河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试题（含解析）

2023—2024学年度高二开年联考
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.若是抛物线上位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.5
6.如图，在四面体中，点分别是的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A. B.
C. D.
7.甲 乙两人独立地破译一份密码，甲 乙破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（ ）
A. B. C. D.1
8.已知为双曲线的一个焦点，双曲线上的两点关于原点对称，且，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ）
A.
B.当时，
C.当时，不是数列中的项
D.若是数列中的项，则的值可能为7
11.在正方体中，点满足，则（ ）
A.若，则与所成角为
B.若，则
C.平面
D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的值域为__________.
13.已知数列满足，则__________，__________.
14.二面角为是棱上的两点，分别在半平面内，，且，则的长为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）某学校高二100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）
（2）某老师抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式：）
16.（15分）已知点，点在圆上运动.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）已知，求的最值.
17.（15分）如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
18.（17分）已知数列满足.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求，并证明：.
19.（17分）已知是椭圆上的三点，其中两点关于原点对称，直线和直线的斜率满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆长轴上的不同于左 右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线与椭圆的两个交点分别为，若为定值，则称为“稳定点”，问是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
2023—2024学年度高二开年联考
数学参考答案及评分意见
1.D 【解析】因为或，所以不是的子集，故A错误；，故B错误；或，故C错误；，故D正确.故选D.
2.C 【解析】因为，所以，所以复数的虚部为，故选C.
3.C 【解析】A选项，，与不是同一个函数；B选项，的定义域为的定义域为，所以与不是同一个函数；选项，，所以与不是同一个函数.故选C.
4.C 【解析】由题知，，抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义知，，即，所以，所以，又因为位于第一象限，所以，所以，），所以.故选C.
5.C 【解析】设等差数列的首项为，公差为，由成等比数列，得..故选C.
6.A 【解析】由题意得，而，.故选A.
7.B 【解析】设“甲独立地破译一份密码”为事件，“乙独立地破译一份密码”为事件，则，设“密码被破译”为事件，则，故选B.
8.D 【解析】不妨设分别为双曲线的左 右焦点，连接，因为两点关于原点对称，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以.因为，所以.在中，由余弦定理可得，因为，所以，即.故选D.
9.ABD 【解析】A B选项，，两边平方得，，即，所以，B正确；因为，所以，故，所以正确；C D选项，，因为，所以，故，C错误，D正确.故选ABD.
10.ABD 【解析】对于，由题意得，正确；对于，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确；对于，由B选项可知，令，所以，所以是数列的第8项，C错误；对于D，插入个数，则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列，则是数列的项，令，当时，，D正确.故选ABD.
11.BCD 【解析】对选项时，与重合，与所成角为与所成角，为等边三角形，则与所成角为，错误；
对选项B：如图建立空间直角坐标系，令，正确；
对选项C：平面平面，故平面，同理可得平面，故平面平面平面平面，正确；
对选项D：由知，，正确.故选BCD.
12. 【解析】当时，函数单调递减，所以；当时，在上单调递减，所以.所以函数的值域为，故答案为.
13.； 【解析】因为，所以，故.由，得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.（第一空2分，第二空3分）
14.4 【解析】因为二面角为是棱上的两点，分别在半平面内，，所以，又，所以，即的长为4，故答案为4.
15.解：（1）因为，
，
设中位数为，则满足.
由，解得.
设平均分为，
则.
（2）由题意，剩余8个分数的平均值为.
因为10个分数的标准差，
所以，
所以剩余8个分数的标准差为
.
16.解：（1）当过点的直线斜率存在时，设切线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，切线方程为，此时直线与圆相切.
综上，切线方程为或.
（2）设点坐标为，则，
所以
.
因为，所以，
即的最大值为88，最小值为72.
17.（1）证明：因为，且平面，
所以平面.
又平面，所以
又因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：如图，以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则.
.
设平面的一个法向量为，
则令，则，
所以平面的法向量为.
由（1）可知，平面，所以平面的法向量为，
设二面角的大小为为钝角，
则，
所以，即二面角的大小为.
18.（1）证明：，
，即，
数列是等差数列.
，公差，
.
（2）解：数列的前项和为，
则，
，
两式相减可得，
解得.
又，即为单调递增数列，，
即.
19.解：（1）设，易知，
由，得.
化简得，故椭圆的标准方程为.
（2）点是椭圆长轴上的不同于的任意一点，
故可设直线的方程为，
由联立并消去得，
恒成立.
又
.
要使其为定值，则，故当即时，，
综上，存在这样的稳定点.