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专题1.1等腰三角形（第1课时）（分层练习，五大题型）
考查题型一、根据等边对等角进行求解
1．等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴等腰三角形的顶角为．
故选：A
2．如图，在中，点在边上，．若，则的大小为 度．
【答案】35
【分析】在中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出的度数，然后利用是的一个外角即可求出答案．
【详解】∵，，
∴,
∵是的一个外角，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形内角和、外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．在中，．
（1）若，则等于多少度？
（2）若，则等于多少度？
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和为180°即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2），，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质三角形的内角和为180°，熟练掌握等腰三角形的等边对等角的性质是解题的关键．
4．如图，在中，，，求的度数．
【答案】25°
【分析】先根据得到，，再由是的外角求得与的关系，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角以及三角形的外角性质将已知角和所求角进行转换是解题关键．
考查题型二、利用等边对等角进行证明
5．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．
【答案】见详解
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
6．如图，在中，，点D，E在边上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据等边对等角得出，，再由三角形外角的性质即可得出结果，熟练掌握等腰三角形及三角形外角的性质是解题关键．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
7．如图，，点在的延长线上，与相交于点，且为的中点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，过点作，交于点，
，．
又，，
，．
为的中点，
．
在和中，
，，．
考查题型三、根据三线合一进行求解
8．如图，在中，，是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可求解．
【详解】解：∵在中，，是的中点，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
故选：A．
9．如图，在中，，且，则长为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
10．在三角形中，，点D是中点，E是边上的一点，且若，求的度数．
【答案】的度数为
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，再求解，再结合等边对等角可得答案.
【详解】解：，是中点，
，
∵，
，
，
，
的度数为.
考查题型四、根据三线合一进行证明
11．如图，中，，，以下结论中不一定正确的是（ ）
A． B．是的角平分线
C．为的中点 D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形是轴对称图形是解题的关键．
由题意知，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断作答即可．
【详解】解：∵中，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴由等腰三角形的性质可知，，是的角平分线，为的中点，
∴A、B、C正确，故不符合要求；
∵与不一定相等，
∴D错误，故符合要求；
故选：D．
12．已知：如图，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，DE＝DF．
求证：AD⊥BC．
【答案】见解析.
【分析】求出△BDE和△CDF都是直角三角形．根据HL证△BDE≌△CDF，推出∠B=∠C，推出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一推出即可．
【详解】证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
∴AB＝AC （等角对等边）．
∵AB＝AC，点 D是BC的中点，
∴AD⊥BC （等腰三角形的三线合一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证出△ABC是等腰三角形.
13．如图，在中，点在延长线上，且是的中线，平分，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由三线合一，得到平分，结合平分，和平角的定义，即可得证；
（2）由三线合一，得到，结合（1）中的结论即可得证．
【详解】（1）证明：是的中线，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
（2）∵是的中线，
∴，
由（1）知：，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键．
考查题型五、等腰三角形的存在与个数问题
14．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论．
【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形；
如图
同理当为底边时，有个．
如图
所以题中共有个点使其为等腰三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答．
15．如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，正确找出所有符合条件的点，不重复不遗漏是解题的关键．
【详解】解：作的垂直平分线，如图，没有符合条件的点；
以点B为圆心，为半径画弧，如图，有5个符合条件的点；
以点A为圆心，为半径画弧，如图，有3个符合条件的点；
综上：符合条件的点有8个，
故选：B．
16．如图①，②，③都是的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，②中已画出线段，在图③中已画出点A．按下列要求画图．
(1)在图①中，以格点为顶点，为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点，为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)图见解析．
【详解】（1）如图①，只要在网格顶点中找到使线段即可，答案不唯一．
（2）如图②，可以过点B作交格点或过点A作，再由全等检验边相等，当然也可以先满足边相等，在看是否满足直角．
（3）如图③，多种情况讨论：分别以A为顶角和以A为底角顶点讨论；
分析先以A为顶角的等腰三角形，再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，见图④，最终选择以A底角画出等腰三角形面积最大，通过全等验证．
一、单选题
1．如图，在中，，点D，E分别在，上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
2．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【详解】解：①当底角是顶角的2倍时，设顶角为x，则底角为，
则：，
解得：，
所以底角为；
②当顶角是底角的2倍时，设底角为y，则顶角为，
则：，
解得：，所以底角为；
综上所述，底角的度数为：或．
故选：A．
3．如图，在等腰中，，点D、E、F分别是边上的点，与相交于点G，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识；掌握等腰三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．
4．如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，分别得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求出的大小．熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，是边上的中线，
，
，
故选：B．
5．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底．
【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形．
【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到6个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
二、填空题
7．如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
【答案】，或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质；
分情况讨论：当是顶角时；当是底角，是顶角时；当、都是底角时；分别利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：当是顶角时，，
∴；
当是底角，是顶角时，
∴；
当、都是底角时，
∴；
综上，的度数可能是，或，
故答案为：，或．
8．中，，的平分线与边所夹的锐角为，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得．
【详解】解：设的角平分线交于点，
当时，如图1，
，
，
，
，
，
；
当时，如图2，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
9．如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处，若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据在中，，可得，是锐角，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：在中，，
，，是锐角，
由折叠可知，
是等腰三角形，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是熟悉相关的性质和定理．
10．设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多加 根．若最多能加9根小棒，则的取值范围是 ．
【答案】 5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质，由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质可得，同理可，，，，由此即可得出答案，再由题意得出，求解即可，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键．
【详解】解：当时，如图，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
这样的小棒最多加根；
若最多能加9根小棒，则，
的取值范围是：
故答案为：，．
11．如图，已知，在射线、上分别取点，连接，、上分别取点 、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则 .
