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七年级数学下册 预习篇
5.1.2 垂线
1.垂线的概念：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直；例如直线AB垂直于直线CD，可写成：；其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。
2.垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3.垂线段：过直线外一点作这条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。
4.垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，简称：垂线段最短。
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
6.垂线的画法：用量角器画垂线：
①经过直线上一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知点重合，再在量角器90°所对的位置处标出一点，拿走量角器，连接即可。
②经过直线外一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90°的垂线经过直线外的该点，再在量角器90°所对的位置出标出一点，连接这两点即可。
选择题
1.如图，直线a，b相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
2.如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直的定义，邻补角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先求出，再由平分，，再根据垂直的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3.如图，直线交于点O，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角的计算，掌握对顶角相等以及图形中角的和差关系是正确解答的前提．根据垂直的定义，对顶角相等以及角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴
故选：B．
4.如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据垂线的定义可得，由结合邻补角的性质求得，再根据角平分线的性质即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
故选：C．
5.如图，直线相交于点O，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查对顶角，垂线的定义，角的和差关系，根据对顶角相等可得，进而可得，根据可得，则．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
6.如图，直线、相交于点，于点，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角相等，垂直的定义．根据对顶角相等，垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C
7.点是直线外一点，、、三点在直线上，又已知，，，那么点到直线的距离（ ）
A．8 B．10 C．大于8 D．不大于8
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离；根据点到直线的距离定义及垂线段最短，即可求解．
【详解】在，，中最小，
若垂直于，则是垂线段，
到的距离就是，
若不垂直，
则大于垂线段的长度，
到的距离不大于．
故选D．
8.下列说法正确的个数为（）
①P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段；
②P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段长；
③过P点做直线l的垂线，垂足为O，P点到直线l的距离是P、O点两点之间的距离．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题考查点到直线的距离，垂线，两点的距离，关键是掌握点到直线距离的定义．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
【详解】解：①点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，故①不符合题意；
②点到直线的距离是点到直线的垂线段长，正确，故②符合题意；
③过点作直线的垂线，垂足为点到直线的距离是、点两点之间的距离，正确，故③符合题意．
∴正确的个数是2个．
故选：B．
填空题
1.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短定义．首先观察图形，可以看出哪条线段是最短的，根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，结合即可得到答案．
【详解】解：∵根据题意可知，
∴最短的是，
∴理由为：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
2.如图，直线，相交于点O，，O为垂足，若，则 ．
【答案】/54度
【分析】本题考查平面图形中角的计算，平角的定义和垂直的定义，结合图形计算是解题的关键．根据平角的定义求出的度数，再根据垂直的定义求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3.如图，直线、相交于点O，，O为垂足，如果，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，掌握以上知识是解题的关键．根据对顶角相等可知，根据余角的定义求得，根据邻补角的定义求得．
【详解】，，
，
，
，
，
故答案为：．
4.如图，中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．过C作于F，交于E．则的最小值为，利用三角形等面积法求出，即为的最小值．
【详解】解：过C作于F，交于E，
则的最小值为．
∵，，，
∴，
∴CF=，
即的最小值为：，
故答案为：．
5.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】②
【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
【详解】解：图利用垂线段最短；
图利用两点之间线段最短；
图利用两点确定一条直线．
故答案为：．
解答题
1.在如图所示的方格中，点A、B、C均为网格点，按要求画图并回答问题：
(1)画直线．
(2)过点C画线段的垂线，垂足为点D．
(3)点C与直线上各点连结的所有线段中，线段最短的数学道理是 ．
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)C
【分析】本题考查画直线，垂线，垂线段最短．
（1）画出直线即可；
（2）取网格点E，如图，画直线交于点D，则为线段的垂线，垂足为点D；
（3）根据垂线段最短，作答即可；
掌握相关定义和性质，是解题的关键．
【详解】（1）如图，过A，C画直线，直线即为所求；
（2）取网格点E，如图，画直线交于点D，则为线段的垂线，垂足为点D．
（3）因为点到直线，垂线段最短，
所以点C与直线上各点连结的所有线段中，线段最短；
故选C．
2.如图，直线AB，CD相交于点O，．
(1)若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON______CD．理由如下：
因为，所以______°．
所以______．
又因为，所以______（等量代换），
即．
