山东省济宁市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

济宁市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试
数学试题
2024.2.25
一 单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
4.已知在空间四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
5.数列满足，且，则的值为（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.
6.直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.甲 乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.观察下面数阵，
则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）
A.545 B.547 C.549 D.551
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A.某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B.小明抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；小华抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005.如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C.将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
D.某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
10.已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A.
B.已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C.是等边三角形，且制圆的离心率为
D.设椭圆的焦距为4，点在圆上
11.已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A.数列的偶数项成等比数列
B.数列的奇数项成等差数列
C
D.
12.如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱上靠近点的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
A.沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B.保持与垂直时，的运动轨迹是线段
C.若保持，则点在侧面内运动路径长度为
D.当在点时，三棱锥的体积取到最大值
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量满足，则__________.
14.在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为__________.
15.记为等比数列的前项和.若，则__________.
16.已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，的周长是13，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知直线与垂直，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若与圆相交于两点，求.
18.（12分）某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男 女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.
（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男 女生优秀人数各有多少人？
（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率.
19.（12分）为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.（12分）如图1，在中，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）若数列的前项和为，且，等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22.（12分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若过坐标原点且斜率为的直线与交于两点，直线与的另一个交点为的面积为，求直线的方程.
济宁市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
参考答案
1-8ABCAD BBC
9.BC 10.ABD 11.AD 12.BD
13.5 14.0.91 15.60 16.6
17.（1）由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，
即.
（2）由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
18.（1）由题可得，男生优秀人数为人，
女生优秀人数为人；
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人.
设两名男生为，三名女生为.则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
共10个，
记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：
共7个.
所以.
19.（1）解：①当时，，又，
②当时，由，可得
两式相减得：，整理得，
是以首项为4，公差为3的一个等差数列，
（2）解：由（1）可得，
数列的前项和；
.
20.（1）证明：因为在图1中，沿着将折起，
所以在图2中有，
又，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，，
所以是二面角的平面角，所以，
又因为，所以是等边三角形，
连接，在图1中，因为，所以
因为是的中点，所以，所以是等边三角形.
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以两两垂直，
以为原点，为轴建系，如图所示.
所以
设平面的法向量为，则即
取，得平面的一个法向量为，
所以
设直线与平面所成角为，则
21.（1），又，
两式相减得，即，故数列是以3为公比的等比数列，
又当时，，得，
等差数列的公差为
（2）由（1）可得，
，
上两式相减得，
22.（1）设椭圆的半焦距为.因为棚圆的左顶点为，所以
又离心率，所以.所以，
所以的方程为
（2）由（1）可知，设直线的方程为.
由消去并整理得
设，
则，
所以.
因此，
解得，即，
所以直线的方程为或