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，角的变化中的规律，利用等腰三角形的性质，三角形外角性质计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故，
∴，，
∴，
，
故答案为：．
三、解答题
12．如图，在中，，点在边上运动，连接，作交边于点．
(1)当时，的度数为______；
(2)若，求证：；
(3)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）先求出，，从而得到，再由，即可求证；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴
当时，，
∵，，
∴，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点D与点B重合，此时；
当时，，
∴；
综上所述，的度数为或或．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
13．已如：如图，在中，，，点D是边上一点，且，过点C作于点E，与交于点F．
(1)若，求：
①的大小；
②的大小；
(2)求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，
（1）①根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
②过点A作于点G，首先根据等腰三角形三线合一性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据题意得到，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质．
【详解】（1）解：①∵，，
∴．
②过点A作于点G，如图所示：
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴．
14．如图，点D在上，，，．
(1)说明的理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，等边对等角．
（1）根据推出，即可根据得出；
（2）根据，得出，再根据三角形的外角定理得出，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
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专题1.1等腰三角形（第1课时）（分层练习，五大题型）
考查题型一、根据等边对等角进行求解
1．等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．
A． B． C． D．或
2．如图，在中，点在边上，．若，则的大小为 度．
3．在中，．
（1）若，则等于多少度？
（2）若，则等于多少度？
4．如图，在中，，，求的度数．
考查题型二、利用等边对等角进行证明
5．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．
6．如图，在中，，点D，E在边上，且．求证：．
7．如图，，点在的延长线上，与相交于点，且为的中点．求证：．
考查题型三、根据三线合一进行求解
8．如图，在中，，是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，且，则长为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
10．在三角形中，，点D是中点，E是边上的一点，且若，求的度数．
考查题型四、根据三线合一进行证明
11．如图，中，，，以下结论中不一定正确的是（ ）
A． B．是的角平分线
C．为的中点 D．
12．已知：如图，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，DE＝DF．
求证：AD⊥BC．
13．如图，在中，点在延长线上，且是的中线，平分，交于点．
求证：(1)；(2)．
考查题型五、等腰三角形的存在与个数问题
14．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
15．如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
16．如图①，②，③都是的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，②中已画出线段，在图③中已画出点A．按下列要求画图．
(1)在图①中，以格点为顶点，为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点，为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形．
一、单选题
1．如图，在中，，点D，E分别在，上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．如图，在等腰中，，点D、E、F分别是边上的点，与相交于点G，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
7．如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
8．中，，的平分线与边所夹的锐角为，则 ．
9．如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处，若是等腰三角形，则的度数为 ．
10．设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多加 根．若最多能加9根小棒，则的取值范围是 ．
11．如图，已知，在射线、上分别取点，连接，、上分别取点 、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则 .
三、解答题
12．如图，在中，，点在边上运动，连接，作交边于点．
(1)当时，的度数为______；
(2)若，求证：；
(3)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
13．已如：如图，在中，，，点D是边上一点，且，过点C作于点E，与交于点F．
(1)若，求：
①的大小；
②的大小；
(2)求证：．
14．如图，点D在上，，，．
(1)说明的理由；
(2)若，，求的度数．
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