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八年级数学下册 预习篇
16.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即。
2.积的算术平方根的性质：
（1）；
（2）用语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；
（3）运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。
3.二次根式的除法法则：
（1）语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变；
（2）数学表达式：如果，那么；
4.在二次根式的除法法则中，条件与二次根式乘法的条件是有区别的；因为分母不能为0，所以被除式可以是非负数，而除式只能是正数，否则除法法则不成立。
5.商的算术平方根的性质
（1）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；
（2）数学表达式：如果，那么；
（3）运用商的算术平方根的性质，可以把二次根式化为最简形式。
6.最简二次根式的概念：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；
（2）对最简二次根式的理解：
①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1；
③分母中不含根号；
7.二次根式的乘除混合运算
（1）运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式的乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的；
（2）公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用；
（3）运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用；
8.在进行二次根式的运算时常见的错误：
（1）忽略计算公式的条件；
（2）不注意式子的隐含条件；
（3）除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；
9.二次根式的化简：
（1）如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式；
（2）如果被开方数是正数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来；
10.化去分母中的根号：
（1）化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式；
（2）下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式：
，，，；
（3）化去分母中的根号时，分母要先化简；在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。
选择题
1.设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．本题先求解，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故选：A．
2.下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
3.下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
故选：B．
4.下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式的识别，如果一个二次根式符合下列两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式．据此逐项判断即可．
【详解】解：A，中被开方数含能开得尽方的因数，，不是最简二次根式；
B，是最简二次根式；
C，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式；
D，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式；
故选B．
5.计算（）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
6.下列判断正确的是（ ）
A． B．与最接近的整数是5
C． D．与的积是有理数
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及无理数的估算：先把A和C选项的二次根式化简，再判断正确；根据无理数的估算方法对B和D选项进行判断，即可作答．
【详解】解：A、因为，所以，则，故该选项是错误的；
B、因为，则与最接近的整数是6，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，则与的积是有理数，故该选项是正确的；
故选：D
7.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
8.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．”进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式．
故选B．
填空题
1.化简： ．
【答案】
【分析】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简．
本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键．
【详解】由知，，
∴，
∴．
故答案为：．
2.计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
3.如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ．
【答案】26
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先求出图中留下来的阴影部分的面积等于两个长方形的面积之和，再将的值代入计算即可得．
【详解】解：由题意可知，图中留下来的阴影部分的面积为，
，，
，
故答案为：26．
4.已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，将因式分解为，把已知条件整体代入，运用二次根式的运算即可求解．
【详解】∵ ，，
∴．
故答案为：
5.若，那么代数式的值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了求代数式的值，首先将已知条转化为，然后整体代入代数式进行计算即可得出答案，熟练掌握求代数式值的方法于技巧，理解整体思想在解决问题中的应用是关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：8．
解答题
1.计算：（）．
【答案】
【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键．
【详解】解：
．
2.(1)计算：；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的除法，实数的混合运算，解分式方程．熟练掌握二次根式的除法，实数的混合运算，解分式方程是解题的关键．
（1）先计算二次根式的除法，乘方，然后进行加法运算；
（2）先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的根，最后检验即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：，
方程两边同时乘得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，．
检验，当，，是原分式方程的解．
3.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式的性质化简是解题的关键
（1）先根据二次根式的性质化简、然后去括号、最后合并同类二次根式即可解答；
（2）先根据二次根式除法法则、完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可解答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
4.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的运算；
利用完全平方公式和整式乘法的法则展开，然后合并同类项可得最简结果，再代入求值即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
5.先化简，再求值：，其中，，．
【答案】，
【分析】本题考查二次根式的化简求值．
根据二次根式的化简方法先化成最简二次根式，再代入求值即可．
【详解】解：
当，，时，
原式
6.请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算可得，，然后整体代入计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
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八年级数学下册 预习篇
16.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即。
2.积的算术平方根的性质：
（1）；
（2）用语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；
（3）运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。
3.二次根式的除法法则：
（1）语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变；
（2）数学表达式：如果，那么；
4.在二次根式的除法法则中，条件与二次根式乘法的条件是有区别的；因为分母不能为0，所以被除式可以是非负数，而除式只能是正数，否则除法法则不成立。
5.商的算术平方根的性质
（1）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；
（2）数学表达式：如果，那么；
（3）运用商的算术平方根的性质，可以把二次根式化为最简形式。
6.最简二次根式的概念：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；
（2）对最简二次根式的理解：
①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1；
③分母中不含根号；
7.二次根式的乘除混合运算
（1）运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式的乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的；
（2）公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用；
（3）运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用；
8.在进行二次根式的运算时常见的错误：
（1）忽略计算公式的条件；
（2）不注意式子的隐含条件；
（3）除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；
9.二次根式的化简：
（1）如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式；
（2）如果被开方数是正数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来；
10.化去分母中的根号：
（1）化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式；
（2）下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式：
，，，；
（3）化去分母中的根号时，分母要先化简；在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。
选择题
1.设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2.下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
5.计算（）的结果是（ ）
A． B． C． D．
6.下列判断正确的是（ ）
A． B．与最接近的整数是5
C． D．与的积是有理数
7.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.化简： ．
2.计算： ．
3.如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ．
4.已知，，则的值为 ．
5.若，那么代数式的值为 ．
解答题
1.计算：（）．
2.(1)计算：；
(2)解方程：．
3.计算：
(1)；
(2)．
4.先化简，再求值：，其中．
5.先化简，再求值：，其中，，．
6.请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
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