12.2 平方根和开平方（第1课时） 课件（共26张PPT）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

12.2 平方根和开平方
（第1课时）
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
学习目标
1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；
2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；
3．会根据开平方根与平方的逆运算关系求完全平方数的平方根.
我们在上一节认识了像 、 、 这样的无理数,它们的表示形式中都有“ ”,现在来学习与这类数有关的概念和运算.
问题1 学校要举行美术作品比赛，小优裁出了一块面积为 25 dm2 的正方形的画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
分析： ∵( )2 = 25
∴这个正方形画布的边长应取 dm.
5
5
问题2 如果一个数的平方为 25，那么这个数是多少？
分析： ∵ ( ±5 )2 = 25
∴这个数是 5 或 -5.
想一想：5 和-5 有什么特征
5 和 -5 互为相反数，会不会是巧合呢？
平方根的定义及性质
平方根的概念
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，或二次方根. 这就是说，如果 x2 = a， x 叫做 a 的平方根.
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.
a 叫做被开方数.
例如：(±3)2 = 9，
3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　
你能再举几个例子吗？
注意：被开方数a≥0.
例如
82=64，所以8是64的平方根；
(-8)2=64，所以-8是64的平方根；
所以64的平方根是±8.
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
平方
开平方
比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？
互为逆运算
开平方运算与平方运算互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根
总结

互为逆运算
平方运算
开平方运算
1.正数的平方根有什么特点？
2. 0 的平方根是多少？
3.负数有平方根吗？
平方根的性质
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
因为 02 = 0，所以 0 的平方根是0
在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根.
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0；
负数没有平方根.
总结
例题1 分别求下列各数的平方根：
解：由于 ( ±2 )2 = 4，
因此 4 的平方根是 2 与 -2.
36是正数
(1) 4；
有两个平方根
教材第7页
解：由于 ( ±0.4)2 = 0.16，
(3) 0.16.
因此 0.16 的平方根是 0.4与 -0.4.
(2) ；
解：由于 ，
.
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4 有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
正数的平方根有几个？零有平方根吗？负数有平方根吗？
（1）正数a的两个平方根互为相反数，可以用 表示
其中 表示a的正平方根（又叫做算术平方根），
读作“根号a”，
表示a的负平方根，读作“负根号a”；
（2）0的平方根就是0，记作
（3）负数没有平方根.
思考1：
例题2 一个正数的两个平方根分别是 2a＋1 和 a－4，
求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是 2a＋1 和 a－4，
则有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0，
解得 a＝1.
所以这个数为 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
表示 a 的正的平方根
表示 a 的负的平方根
记作
一个非负数的平方根的表示方法：
(算术平方根)
开平方根的数学符号表示
只有当 a ≥ 0 时才有意义. a ＜ 0 时无意义.
a﹙a≥0﹚的平方根表示为
各表示什么意义？
表示 7 的正的平方根（即算术平方根）
表示 7 的负的平方根
表示 7 的平方根
例题3　求下列各式的值：
解：(1) .
(2) .
(3) .
计算下列各题:
3
3
3
3
思考2：
从上题中，你能否发现并总结某些规律？为什么会有这样的规律？
因为开平方与平方互为逆运算，根据平方根的意义，
我们可以得到
（1）当a>0时，
（2）当a≥0时,
当a<0时，
也可以表示为
思考3：
a 算术平方根记为 ，读作“根号 a”或“二次根号 a”，其中 a 叫做被开方数.
算术平方根的符号表示
x2 ＝30 (x＞0)
问题：81 的算术平方根是多少？
81 的算术平方根
9
30 的算术平方根是
(非负数 x )2 = a
a 的算术平方根
平方根号
被开方数
读作：根号 a
(a≥0)
(x≥0，a≥0)
是非负数 a 的算术平方根
根指数为 2，省略不写
2
1. 一个正数的算术平方根有几个？
0 的算术平方根有一个，是 0.
2. 0 的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根?
一个正数的算术平方根有 1 个.
正数的平方不可能是负数.
思考4：
(x≥0，a≥0)
(a≥0， ≥0)
咱俩都是非负数；
我是你的方，你是我的根；
根号我就是你；
我是完全平方数，你就是有理数，
否则，根号我就是你的样子
25是5的方，5是25的根
52 = 25
就是5
→5(有理数)
例题3 求下列各数的正平方根：
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
总结
从大到小
解：(1) 由于 102 = 100，因此
(2) 由于 ， 因此
(3) 由于 0.72 = 0.49，因此
；
；
.
教材第8页
判断题：下列各式是否有意义？为什么？
有
有
有
无
你能举出几个算术平方根的例子吗？
(1) 16 的算术平方根是______；
4
2
一步运算
两步运算
(2) 的算术平方根是______.
总结

