9.4.1乘法公式-完全平方公式 课件（共27张PPT）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共27张PPT)
第9章整式乘法与因式分解
9.4.1乘法公式
-完全平方公式
教学目标
01
理解完全平方公式的几何背景和推导过程
02
能借助口诀牢记两个完全平方公式，并熟练运用于计算
03
熟悉完全平方公式的拓展公式
完全平方公式
Q1：如图，求由2个小长方形和2个小正方形拼接而成的大正方形的面积。
如看作1个大正方形，
则S=(a+b)2
如看作2个小长方形和2个小正方形，
则S=a2+2ab+b2
a
b
a
b
01
情境引入
S=(a+b)2=a2+2ab+b2
请运用所学的知识验证(a+b)2=a2+2ab+b2的合理性~
【分析】
(a+b)2=(a+b)(a+b)，
由多项式乘法的运算性质可得：
(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。
01
情境引入
Q2：如图，大正方形由2个小长方形和2个小正方形拼接而成的，求蓝色小正方形的面积。
法一：S蓝=(a-b)2
法二：S蓝=a2-2ab+b2
01
情境引入
S蓝=(a-b)2=a2-2ab+b2
b
a
请运用所学的知识验证(a-b)2=a2-2ab+b2的合理性~
【分析】法一：
(a-b)2=(a-b)(a-b)，
由多项式乘法的运算性质可得：
(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。
01
情境引入
请运用所学的知识验证(a-b)2=a2-2ab+b2的合理性~
【分析】法二：
将a-b看作a+(-b)，即将(-b)看作整体，则可直接套用公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
01
情境引入
[a+(-b)]2=a2+2·a·(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
-b
-b
-b
完全平方公式的几何背景
02
知识精讲
b2
a2
ab
a
b
a
b
ab
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2
b2
b
a
ab
ab
(a-b)2=a2-2ab+b2
【完全平方公式】
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
【口诀】
首平方，末平方，
积的两倍在中央（符号随中央）。
完全平方公式
02
知识精讲
如何快速记忆这两个公式呢？
我们不妨从公式的结构特征进行分析。
平方
平方
积的2倍
符号跟随
【结构特征总结】
①左边是两个数的和（或差）的平方；
②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同。
完全平方公式
02
知识精讲
计算：(1)(2a+7b)2； (2)(xy-4)2。
【分析】
(1)原式=(2a)2+2·(2a)·(7b)+(7b)2
=4a2+28ab+49b2
将2a、7b分别看作整体，
则可直接套用公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
02
知识精讲
计算：(1)(2a+7b)2； (2)(xy-4)2。
【分析】
(2)原式=(xy)2-2·(xy)·4+42
=x2y2-8xy+16
将xy看作整体，
则可直接套用公式：
(a-b)2=a2-2ab+b2
02
知识精讲
【注意点】
①公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。
完全平方公式
02
知识精讲
02
知识精讲
【乘法公式】
完全平方公式叫做乘法公式，在计算时可以直接使用。
乘法公式
例1、如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（　　）
A．x2-y2=(x-y)(x+y) B．(x-y)2=x2-2xy+y2
C．(x+y)2=x2+2xy+y2 D．(x-y)2+4xy=(x+y)2
C
03
典例精析
例2、计算：(-3x-4y)2。
【分析】
∵互为相反数的两数的平方是相等的，
∴原式=(3x+4y)2，
03
典例精析
∴原式=(3x)2+2×(3x)·(4y)+(4y)2=9x2+24xy+16y2。
例3、已知(3x+a)2=9x2+bx+4，则b的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】
∵(3x+a)2=9x2+6ax+a2=9x2+bx+4，
∴a2=4，b=6a，
∴a=±2，b=±12。
D
03
典例精析
例4、先化简，再求值：(a+b)2-(a-b)2+5a(a-b)，其中a=3，b=2。
【分析】(a+b)2-(a-b)2+5a(a-b)
=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)+5a2-5ab
=4ab+5a2-5ab
=5a2-ab，
03
典例精析
当a=3，b=2时，原式=5×9-3×2=39。
【总结】(a+b)2-(a-b)2=4ab
例5、计算：(1)10032； (2)99982。
【分析】
(1)10032
=(1000+3)2
=10002+2×1000×3+32
=1000000+6000+9
=1006009
(2)99982
=(10000-2)2
=100002-2×10000×2+22
=100000000-40000+4
=99960004
03
典例精析
完全平方公式的拓展
计算：(a+b+c)2。
大正方形的面积即(a+b+c)2
=3个小正方形与6个长方形的面积之和
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。
a
c
a
c
b
b
01
情境引入
【分析】法一：几何法
【分析】法二：多项式乘法的运算性质
01
情境引入
计算：(a+b+c)2。
原式=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。
【分析】法三：完全平方公式
01
情境引入
计算：(a+b+c)2。
原式=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。
将(a+b)看作整体，
则可直接套用公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
02
知识精讲
【拓展公式】
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
拓展公式
例、计算：(x-y-z)2。
【分析】
原式=[x+(-y)+(-z)]2
=x2+(-y)2+(-z)2+2x(-y)+2(-y)(-z)+2(-z)x
=x2+y2+z2-2xy+2yz-2zx
03
典例精析
将-y、-z分别看作整体，
则可直接套用公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
课后总结
【完全平方公式】
(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。
【口诀】首平方，末平方，积的两倍在中央（符号随中央）。
【结构特征总结】
①左边是两个数的和（或差）的平方；
②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同。
【注意点】
①公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。
【拓展公式】
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
【乘法公式】
完全平方公式叫做乘法公式，在计算时可以直接使用。