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专题1.3等腰三角形（第3课时）（分层练习，四大类型）
考查题型一、等腰三角形的判定
1．在中，，，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状．
【详解】解：在中，，，
，
∴，
故，
所以的形状是等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定，解题关键是熟记三角形内角和定理，求出求出的度数．
2．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B． C． ， D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断．
【详解】解：A、，
，
，即是等腰三角形，故选项不合题意；
B、，
，即是等腰三角形，故选项不合题意；
C、
，即是等腰三角形，故选项不合题意；
D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边．
3．如图，在中，，AD平分，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴是的中线，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质．熟记等角对等边判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键．
4．已知、、是的三边，且满足，那么一定是（ ）
A．任意三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】已知等式整理都加上b2，再分解因式后，得到 ，故可求解.
【详解】，，即，、、是的三边长，，，为等腰三角形.故选B.
【点睛】此题考查了分解因式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
5．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个．
【答案】3
【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解．
【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，
故图中共3个等腰三角形，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键．
考查题型二、等腰三角形的性质与判定
6．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，利用平分，可以得到为等腰三角形，推出，再根据，得到，即可求解；
【详解】解：∵平分，，垂足为，
∴，即：为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C
7．如图，将折叠，使点落在边上处，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．高 B．中线 C．角平分线 D．无法判断
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”即可求解．
【详解】解：根据题意得，是等腰三角形，
∴，，，
∴是等腰三角形，
∴是的角平分线，
∴，
∴是的高，
故选：．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，掌握运用折叠的性质判定三角形是等腰三角形，运用等腰三角形的性质解决问题是解题的关键．
8．如图，在中，，，过点D作，垂足为E，恰好是的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得出，再根据等腰三角形的判定得出，推出，进而得出，根据，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正确理解题意是解决问题的关键．
9．如图，已知，，交于，且，，则 ．
【答案】
【分析】利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，则，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．如图是4个不同的等腰三角形，，经过三角形的任意一个顶点画一条直线，其中不能将这个三角形分成两个等腰三角形的是 ．
【答案】②
【分析】顶角为：的等腰三角形都可以分成两个等腰三角形．
【详解】解：①中过点或点分出的两个等腰三角形的内角可以为：和；
②不能分出两个等腰三角形
③中过点可以分出的等腰三角形是两个全等的等腰三角形形；
④中过点分出的两个等腰三角形的内角可以为：和；
故答案为：②．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
考查题型三、等腰三角形的证明问题
11．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据已知条件，用公理证：；
（2）利用的对应角相等得，从而OB=OC，即得是等腰三角形．
【详解】证明：（1）在与中
（2），
∴，
∴OB=OC，即是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
12．如图，在中，平分，，是的中点．
(1)求证：是等腰三角形
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）由角平分线的定义得，由得即可求证；
（2）先求出，根据“三线合一”得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴由（1）得：
∵是等腰三角形，是的中点．
∴
∴．
13．如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，设，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：平分，
，
．
，
，
；
（2），，
，
，
设，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB=∠FDC．
(1)求证：DE=DF；
(2)求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件证明△DEB≌△DFC，即可解决问题；
（2）由（1）△DEB≌△DFC，可得∠EBD=∠FCD，根据BD=CD，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF；
（2）证明：∵△DEB≌△DFC，
∴∠EBD=∠FCD，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC=∠FCD+∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到△DEB≌△DFC．
15．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．证明：BE=DE；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE＋CF．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由题意易得∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，然后可得∠EDB=∠ABD，进而问题可求解；
（2）由题意易得∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∠BOE=∠CBO，然后可得∠ABO=∠BOE，进而可得BE=OE，同理可得OF=CF，最后问题可求证．
【详解】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠ABD，
∴BE=DE；
（2）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠ABO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得OF=CF，
∵EF=EO+OF，
∴EF＝BE＋CF．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定是解题的关键．
考查题型四、等腰三角形的性质与判定综合问题
16．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明即可；
（2）由等腰三角形的性质得，得，再由全等三角形的性质得，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得的度数．
【详解】（1）∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）∵，平分，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
（3）∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．在中，，点、点在边上，，连接、．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，过点作交的延长线于点．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（除外）．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)图2中的等腰三角形有，，，
【分析】（1）证明即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴三角形是等腰三角形，则，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形是等腰三角形，
∴，
∴三角形是等腰三角形，同理可得三角形是等腰三角形，
∴等腰三角形有：，，，．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全的的判定和性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．已知，在等边中，D、E分别为边上的点，，连接相交于点F．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点A作于H，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长到点M，连接，使，若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）由等边三角形的性质得出，可证明，从而得到，然后依据三角形的外角的性质得到；
（2）由（1）得求出，，再由直角三角形的性质得出，得出，从而，即可得出结论；
（3）由（2）得：，由等腰三角形的性质得出，从而得出的长．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
一、单选题
1．如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）
A．1 B．5 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据已知条件，可判断出和为等腰三角形，从而能够证明即可解决．
【详解】解：、分别平分、，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．
2．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴是等腰三角形，即，
∴的周长是，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．是等腰三角形
【答案】C
【分析】先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到是等腰三角形，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故C选项错误，符合题意；
∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故D选项正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理以及性质，等腰三角形的性质．关键是要把握三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．如图，在中，，，E为边的中点，交延长线于点D，平分交于点F，连接．下面结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质．证出可判定A选项成立，证明可判定B选项成立，证明可得，可证，即可判定C选项成立，D选项不一定成立．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
，故A选项成立；
∵E为边的中点，
，
，
，
，故B选项成立；
，，，
，
，
，，
，
，故C选项成立；
没有条件证出，故D选项不一定成立．
故选：D．
5．如图，在中，，D是的中点，E，F分别在边上，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，根据等腰三角形的性质可得，，可证明，再根据全等三角形的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，D是的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，故①正确；
∴，
即，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
故选：D
二、填空题
6．已知等腰的周长是，，则 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
根据题意，分三种情况讨论，当为底边时，；当为腰时，；当为腰时，，分别计算每种情况对应的的长，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
如图，当为底边时，，
等腰的周长是，，
；
如图，当为腰时，，
等腰的周长是，，
，
；
如图，当为腰时，，
等腰的周长是，，
，
综上，或或，
故答案为：或或．
7．如图，在中，，平分交于点D，点E在的延长线上，，若，则线段的长为 ．
【答案】4
【分析】如图，在上截取，使，连接，证明，则，，，由，可得，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，在上截取，使，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，等边、等边，若，则当为 度时，是等腰三角形．
【答案】或或
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，设，先证明，从而表示出，再根据等腰三角形的性质，分别假设，，，从而求出．
【详解】解：设，
∵与是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
为等腰三角形，
当时，，
即，
解得，
当时，，
即，
解得，
当时，，
即，
解得
所以当为或或时，是等腰三角形；
故答案为：或或
三、解答题
9．如图，在中，点D，E分别在边，上，，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）根据角平分线的定义、两直线平行内错角相等推知，于是；
（2）由已知条件可导出，于是，由外角定理知，，设，在运用内角和定理构建方程求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质、角平分线的定义，由相关定理导出角之间的数量关系是解题的关键．
10．如图，把四边形纸片沿折叠，点落在点处，与相交于点．已知在四边形纸片中，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点C，，，，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）根据翻折的性质可得，由得出，从而即可证明；
（2）由求出，根据平行线的性质得出，再通过勾股定理得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）由折叠性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由（）得：，
∴的面积为．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
11．如图，在中，，是边上一个动点，于点，交延长线于点．
(1)直接判断的形状；
(2)当点在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．
【答案】(1)是等腰三角形
(2)成立，，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质．
（1）根据已知条件得出，，再根据得出，最后根据，得出，即可证出从而可判断出的形状．
（2）证明方法同（1）．
【详解】（1）是等腰三角形，理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴是等腰三角形．
（2）成立；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
12．在中，，，的平分线交边于点．
(1)如图1，求证：为等腰三角形；
(2)如图2，若的平分线交边于点，求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由内角和定理，得，于是，得，所以；
（2）过点E作，交于点F，可证，求证，所以，可证，线段等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴为等腰三角形．
（2）证明：过点E作，交于点F，
则．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行的性质，等角对等边，三角形内角和定理；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
13．在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）得，，过作交延长线于点，根据等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）是的角平分线，
，
∵，
，，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）由（1）得，，
过作交延长线于点，
∵，，
，
，，
，
，
在与中，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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专题1.3等腰三角形（第3课时）（分层练习，四大类型）
考查题型一、等腰三角形的判定
1．在中，，，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
2．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． ， D．
3．如图，在中，，AD平分，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知、、是的三边，且满足，那么一定是（ ）
A．任意三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
5．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个．
考查题型二、等腰三角形的性质与判定
6．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，将折叠，使点落在边上处，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．高 B．中线 C．角平分线 D．无法判断
8．如图，在中，，，过点D作，垂足为E，恰好是的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，，交于，且，，则 ．
10．如图是4个不同的等腰三角形，，经过三角形的任意一个顶点画一条直线，其中不能将这个三角形分成两个等腰三角形的是 ．
考查题型三、等腰三角形的证明问题
11．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．
12．如图，在中，平分，，是的中点．
(1)求证：是等腰三角形
(2)若，求的度数．
13．如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
14．如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB=∠ FDC．(1)求证：DE=DF；(2)求证：△ABC为等腰三角形．
15．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．证明：BE=DE；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE＋CF．
考查题型四、等腰三角形的性质与判定综合问题
16．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的度数．
17．在中，，点、点在边上，，连接、．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，过点作交的延长线于点．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（除外）．
18．已知，在等边中，D、E分别为边上的点，，连接相交于点F．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点A作于H，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长到点M，连接，使，若，求的长．
一、单选题
1．如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）
A．1 B．5 C．9 D．10
2．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．是等腰三角形
4．如图，在中，，，E为边的中点，交延长线于点D，平分交于点F，连接．下面结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，D是的中点，E，F分别在边上，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
6．已知等腰的周长是，，则 ．
7．如图，在中，，平分交于点D，点E在的延长线上，，若，则线段的长为 ．
8．如图，等边、等边，若，则当为 度时，是等腰三角形．
三、解答题
9．如图，在中，点D，E分别在边，上，，平分．
(1)求证：．(2)若，，求的度数．
10．如图，把四边形纸片沿折叠，点落在点处，与相交于点．已知在四边形纸片中，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点C，，，，求的面积．
11．如图，在中，，是边上一个动点，于点，交延长线于点．
(1)直接判断的形状；
(2)当点在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．
12．在中，，，的平分线交边于点．
(1)如图1，求证：为等腰三角形；
(2)如图2，若的平分线交边于点，求证：；
13．在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
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