9.4.2乘法公式-完全平方式、完全平方公式的变形 课件（共20张PPT）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章整式乘法与因式分解
9.4.2乘法公式
-完全平方式、
完全平方公式的变形
教学目标
01
理解完全平方式的概念，熟记常用的完全平方式
02
熟记两个完全平方公式的变形式，并熟练运用于计算
完全平方式
完成下列表格：
01
情境引入
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a2+2a+1=(a+1)2
_________=(a-1)2
_________=(a+2)2
_________=(2a+1)2
_________=(a-2)2
_________=(2a-1)2
_________=(a+3)2
_________=(3a+1)2
_________=(a-3)2
_________=(3a-1)2
_________=(a+4)2
_________=(4a+1)2
_________=(a-4)2
_________=(4a-1)2
a2-2a+1
a2+4a+4
a2-4a+4
a2+6a+9
a2-6a+9
a2+8a+16
a2-8a+16
4a2+4a+1
4a2-4a+1
9a2+6a+1
9a2-6a+1
16a2+8a+1
16a2-8a+1
【完全平方式】
对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式。
完全平方式
02
知识精讲
eg：a2±2ab+b2=(a±b)2，a2±2ab+b2是完全平方式。
完成下列表格：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a2+4ab+4b2=(a+2b)2
4a2+4ab+b2=_________
a2-4ab+4b2=_________
4a2-4ab+b2=_________
a2+6ab+9b2=_________
9a2+6ab+b2=_________
a2-6ab+9b2=_________
9a2-6ab+b2=_________
a2+8ab+16b2=_________
16a2+8ab+b2=_________
a2-8ab+16b2=_________
16a2-8ab+b2=_________
02
知识精讲
(a-2b)2
(a+3b)2
(a-3b)2
(a+4b)2
(a-4b)2
(2a+b)2
(2a-b)2
(3a+b)2
(3a-b)2
(4a+b)2
(4a-b)2
【常见的完全平方式】
①a2±2a+1，a2±4a+4，a2±6a+9，a2±8a+16；
②4a2±4a+1，9a2±6a+1，16a2±8a+1；
③a2±4ab+4b2，a2±6ab+9b2，a2±8ab+16b2；
④4a2±4ab+b2，9a2±6ab+b2，16a2±8ab+b2。
完全平方式
02
知识精讲
例1、下列多项式是完全平方式的是（　　）
A．a2-ab+b2
B．a2-2ab-b2
C．2a2+2ab+b2
D．a2+4ab+4b2
D
03
典例精析
【分析】a2+4ab+4b2=(a+2b)2。
例2、已知关于x的代数式9x2+Mx+1是完全平方式，则M的值为（　　）
A．6 B．-6 C．±6 D．不能确定
【分析】
∵关于x的代数式9x2+Mx+1是完全平方式，
∴9x2+Mx+1=(3x+1)2=9x2+6x+1，或9x2+Mx+1=(3x+1)2=9x2-6x+1，
∴M=±6。
03
典例精析
注意：两解！
C
例3、【难】a、b为实数，整式a2+b2-4a+6b的最小值是（　　）
A．-13 B．-4 C．-9 D．-5
【分析】a2+b2-4a+6b
=(a2-4a+4)+(a2+6b+9)-13
=(a-2)2+(b+3)2-13，
A
03
典例精析
∵(a-2)2≥0，(b+3)2≥0，
∴(a-2)2+(b+3)2-13的最小值为-13。
【总结】配方法
完全平方公式的变形
Q1：已知(a+b)2=a2+2ab+b2①，(a-b)2=a2-2ab+b2②，求a2+b2和2ab。
01
情境引入
【分析】直接移项
由①得：a2+b2=(a+b)2-2ab
由②得：a2+b2=(a-b)2+2ab
由①得：2ab=(a+b)2-(a2+b2)
由②得：2ab=a2+b2-(a-b)2
Q2：已知(a+b)2=a2+2ab+b2①，(a-b)2=a2-2ab+b2②，a2+b2和2ab还有其他的表示方法吗？
01
情境引入
【分析】①+②得：2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2，
∴a2+b2=????+????????+?????????????????
?
①-②得：
(a+b)2-(a-b)2=4ab，
∴2ab=????+??????????????????????????
?
a2+b2=(a+b)2-2ab
a2+b2=(a-b)2+2ab
移项
2ab=(a+b)2-(a2+b2)
2ab=a2+b2-(a-b)2
【完全平方公式】
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
或
两式相加
2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2
两式相减
4ab=(a+b)2-(a-b)2
变形式
02
知识精讲
例1、在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b)2=(a-b)2+4ab的图形是（　　）
A． B．
C． D．
03
典例精析
a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=(a-b)2+4ab
D
例2、已知a+b=10，ab=20，则a2+b2的值为（　　）
A．80 B．-80 C．60 D．140
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=100-40=60。
C
【分析】
涉及a+b、ab、a2+b2，用移项变形式a2+b2=(a+b)2-2ab，
03
典例精析
例3、已知a-b=7，ab=12，那么a2+ab+b2的值是（　　）
A．11 B．13 C．37 D．85
∴a2+ab+b2=(a-b)2+2ab+ab=(a-b)2+3ab=49+36=85。
【分析】
涉及a-b、ab、a2+b2，用移项变形式a2+b2=(a-b)2+2ab，
03
典例精析
D
例4、已知(m-n)2=48，(m+n)2=4000，则m2+n2的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．3952 D．4048
【分析】
涉及a+b、a-b、a2+b2，用移项变形式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2，
03
典例精析
∴m2+n2=????+??????????????????????????=????????+????????????????????=2024。
?
B
例5、已知x+y=6，xy=5，则(x-y)2的值为（　　）
A．25 B．36 C．11 D．16
03
典例精析
【分析】
涉及a+b、a-b、ab，用移项变形式4ab=(a+b)2-(a-b)2，
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=36-20=16。
D
课后总结
【完全平方式】
对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式。
【常见的完全平方式】
①a2±2a+1，a2±4a+4，a2±6a+9，a2±8a+16；
②4a2±4a+1，9a2±6a+1，16a2±8a+1；
③a2±4ab+4b2，a2±6ab+9b2，a2±8ab+16b2；
④4a2±4ab+b2，9a2±6ab+b2，16a2±8ab+b2。
【变形式】已知(a+b)2=a2+2ab+b2①，(a-b)2=a2-2ab+b2②，
①移项变形：a2+b2=(a+b)2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab或2ab=(a+b)2-(a2+b2)，2ab=a2+b2-(a-b)2；
②相加变形：2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2；
③相减变形：4ab=(a+b)2-(a-b)2。