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七年级数学下册 预习篇
5.1.1 相交线
1.相交线的概念：有唯一公共点的两条直线叫作相交线。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。对顶角成对出现， 两条直线相交所构成的四个角中，有2对对顶角。
3.对顶角的特征：
（1）两个角有公共顶点；
（2）两个角的边互为反向延长线；
4.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且他们的另一边互为反向延长线，这两个角称为互为邻补角。
邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角。
5.邻补角满足的条件：
（1）有公共顶点；
（2）有一条公共边，另一边互为反向延长线；
6.邻补角和补角的区别：邻补角是具有特殊位置关系的两个角，是两角互补的特殊情况，补角主要从数量关系上来看两个角的，而邻补角不仅从数量关系上满足两角之和为180°，还必须具备位置上的关系；如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互为补角；如果两个角互为补角，这两个角不一定互为邻补角；一个角的补角可以画出很多个，但邻补角只有两个。
选择题
1.如图，直线，相交于点，平分，平分，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是对顶角的性质和角平分线的定义，设为，根据角平分线的定义用表示出，列方程求出，根据对顶角相等得到答案．
【详解】解：设为，
平分，
，
，
平分，
，则，
解得，
，
故选：C．
2.下列说法正确的是（ ）
A．绝对值等于它本身的数是正数 B．对顶角相等
C．相反数等于它本身的数是1和0 D．所有数的偶数次方都是正数
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，对顶角相等，相反数的定义，偶次幂的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A. 绝对值等于它本身的数是正数或，故该选项不正确，不符合题意；
B. 对顶角相等，故该选项正确，符合题意；
C. 相反数等于它本身的数是0，故该选项不正确，不符合题意；
D. 所有数的偶数次方都是正数或0，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3.如图，图中的对顶角共有（）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【分析】此题主要考查了对顶角，关键是掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
利用对顶角定义可得答案；
【详解】图中的对顶角共有4对，
有和和和和
故选：A．
4.给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若，则点B为线段的中点；④一个角的补角一定大于这个角．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据棱柱、对顶角的性质、线段中点、补角等知识进行判断即可，熟练掌握棱柱、对顶角的性质、线段中点、补角等知识是解题的关键．
【详解】解：①棱柱的上、下底面的形状相同，故说法正确；
②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
③当点A、B、C在一条直线上，若，则点B为线段的中点，故说法错误；
④钝角的补角小于这个角，则一个角的补角不一定大于这个角，故说法错误．
综上可知，正确说法的个数有1个，
故选：A
5.如图，直线与相交于点平分，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了领补角互补与角平分线性质，熟练掌握邻补角与角平分线性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选A．
6.如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义及对顶角相等等知识点．先根据角平分线的定义得出，再根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
7.下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角，根据对顶角的定义，“对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，据此即可判断．
【详解】解：A、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
C、和是对顶角，故本选项符合题意；
D、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
故选：C
8.如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．
【详解】∵
∴
∵平分，
∴
∴．
故选：D．
填空题
1.如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了角的和差计算，补角的性质，由，，可求得，再由补角的性质可求得，再由平分，即可求得，问题随之得解．
【详解】解：，，
，，
，
平分，
，
，
故答案为：．
2.直线 ，垂足为点O，直线经过点O，若锐角，则 °（用含m的代数式表示）．
【答案】或
【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，掌握其性质是解本题的关键．
对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．根据题意，利用对顶角的性质通过计算解出答案．
【详解】由题意，需讨论以下两种情况：
①如图1
∵，
∴ ；
∵与是对顶角;
∴,
∴．
②如图2
∵，
∴；
∵与是对顶角，
∴，
∴．
综上：或．
故答案为：或．
3.如图，直线相交于点，平分．
（1）若，则的度数是 ．
（2）若，则的度数是 ．
【答案】 /度 /度
【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义．
（1）由角平分线的定义可求出，再根据邻补角的定义即可求解；
（2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，再根据对顶角相等即可求出的大小．
【详解】（1）平分，
，
，
故答案为：．
（2）设，则，
根据题意得，
解得，
，
，
．
故答案为：．
4.如图，点O在直线上，射线平分，若，则 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了角平分线的定义和邻补角的性质，根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的性质即可求解．
【详解】解：射线平分，，
，
，
故答案为：．
5.如图，，则的度数为 .
