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专题1.2等腰三角形（第2课时）（分层练习）
考查题型一、等边三角形的性质
1．如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【详解】∵等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝3，
由勾股定理得：，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD的长是解此题的关键．
2．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．三个等边三角形的位置如图所示，若，则 ．
【答案】100
【分析】利用等边三角形的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示：
，且三个三角形都是等边三角形，
，
又，，
，即，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
4．如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么 ．
【答案】/21度
【分析】由等边三角形的性质得出，根据 可求出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键．连接，作交于点，由得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，作交于点，
则，
即，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
考查题型二、利用等边三角形的性质解决边、角问题
6．如图，和都是等边三角形．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定．解答的关键是运用证明．
【详解】证明：∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
7．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．
(1)若，求的长；
(2)求的度数．
【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可；
（2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解．
【详解】（1）∵是等边三角形，
是中线，
，
∴，
∴；
（2）∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键．
8．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数．
【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
9．图， 与都是等边三角形，连结．
（1）求证：；
（2）连结，若，求的长．
【分析】（1）用“边角边”证明即可；
（2）根据全等得出，求出，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定于性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用全等三角形的判定证明全等，根据全等三角形的性质得出90度角．
10．与都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则______度；
（2）将图①中的绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据是等边三角形及点B、C、D在同一条直线上即可求解；
（2）证明即可求解．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴，
∴
（2）∵与都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE +∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在与中，
，
∴，
∴BE=AD．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
一、单选题
1．如图，在等边中，，，是的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的每个内角都等于．
【详解】解：∵在等边中，，，是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．如图，，、是等边三角形，若，，则的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
【答案】C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，由等边三角形的性质得，，，则，可根据“”证明，得，由，，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
故选：C．
3．如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵于F，交于点E，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定，根据等边三角形推出的长，，根据轴对称性质得到，，结合，证明，将的周长转化为即可求解．
【详解】解：为等边三角形，且周长为6，
，，
由轴对称的性质可知，，
，，
，
在与中，
，
，
，
故选：B．
5．如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．
【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是
∴
如图，过A作于H，
，
则；
同理 ，
又
则．
故选：B．
6．已知，，，，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点，，，…都在x轴正半轴上，且…，则点的坐标是（ ）
A．() B．() C．() D．()
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形性质、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，
∵
∴
∴，
同理：
∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴的横坐标为，
∵，为偶数，
∴点在第一象限，
∴．
故答案为．
故答案为：A
二、填空题
7．如图，在一直线上，和是等边三角形，若，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，得到，利用求出的长即可．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在一直线上，
∴；
故答案为：9．
8．如图，和均是等边三角形， 分别与交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：① ；②；③；④．其中不正确结论的结论是 ．
【答案】③
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定逐一证明即可得到答案．
【详解】解：和均是等边三角形，
，
，
在，中，
，
，故①正确；
，
在，中，
，
，
，故②正确；
，
在中．，
，故③错误；
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为：③．
9．如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30．
【详解】解：如图，作,垂足分别为M、N．
∵是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为30．
故答案为：30．
10．如图，点在射线OA上，点在射线上，均为等边三角形，则的长为
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类规律题，等边三角形的性质．根据等腰三角形的性质求出的边长，根据直角三角形的性质求出及的边长，总结规律得到答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理，，
，
……，
由此发现，
∴的长为．
故答案为：
三、解答题
11．如图，在等边中，与相交于点，则等于多少度？
【答案】等于度
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和、外角和的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质是解题的关键．
根据等边三角形可证，可得，再根据是的外角，由此即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴等于度．
12．如图，点E在上，和都是等边三角形．求证：
(1)
(2)猜想：三条线段之间的关系是________，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；理由见解析.
【分析】题目主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，
（1）根据等边三角形的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可；
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行等量代换即可证明；
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2），证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
13．如图，在等边三角形中，于点，，以为一边向右作等边三角形．
(1)求的周长；
(2)判断，的位置关系，并给出证明；
(3)连接，求证：.
【答案】(1)的周长为6
(2)，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三线合一、同旁内角互补，两直线平行：
（1）由“在等边三角形中，于点”，得，即可作答．
（2）由三线合一，得，结合等边三角形的性质，得，根据两个锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答．
（3）先得是的垂直平分线，然后证明，结合角的等量代换，得，即可作答．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∵是等边三角形
∴，
∴
∴
∴；
（3）解：如图：
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．
(1)求证：．
(2)设的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质：
（1）根据等边三角形中三线合一可得，根据三角形外角的性质和等腰三角形中等边对等角可得，推出，即可证明．
（2）和的高相等，面积比等于底边长度之比，结合（1）中证明过程，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，
∴，平分．
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点D作，
则，，
由（1）知，
∴．
15．如图，在等边中，点D为边上的一点．在等边的外角平分线上取一点E，使．连接．
(1)证明：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；
（1）由已知利用即可证明全等；
（2）由全等的性质得，进而可得．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴；
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
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专题1.2等腰三角形（第2课时）（分层练习）
考查题型一、等边三角形的性质
1．如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．三个等边三角形的位置如图所示，若，则 ．
4．如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么 ．
5．如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．
考查题型二、利用等边三角形的性质解决边、角问题
6．如图，和都是等边三角形．
求证：．
7．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．
(1)若，求的长；
(2)求的度数．
8．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数．
9．图， 与都是等边三角形，连结．
（1）求证：；
（2）连结，若，求的长．
10．与都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则______度；
（2）将图①中的绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：．
一、单选题
1．如图，在等边中，，，是的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，、是等边三角形，若，，则的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
3．如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点，，，…都在x轴正半轴上，且…，则点的坐标是（ ）
A．() B．() C．() D．()
二、填空题
7．如图，在一直线上，和是等边三角形，若，则 ．
8．如图，和均是等边三角形， 分别与交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：① ；②；③；④．其中不正确结论的结论是 ．
9．如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．
10．如图，点在射线OA上，点在射线上，均为等边三角形，则的长为
三、解答题
11．如图，在等边中，与相交于点，则等于多少度？
12．如图，点E在上，和都是等边三角形．求证：
(1)
(2)猜想：三条线段之间的关系是________，并说明理由．
13．如图，在等边三角形中，于点，，以为一边向右作等边三角形．
(1)求的周长；
(2)判断，的位置关系，并给出证明；
(3)连接，求证：.
14．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．
(1)求证：．
(2)设的面积为，的面积为，求的值．
15．如图，在等边中，点D为边上的一点．在等边的外角平分线上取一点E，使．连接．
(1)证明：；
(2)求的度数．
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