所以__________（__________）．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)⊥，90，，，，垂直的定义
(2)
【详解】（1）⊥ 90 垂直的定义
（2）因为，所以．
因为，所以．所以．
所以．
所以．
所以．
3.如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
【答案】(1)的度数为
(2)能，理由见解析
【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解；
（2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：（1），
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：平分，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
4.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分．
(1)求证：；
(2)若与的度数比为，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为OE平分，OF平分，
所以，．
所以．
所以．
（2）因为与的度数比为，
所以．
所以．
又因为OF平分，所以．
因为，，
所以．
所以．
5.已知一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，探索两角之间的数量关系．
(1)在图①中，以点P为顶点作，使的两边分别与的两边互相垂直，量一量，和之间的数量关系是__________；
(2)在图②和图③中，作同样的，使的两边分别与的两边互相垂直，量一量，图②中，和之间的数量关系是__________；图③中，和之间的数量关系是__________；
(3)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边互相垂直，那么这两个角__________（只需写出结论即可）；
(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数．
【答案】(1)互补
(2)相等，相等或互补
(3)相等或互补
(4)，或，
【详解】（1）如图①所示． 互补（或）
（2）如图②③所示． 相等 相等或互补
（3）相等或互补
图① 图② 图③
（4）设这两个角分别为和，
由（1）（2）可知，或，解得或55，
所以这两个角分别为，或，．
6.如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以．
因为，所以．
所以．
（2）因为，，
所以．所以．
所以．
所以．
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七年级数学下册 预习篇
5.1.2 垂线
1.垂线的概念：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直；例如直线AB垂直于直线CD，可写成：；其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。
2.垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3.垂线段：过直线外一点作这条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。
4.垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，简称：垂线段最短。
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
6.垂线的画法：用量角器画垂线：
①经过直线上一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知点重合，再在量角器90°所对的位置处标出一点，拿走量角器，连接即可。
②经过直线外一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90°的垂线经过直线外的该点，再在量角器90°所对的位置出标出一点，连接这两点即可。
选择题
1.如图，直线a，b相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，直线交于点O，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.如图，直线相交于点O，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，直线、相交于点，于点，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7.点是直线外一点，、、三点在直线上，又已知，，，那么点到直线的距离（ ）
A．8 B．10 C．大于8 D．不大于8
8.下列说法正确的个数为（）
①P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段；
②P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段长；
③过P点做直线l的垂线，垂足为O，P点到直线l的距离是P、O点两点之间的距离．
A．3 B．2 C．1 D．0
填空题
1.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是 ．
2.如图，直线，相交于点O，，O为垂足，若，则 ．
3.如图，直线、相交于点O，，O为垂足，如果，则 ， ．
4.如图，中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为 ．
5.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
解答题
1.在如图所示的方格中，点A、B、C均为网格点，按要求画图并回答问题：
(1)画直线．
(2)过点C画线段的垂线，垂足为点D．
(3)点C与直线上各点连结的所有线段中，线段最短的数学道理是 ．
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
2.如图，直线AB，CD相交于点O，．
(1)若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON______CD．理由如下：
因为，所以______°．
所以______．
又因为，所以______（等量代换），
即．
所以__________（__________）．
(2)若，求的度数．
3.如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
4.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分．
(1)求证：；
(2)若与的度数比为，，求的度数．
5.已知一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，探索两角之间的数量关系．
(1)在图①中，以点P为顶点作，使的两边分别与的两边互相垂直，量一量，和之间的数量关系是__________；
(2)在图②和图③中，作同样的，使的两边分别与的两边互相垂直，量一量，图②中，和之间的数量关系是__________；图③中，和之间的数量关系是__________；
(3)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边互相垂直，那么这两个角__________（只需写出结论即可）；
(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数．
6.如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
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