四川省广元市重点中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题(无答案)

广元市重点中学2023—2024学年度第二学期入学考试
高二数学
（时间：120分钟 总分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题共40分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设是一个随机试验中的两个事件，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
3．等差数列中，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
4．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个股子的点数之和是4的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，空间四边形的对角线分别为的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．我国古代著作《庄子 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、，其中平面，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C．平面平面 D．
10．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．已知圆，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相离
C．圆被轴截得的弦长为
D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
12．已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线．直线与曲线交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为
C．直线的方程为 D．的周长为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．已知向量，若，则______．
14．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则______．
15．记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则______．
16．过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为______．
四、解答题（本大题共6小题、共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17．设等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．为参加广元市第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加市级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．
（1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值：
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率．
19．三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，
（1）试用表示向量；
（2）若，求的长．
20．已知数列中，满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
21．如图为直三棱柱，，设为的中点．
（1）证明；
（2）求二面角的正弦值．
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为为椭圆的右焦点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积；
（3）设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点．证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标．