7.3三元一次方程组及其解法 课件（共25张PPT）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

7.3 三元一次方程组及其解法
数学（华东师大版）
七年级 下册
第7章 一次方程组
学习目标
1、了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想；
2、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
　
温故知新
复习引入
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化未知为已知
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
　
导入新课
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张.
问1：想一想题干中有哪些数量关系？
1元纸币张数＋2元纸币张数+5元纸币张数＝总张数
1元纸币金额＋2元纸币金额+5元纸币金额＝总金额
1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4
问2：可以怎样设未知数列出方程？
讲授新课
知识点一 三元一次方程组的概念
在第7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与负的场数。
在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
自主探究
讲授新课
这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或
二元一次方程组）来解决。
小明同学提出了一个新的思路：
问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜，
平，负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？
分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写
成方程组的形式，得



讲授新课
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
总结归纳
讲授新课
【三元一次方程组需要满足的3个条件】
①方程组中的每个方程都是整式方程；
②方程组中共含有三个未知数；
③每个方程都是一次方程．
【注意点】
方程组中的每个方程都是一次方程，但不一定都是三元一次方程，方程组中共计含有三个未知数即可
注：????+????+????=????????????=????????????????=????也是三元一次方程组
?
讲授新课
知识点二 解三元一次方程组
【计算】小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张.
解：设1元纸币x张，2元纸币y张，5元纸币z张.
x＋y＋z=12
x＋2y＋5z=22
x=4y
如何求解三元一次方程组？
讲授新课
解：把③带入①、②，得到关于y、z的方程组
5y＋z=12 ④
6y＋5z=22 ⑤
由④×5，得25y+5z=60 ⑥
由⑥-⑤，得19y=38，解得y=2
把y=2代入④，得z=2
把y=2代入③，得x=8
x=8
y=2
z=2
所以这个方程组的解为
讲授新课
典例精析
【例1】解三元一次方程组
解：②×3+③，得11x+10z＝35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y， 得到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
讲授新课
把x=5,z=-2代人②，得 2×5+3y-2=9，
所以?
因此，这个三元一次方程组的解为
讲授新课
【例2】在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值．
分析：把a，b，c 看成三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
解：根据题意，得三元一次方程组
讲授新课
②－①，得a＋b＝1； ④ 　
③－①，得4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得c=-5.
因此 即a，b，c 的值分别为3，-2，-5.
讲授新课
练一练
1、解方程组
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
x=9
y=8
z=6
?
?
?
讲授新课
2、解方程组
解：③－②得 3x+6z=－24
即 x+2z=－8 ④
①×3+②×4，得
17x－17z=17
即 x-z=1 ⑤
联合④⑤组成二元一次方程组，得

x+2z=－8
x-z=1
解得
x=－2，
z=－3.
将x=－2，z=－3代入方程 ②，得 y=0.
所以原方程的解是
x=－2,
y=0,
z=－3.
讲授新课
1.变形：将三元一次方程组通过消元变为为二元一次方程组；
2.求解：解二元一次方程组；
3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程；
4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数；
5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解.
解三元一次方程组的基本步骤：
当堂检测
1.已知三元一次方程组 ，则x+y+z=（　　）

A．20 B．30 C．35 D．70
C
2.若x＋2y＋3z=10，4x＋3y＋2z=15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
D
当堂检测
3.解方程组
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得 2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
?
?
?
x=9
y=8
z=6
当堂检测
4.解方程组：
解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12，
所以x＋y＋z＝6.④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝1.
④－③，得y＝2.
所以原方程组的解为
当堂检测
5.若|a-b-1|＋(b-2a＋c)2＋|2c-b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.

可得方程组

解得
当堂检测
6、解方程组：
3x + 4y – 3z = 3， ①
2x – 3y – 2z = 2. ②
5x – 3y + 4z = – 22. ③
解 ③ – ②，得 x + 2z = – 8.
①×3 + ②×4，得 x – z = 1.
x + 2z = – 8，
x – z = 1.
得方程组
解得
x = – 2 ，
z = – 3 .
代入②，得 y = 0 .
所以原方程组的解是
x = – 2 ，
y = 0，
z = – 3 .
当堂检测
7. 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x = – 1 时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60，求 a，b，c 的值.
解：
根据题意，得三元一次方程组
解得
课堂小结
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
谢 谢~