陕西省渭南市重点中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

渭南市重点中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试卷
（满分：150分 用时：120分钟）
一、单项选择题（共40分）
1．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（ ）
A．36种 B．72种 C．108种 D．144种
2．平行直线与直线的距离等于（ ）
A．1 B．0 C． D．3
3．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．展开式中项的系数为（ ）
A．28 B． C．112 D．
5．“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．过抛物线的焦点的直线与交于两点，若线段中点的横坐标为3，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率越大，则倾斜角越大
B．两点式适用于不垂直于轴和轴的直线
C．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为
C．的周长为30 D．点在椭圆上
11．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点。若，且的面积为，则（ ）
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
12．已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面与平面的夹角为
C．三棱锥的体积为定值
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题（20分）
13．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______．
14．若圆与圆关于原点对称，则圆的标准方程为______．
15．已知标准双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为______．
16．直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为______．
四、解答题（70分）。
17．（10分）
（1）求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程；
（2）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相切，且在直线上截得的弦长为，求圆的方程．
18．（12分）
（1）若的展开式中共有7项，求常数项；
（2）已知，求的值。
19．（12分）
已知点是平行四边形所在平面外一点，如果．
（1）证明：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
20．（12分）
已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，点在物物线内，若抛物线上一动点到两点距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）直线过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于两点，求弦的长度。
21．（12分）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
22．（12分）如图，过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点；
（1）当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标；
（2）当点异于点时，求证：为定值。
渭南市重点中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学答案
满分：150 时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、二、选择题（每小题5分，共60分）
1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．BC 10．BCD 11．BCD 12．AC
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．24 14． 15． 16．
四、计算题（共70分）
17．（10分）
（1）两条直线交点，目标直线的斜率：；
（2）
18．（12分）
（1）；
（2）令，得；
令，得
联立得：
19．（12分）
（1）略；
（2）
20．（12分）
（1）
当：三点共线时最小
用韦达定理：
21．（12分）
（1）关键：证明平面
，
底面
；
又由，算出，
又
又
加上：，所以后面；
又（正方形对角线垂直），所以平面
平面平面
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建系：
，得，线面角的正弦值等于线和法向量夹角的余弦值的绝对值，最终等于
22．（12分）
（1），椭圆方程：；此时为焦点，直线方程：，方程为：；和椭圆联立得：，可得坐标为
（2）当直线与轴垂直时不符合题意；观察到直线为定直线，求出方程：
设直线方程：，和椭圆联立得：，解得，带入直线得
点坐标为，则
则方程为，和联立得：，
为与轴交点，，为定值