17.2.2勾股定理的逆定理的应用 课件（共24张PPT）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

(共24张PPT)
第17章
勾股定理
八年级数学下册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 下册
17.2.2
勾股定理的
逆定理的应用
条件
结论
复习引入
前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，
你能说出它们的内容吗
a2+b2=c2
(a,b为直角边，c为斜边)
Rt△ABC,∠C是直角
勾股定理
勾股定理的逆定理
a2+b2=c2
(a,b为较短边，c为最长边）
Rt△ABC，且∠C是直角.
前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，
那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？
典例精析
例1
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
A
B
C
D
　　∴ ．
　　∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ ＝200，
　　∴CD2＋AC2＝AD2，
　　 ∴△ACD是直角三角形，
　　∵CD＝10，AD＝10 ，
解：连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
　　∴四边形ABCD的面积是
＝74，
典例精析
例1
　　（2）求对角线 BD 的长．
解：作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC＝90°，
　　∵△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°，
　　∴∠DCE＋∠ACB＝90°．
　　∵∠ABC＝90°，
　　∴∠CAB＋∠ACB＝90°，
　　∴∠DCE＝∠CAB．
A
B
C
D
E
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ．
典例精析
例1
　　（2）求对角线 BD 的长．
A
B
C
D
E
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ．
　　∴AB＝CE，BC＝ED．
　　∴ ．
　　在△ABC 和△CED 中，
　　∴△ABC≌△CED（AAS）．
　　∵AB＝6，BC＝8，
　　∴CE＝6，ED＝8，
　　∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14，
典例精析
实际问题
抽象
数学模型
勾股定理及其逆定理
解答
实际意义
典例精析
例2
13
A
B
C
D
3
4
5
12
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
解：∵AB=3，AD=4,BD=5
即32+42=52
根据勾股定理的逆定理可得∠A=90°，
同理可证∠DBC=90°，
因此这个零件符合要求.
典例精析
例3
已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？.
解：连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
∴需要投入3600元.
典例精析
例4
典例精析
例4
典例精析
例5
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
1
2
N
E
P
Q
R
认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？
由于我们现在所能得到的都是线段长，
要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航向所成角.
勾股定理逆定理
问题1
问题2
勾股定理逆定理
典例精析
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
典例精析
例6
大型工程车行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台大型工程车沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线
AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，大型工程车周围 130 m 以内为受噪声影响区域．
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
B
A
C
（2）若大型工程车的行驶速度为 50 m/min，
大型工程车噪声影响该学校持续的时间
有多少分钟？
典例精析
例6
　　解：学校 C 会受噪声影响．
　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，
　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
　　∴AC2＋BC2＝AB2，
　　∴△ABC是直角三角形．
　　∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB，
　　∴150×200＝250CD，
　　∴CD＝ ＝120（m），
　　∵大型工程车周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
　　∴学校 C 会受噪声影响．
A
B
C
D
典例精析
例6
　∴EF＝100（m）．
（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当大型工程车在 EF 上时学校会受
噪声影响．
　　∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
　　∴ED＝50（m），
　　∵大型工程车的行驶速度为 50 m/min，
　　∴100÷50＝2（min），
　　即大型工程车噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
E
F
A
B
C
D
典例精析
例7
锐角
钝角
＞
＜
典例精析
例7
归纳总结
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆
定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
当堂检测
1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
D
当堂检测
2.如图，在四边形ABCD中，已知AB=5,BC=3,CD=6,AD= .
若AC⊥BC,求证：AD∥BC.
∴AD∥BC
当堂检测
3.如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化
施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，
学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这
块空地共需花费多少元．
解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5 m．
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，
该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），
铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）．
答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元．
当堂检测
A
B
C
D
M
N
北
东
4.一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间；
　　∴ （km）．
　　解：（1）由题意 AD＝60 km，
　　在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002．
　　∴BD＝80（km）．
　　∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
　　75÷25＝3（h）．
　　答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h．
当堂检测
　　（2）C 岛在 A 港的什么方向？
解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
　　∴AB2＋AC2＝BC2，
　　∴∠BAC＝90°．
　　∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．
　　∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．
A
B
C
D
M
N
北
东