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八年级数学下册 预习篇
16.1 二次根式
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.是二次根式有意义的条件。
二、二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
选择题
1.下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式．
【详解】解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意，
故选：C．
2.若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
3.下列语句：①2是4的平方根．②，，都是无理数．③实数和数轴上的点一一对应．④的立方根是2．⑤．⑥，则．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，平方根，立方根，二次根式，无理数，①根据平方根的定义判断即可；②先化简各数，然后根据无理数的定义判断即可；③根据实数与数轴的关系判断即可；④根据立方根的定义判断即可；⑤根据二次根式的性质判断即可；熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】解：①2是4的平方根，故原说法正确；
②，，所以只有是无理数，故原说法错误；
③实数和数轴上的点一一对应，故原说法正确；
④，2的立方根是，故原说法错误；
⑤，故原说法错误；
⑥＝4，则，故原说法正确；
所以正确的有①③⑥，共3个，
故选：B．
4.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：A．
5.若有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数非负，根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若有意义，则即，
故选：A．
6.下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简是解题的关键．
【详解】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D 、，正确．
故选：D．
7.下列根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、不能与进行合并，不符合题意；
B、,不能与进行合并，不符合题意；
C、,不能与进行合并，不符合题意；
D、,能与进行合并，符合题意；
故选：D．
8.已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次根式的定义和性质；根据二次根式的被开方数为非负数可得到，由此可得到y的取值范围，然后依据得到x的取值范围，最后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由可知，
，
，
，
，，
，
故选：B．
填空题
1.化简：（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据二次根式的性质化简即可求解．正确的计算是解题的关键．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
故答案为：，，．
2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
∴，
故答案为：．
3.若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键．先求解，再由可得答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴；
故答案为：1．
4.已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的化简，先根据数轴上，，的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可，解题的关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号．
【详解】解：由数轴可得：，，
∴
∴
，
故答案为：．
5.在实数范围内有意义，则a的取值范围是
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数，分母不为0，据此即可作答．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴且
故答案为：且
解答题
1.计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质；
先算乘方和括号内的减法，同时利用二次根式的性质化简，然后计算乘法，最后计算加法即可．
【详解】解：原式
．
2.计算下列各题
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的计算：
（1）利用平方差公式和二次根式化简计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化简计算即可；
结合完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键．
【详解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=．
3.（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数a的值：
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，由点在数轴上的位置来判断式的正负等知识点，
（1）根据平方根的概念得到或两个数相同，解方程求出x的值，然后代入即可求出a的值；
（2）首先根据在数轴上的位置得到，然后化简求解即可；
熟练掌握相应的知识点是解决此题的关键．
【详解】（1）∵和是正数a的平方根，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）由图可知，，
∴，
∴
．
4.阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
【答案】(1)平方，
(2)25
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据证明过程补全即可；
（2）根据已知结论，得出，求出的值即可；
（3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：平方，；
（2）解：由题意可知，，
，
即，
故答案为：25．
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：，
，
，
．
5.已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长．
【答案】或/或
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形三边关系、根式有意义的条件等知识，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．根据根式有意义的条件求出a，b的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当a为腰，b为底时，三边为：4、4、5，，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为；
当a为底，b为腰时，三边为：4、5、5，，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为．
∴该三角形的周长是13或14．
6.已知．求的值．
【答案】
【详解】由题意知，，．
原式变形为
整理，得，两边平方，得
，即．
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16.1 二次根式
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.是二次根式有意义的条件。
二、二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
选择题
1.下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.下列语句：①2是4的平方根．②，，都是无理数．③实数和数轴上的点一一对应．④的立方根是2．⑤．⑥，则．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（）
A．1 B． C． D．
5.若有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7.下列根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
8.已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.化简：（1） ；（2） ；（3） ．
2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
3.若，，则 ．
4.已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ．
5.在实数范围内有意义，则a的取值范围是
解答题
1.计算：．
2.计算下列各题
(1)；
(2).
3.（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数a的值：
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
4.阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
5.已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长．
6.已知．求的值．
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