计算 的算术平方根时，注意先计算 = 4，再计算 4 的算术平方根.
因为 a 是正数 x 的平方，所以 a 是正数.即 中的被开方数 a 是正数.
边长(x)
面积(a)
回忆正方形的面积公式：
x 是边长是正数，那么 a 是什么数？为什么？
算术平方根的非负性
a 的算术平方根
也就是说，非负数的算术平方根是非负数.
负数不存在算术平方根，即当 a＜0 时，
无意义.
非负数
非负数
算术平方根的性质
基本条件：
数的角度：
关系的角度：
形的角度：
怎么理解
(a≥0 ， ).
是一个非负数.
的平方是 a；
是 a 的算术平方根；
不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长.
3. 若 ，则 a = ；
2. 若 ( m - 7)2 = 0，则 m = ；
4. 若 |a - 3| + ，则代数式 (a + b)2023 =_ __.
1. 若 |a + 3| = 0， 则 a = __ ；
-3
7
5
-1
到目前为止，表示非负的式子有：
| a |≥0，a2≥0， ≥0.
1.（2023黄浦区期中）下列说法正确的是( ____ )
A.任何正数都有平方根
B.任何实数都有平方根
C.(-2)2的平方根是-2
D.|-4|的平方根是2
A
【解析】解：A、任何正数都有平方根，正确，符合题意；
B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意；
C、(-2)2的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；
D、|-4|的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
2.（2023长宁区期末）下列等式中，正确的是( ____ )
A.( ?5 )2=5 B.(- 5 )2=5
C. 25=±5 D. 914=314
?
B
【解析】解：A．由于 ????? 无意义，即负数没有平方根，因此选项A不符合题意；
B．(- ???? )2=5，因此选项B符合题意；
?
C. ???????? =5，因此选项C不符合题意；
D. ???????????? = ???????????? = ???????????? ，因此选项D不符合题意；
故选：B．
?
3.（2023静安区二模）下列关于9的算术平方根的说法正确的是( ____ )
A.9的算术平方根是3与-3
B.9的算术平方根是-3
C.9的算术平方根是3
D.9的算术平方根不存在
C
【解析】解：9的算术平方根是3，
故选：C．
4.（2023春?杨浦区期末）4的平方根是 ____ ．
±2
【解析】解：∵22=4，(-2)2=4，
∴4的平方根是±2，
故答案为：±2．
5. 【易错】（2023春?徐汇区期末改编）16 的平方根为 　　．
?
【解析】解： ???????? =4,所以4的平方根为± 2 ，
故答案为：± 2 ．
?
6.（2023春?宝山区期末）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是 ____ ．
【解析】解：根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数可知：
2的相反数是-2．
所以a的另一个平方根是-2．
7.（2023春?普陀区期中）如果m-3和m+1是一个非零数的两个平方根，那么m= ____ ．
【解析】解：由题意知，m-3=-(m+1)，
解得m=1，
故答案为：1．
1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2. 只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0.
区别：
1. 个数不同：一个正数有两个平方根，但只
有一个算术平方根.
联系：
归纳总结
2. 表示法不同：平方根表示为 ，而算术
平方根表示为 .
算术平方根
定义
表示
特征
如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根标记为________.
非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫做___________
正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；
负数没有算术平方根
x2 = a
根号 a
被开方数
0
正数 a 的平方根有两个，它们互为_______；
表示______________，
表示______________
互为
逆运算
平方
平方根
定义
表示
特征
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的________或二次方根.
正数 a 的平方根是_____；0 的平方根是_______；负数没有平方根
开方
平方根
相反数
表示a的正平方根
0
表示a的负平方根
谢谢