9.4.3乘法公式-平方差公式 课件（共24张PPT）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章整式乘法与因式分解
9.4.3乘法公式
-平方差公式
教学目标
01
理解平方差公式的几何背景和推导过程
02
能借助口诀牢记平方差公式，并熟练运用于计算
平方差公式
如图，大正方形由2个小长方形和2个小正方形拼接而成的，求蓝色小正方形的面积。（请用多种方法求解）
法一：S绿=a2-b2
a
a
b
b
01
情境引入
b
a-b
法二：S绿=(a+b)(a-b)
S=(a+b)(a-b)=a2-b2
请运用所学的知识验证(a+b)(a-b)=a2-b2的合理性~
【分析】
由多项式乘法的运算性质可得：
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2。
01
情境引入
平方差公式的几何背景
02
知识精讲
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
b2
a
b
b
b
a-b
(a+b)(a-b)
【平方差公式】(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式
02
知识精讲
如何快速记忆这两个公式呢？
我们不妨从公式的结构特征进行分析。
相同数
相反数
平方相减
【口诀】
一同一反，平方相减。
【结构特征总结】
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方-相反项的平方。
02
知识精讲
平方差公式
计算：(1)(xy+4)(xy-4)； (2)(-2a+7b)(-2a-7b)。
02
知识精讲
将xy看作整体，
则可直接套用公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
【分析】
(1)相同项：xy，相反项：4与-4，
原式=(xy)2-42
=x2y2-16
将-2a、7b分别看作整体，
则可直接套用公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
02
知识精讲
计算：(1)(xy+4)(xy-4)； (2)(-2a+7b)(-2a-7b)。
【分析】
(2)相同项：-2a，相反项：7b与-7b，
原式=(-2a)2-(7b)2
=4a2-49b2
【注意点】
①公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；
②对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。
02
知识精讲
平方差公式
【乘法公式】
平方差公式也叫做乘法公式，在计算时可以直接使用。
平方差公式
02
知识精讲
【分析】法一：多项式乘法的运算性质
计算：(a+b+c)(a+b-c)。
原式=(a+b+c)(a+b-c)
=a2+ab-ac+ba+b2-bc+ca+cb-c2
=a2+b2-c2+2ab。
拓展
02
知识精讲
【分析】法二：平方差公式
原式=[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b)2-c2
=a2+2ab+b2-c2
=a2+b2-c2+2ab。
将(a+b)看作整体，
则可直接套用公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
计算：(a+b+c)(a+b-c)。
拓展
02
知识精讲
例1、如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片。再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是（　　）
A．(a-b)2=a2-2ab+b2
B．a2-b2=(a+b)(a-b)
C．(a+b)2=a2+2ab+b2
D．ab=????????[(a+b)2-(a-b)2]
?
B
03
典例精析
例2、下列等式成立的是（　　）
A．(-x-1)(-x-1)=x2-2x+1
B．(-x+1)(-x+1)=-x2-2x+1
C．(1+x)(-x+1)=1-x2
D．(-x+1)(-x-1)=-x2-1
【分析】
A．(-x-1)(-x-1)=(-x-1)2=(x+1)2=x2+2x+1 ，A错误；
B．(-x+1)(-x+1)=(-x+1)2=(x-1)2=x2-2x+1，B错误；
C
C．相同项：1，相反项：x与-x，
(1+x)(-x+1)=12-x2，C正确；
D．相同项：-x，相反项：1与-1，
(-x+1)(-x-1)=(-x)2-12=x2-1，D错误。
03
典例精析
例3、计算：
(1)(3a-b)(3a+b)(9a2+b2)； (2)(a+3b)2(a-3b)2；
(3)(2x+3+y)(2x+3-y)。
【分析】(1)原式=[(3a)2-b2](9a2+b2)
=(9a2-b2)(9a2+b2)
=(9a2)2-(b2)2
=81a4-b4
03
典例精析
二次使用平方差公式
例3、计算：
(1)(3a-b)(3a+b)(9a2+b2)； (2)(a+3b)2(a-3b)2；
(3)(2x+3+y)(2x+3-y)。
【分析】(2)法一：
原式=(a2+6ab+9b2)(a2-6ab+9b2)
=……过于繁琐
03
典例精析
(2)法二：原式=[(a+3b)(a-3b)]2
=[(a)2-(3b)2)]2
=(a2-9b2)2
=a4-18a2b2+81b4
例3、计算：
(1)(3a-b)(3a+b)(9a2+b2)； (2)(a+3b)2(a-3b)2；
(3)(2x+3+y)(2x+3-y)。
【分析】
(3)原式=(2x+3)2-y2
=4x2+12x+9-y2
03
典例精析
将(2x+3)看作整体，
则可直接套用公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
例5、先化简，再求值：(2a+3b)(-2a+3b)+(a+b)2+(a-b)2，其中a=1，b=-2。
【分析】(2a+3b)(-2a+3b)+(a+b)2+(a-b)2
=9b2-4a2+(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)
=9b2-4a2+(2a2+2b2)
=-2a2+11b2，
03
典例精析
当a=1，b=-2时，原式=-2×1+11×4=42。
例6、计算：997×1003。
【分析】
原式=(1000-3)×(1000+3)
=10002-32
=1000000-9
=999991
03
典例精析
例7、已知a-b=2，则a2-b2-4b的值为（　　）
A．5 B．4 C．2 D．1
【分析】
a2-b2-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a+2b-4b=2(a-b)=2×2=4。
B
03
典例精析
公式逆用
例8、计算：(a+2b)2-(a-2b)2。
【分析】
原式=[(a+2b)+(a-2b)]·[(a+2b)-(a-2b)]
=2a·4b
=8ab
03
典例精析
公式逆用
将(a+2b)、(a-2b)看作整体，
则可直接逆用平方差公式
课后总结
【平方差公式】(a+b)(a-b)=a2-b2。
【口诀】一同一反，平方相减。
【结构特征总结】
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方-相反项的平方。
【注意点】
①公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；
②对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。
【乘法公式】
平方公式差也叫做乘法公式，在计算时可以直接使用。