（1）承办方进一步计划将，设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
（2）因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形（如下右图，其中，位于半径上，位于半径上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形设计为正方形．求此时花卉区的面积．
22．（本题满分12分）
已知函数满足，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
湖州市2023学年第一学期高一期末教学测试
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C C A D B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
题号 9 10 11 12
答案 ABD BD BC ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
解析：（1），，
；，
（2）若，且，则，
所以，解得，的取值范围．
18．（本题满分12分）
解析：（1）由题意得，，则；
另解：由角终边过点，得，，
则；
（2）由题意得，，，
，，
（其它解法也酌情给分）
19．（本题满分12分）
解析：（1）对于，当时，它无意义，所以不符合题意；
对于，它显然是个减函数，所以不符合题意；
故选．
根据提供的数据，有
当时，．
（2）设车速为，所用时间为，
所耗电量
要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即．
所以当测试员控制的车速为，
该电动汽车的电池所需的最小容量为．
20．（本题满分12分）
解析：（1）因为是定义在上的奇函数，则，
即
，解得，
所以，故在上是递减函数．
证明：任取，，且，
，，
，即，故是定义在上的递减函数；
（2），，
是上的减函数，，
21．（本题满分12分）
解析：（1）设，，过点做的垂线交于，
，，
，
所以预算应该设定为元．
（2），
22．（本题满分12分）
解析：（1）因为①
则②
故联立上述方程组，解得
（2）由（1）知，，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
所以，，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
因为，所以，当时，取得最大值，最大值为，
所以，，在上恒成立，则，
所以的取值范围是．
（3）方程等价于，
即，，
令，则方程化为，（），
因为方程有四个不同的实数解，
所以，（），有两个不同的正根、，
记，
所以，，此时．另解，，此时．
综上，．