第六章 6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第六章
6.4 平面向量的应用
6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 1.逻辑推理素养、数学运算素养、解决实际问题的素养.
2.了解余弦定理、正弦定理在实际生活中的应用. 2.解决实际问题的素养.
3.通过实际问题的解决，提高知识的综合运用能力和应用意识. 3.解决实际问题的素养.
温故知新
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，外接圆的半径为R.
1.余弦定理及其推论
2.利用余弦定理解三角形
①已知两边和夹角求第三边；
②已知三边求三角；
③判断三角形形状.
温故知新
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，外接圆的半径为R.
3.正弦定理及其推论
4.利用正弦定理解三角形
③判断三角形形状.
(R为△ABC外接圆的半径）
⑴;
⑵;
⑶
⑷；
⑸S=.
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角；
知新探究
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境和条件限制下的恰当方案.
A
B
D
C
壶口瀑布
设A、B两点都在河对岸（不可到达），设计一种方案测量两点之间的距离.
知新探究
【例1】如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
分析：若测量者在A,B两点的对岸取定一点C(称做测量基点),则在点C处只能∠ACB的大小，因而无法解决问题.
为此，可以再去一点D，测出线段CD的长，以及∠ACD,∠CDB,∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.
测量两点都不能到达的距离问题
知新探究
【例1】如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
解：
如图，在A,B两点对岸边选定两点C，D，测得CD=，并且在C，D两点分别测得∠BCA=, ∠ACD=, ∠CDB=, ∠BDA=.
在△ADC和△BDC中，由正弦定理，得
.
.
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A,B两点间的距离
.
测量两点都不能到达的距离问题
知新探究
水平距离的测量——两点都不能到达问题
⑴选基点C，D，测量基线CD的长，测量图中所示的角；
⑵在△ACD中，求出角∠ADC，
由正弦定理 ，求出AC的长；
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
⑶在△BCD中，求出角∠DBC，
由正弦定理 ,求出BC的长；
⑷在△ABC中,由余弦定理
,求得AB的长.
求解“两点都不能到达”问题，就是解三角形：求AC和BC是“已知两角和任一边，求其余的两边和一角”；求AB是“已知两边和它们的夹角，求第三边”.
测量两点都不能到达的距离问题
知新探究
在上述测量方案下，还有其他计算A,B两点间距离的方法吗？
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如图例1中的CD.为使测量具有较高的精确度，应根据需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
如图，早在1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同经线上的柏林（点A)与好望角（点B)为基点，测量出月亮在两地的仰角α和β，以及两地之间的距离AB，并计算出地球与月亮之间的距离为CD = 385400km．
测量两点都不能到达的距离问题
知新探究
我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴.当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更先进的测量距离的方法.
测量两点都不能到达的距离问题
初试身手
在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD=CD=1,
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
由正弦定理，得 .
在△ABC中，由余弦定理，得
.
1.如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取1km长的基线CD，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
解：
.
∴,
则A,B两点的距离为km.
测量两点都不能到达的距离问题
新知探究
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点C（点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD,并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出CA.
测量术语——仰角
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角（如图）.
测量高度问题
【例2】如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.
新知探究
测量高度问题
【例2】如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.
解：
如图，选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，
由正弦定理，得
.
∴这座建筑物得高度为
AB=AE+h=
.
新知探究
测量高度问题
测量垂直高度AB
1.底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长.
2.底部不能到达的
找基点C、D且与B共线，测量基线CD，测量∠C和∠ADB，
.
注意：在实际操作时，使C,D,B三点共线不是一件容易的事情.你有什么替代方案吗？
C
D
A
B
初试身手
测量高度问题
2.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向
上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是 m.
解：
在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得
(m).
在Rt△ABC中，
AB=BC(m).
新知探究
【例3】位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向距离20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
解：
于是 BC≈24(n mile)
=589.
根据题意,画出示意图(如图)，由余弦定理，得
.
测量角度问题
分析：根据“正东方向”“南偏西30o”“目标方向线”等信息，画出示意图后.
A
C
B
北
7 n mile
20 n mile
30o
新知探究
【例3】位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向距离20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
解：
由于0∴.
由正弦定理，得
.
测量角度问题
A
C
B
北
7 n mile
20 n mile
30o
∴,
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°，大约需要航行24n mile.
新知探究
测量角度问题
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
初试身手
3.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
在△ABC中，(海里)，(海里)，
B=180°-60°=120°，
.
∵0°<∠CAB<60°，
如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则
∴∠CAB＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
测量角度问题
课堂小结
1.利用正弦定理及余弦定理解决实际测量问题的基本步骤
2.解三角形在实际测量中的常见问题
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
画图形
解三角形
检验（答）
⑶测量角度问题
⑴测量两点都不能到达的距离问题
⑵测量高度问题
作业布置
作业： P53 习题6.4 第8，9，13，14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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