【答案】
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，邻补角互补求角度，熟练掌握角度单位换算，邻补角互补是解答本题的关键．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，
，
即，
故答案为：．
解答题
1.如图，直线、相交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)若，是否平分？
【答案】(1)
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
（1）根据对顶角相等得到，然后利用角平分线的定义解题即可；
（2）根据垂直可以得到的度数，然后根据角的和差得到的度数，进而得到结论．
【详解】（1）解：解：∵，
∴，
又∵平分，
∴；
（2）解：平分，理由为：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
2.已知是直线上的一点，平分．
(1)如图1，射线在直线的同侧．
①若______；若______度；
②猜想与之间的数量关系；
③若的内部有一射线，射线将分为1∶4两部分，求的度数；
(2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由．
【答案】(1)①；；②；③或
(2)相同，理由见解析
【分析】（1）①先求出，根据平分得到，即可得到，同理可得当时，；
②猜想，根据，平分即可得到，由，得到，猜想得证．
③分在左侧和在右侧两种情况，分别进行求解即可；
（2）根据，平分即可得到，由，得到，结论得证．
本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角．
【详解】（1）解：①∵
∴，
∵平分．
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∵平分．
∴
∵，
∴，
故答案为：；．
②猜想，
证明：∵，平分．
∴，
∵，
∴，
即．
③如图，当在左侧时，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，当在右侧时，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
综上可知，的度数为或；
（2）与之间的数量关系与②中的相同，即，
理由如下：
∵，平分．
∴，
∴，
即．
3.已知直线和相交于点，，平分，.
(1)求的度数；
(2)求的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了对顶角、余角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等是解题的关键．
（1）根据对顶角相等即可求解；
（2）根据角平分线的定义求出的度数，计算即可．
【详解】（1）解：∵与互为对顶角，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
4.如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)OB是的平分线，理由见解析
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义：
（1）由对顶角相等可得，再根据即可求解；
（2）由邻补角的性质求得，再由角平分线的性质求得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，，
；
（2）解：是．理由如下：
，
，
平分，，
，
，，
，
是的平分线．
5.如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的角平分线．是的反向延长线．求：
(1)射线的方向．
(2)的度数．
【答案】(1)北偏东
(2)
【分析】本题主要考查了方向角和角的和差计算，
（1）先求的度数，再求，即可得出结论；
（2）先求得，再由邻补角的定义即可求得．
【详解】（1）解：由图知：，
是的角平分线，
，
，
射线在北偏东方向上．
（2）解：，
．
6.如图，已知直线与相交于点是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)无论为多少度时，均有，为什么？
【答案】(1)
(2)无论为多少度，均有
【详解】（1）因为，所以．
因为分别是和的平分线，
所以．
所以．
（2）因为分别是和的平分线，
所以．
因为，
所以．
所以无论为多少度，均有．
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七年级数学下册 预习篇
5.1.1 相交线
1.相交线的概念：有唯一公共点的两条直线叫作相交线。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。对顶角成对出现， 两条直线相交所构成的四个角中，有2对对顶角。
3.对顶角的特征：
（1）两个角有公共顶点；
（2）两个角的边互为反向延长线；
4.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且他们的另一边互为反向延长线，这两个角称为互为邻补角。
邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角。
5.邻补角满足的条件：
（1）有公共顶点；
（2）有一条公共边，另一边互为反向延长线；
6.邻补角和补角的区别：邻补角是具有特殊位置关系的两个角，是两角互补的特殊情况，补角主要从数量关系上来看两个角的，而邻补角不仅从数量关系上满足两角之和为180°，还必须具备位置上的关系；如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互为补角；如果两个角互为补角，这两个角不一定互为邻补角；一个角的补角可以画出很多个，但邻补角只有两个。
选择题
1.如图，直线，相交于点，平分，平分，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
2.下列说法正确的是（ ）
A．绝对值等于它本身的数是正数 B．对顶角相等
C．相反数等于它本身的数是1和0 D．所有数的偶数次方都是正数
3.如图，图中的对顶角共有（）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
4.给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若，则点B为线段的中点；④一个角的补角一定大于这个角．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，直线与相交于点平分，且，则为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
7.下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
8.如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为
2.直线 ，垂足为点O，直线经过点O，若锐角，则 °（用含m的代数式表示）．
3.如图，直线相交于点，平分．
（1）若，则的度数是 ．
（2）若，则的度数是 ．
4.如图，点O在直线上，射线平分，若，则 ．
5.如图，，则的度数为 .
解答题
1.如图，直线、相交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)若，是否平分？
2.已知是直线上的一点，平分．
(1)如图1，射线在直线的同侧．
①若______；若______度；
②猜想与之间的数量关系；
③若的内部有一射线，射线将分为1∶4两部分，求的度数；
(2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由．
3.已知直线和相交于点，，平分，.
(1)求的度数；
(2)求的度数.
4.如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．
5.如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的角平分线．是的反向延长线．求：
(1)射线的方向．
(2)的度数．
6.如图，已知直线与相交于点是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)无论为多少度时，均有，为什么？
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