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专题1.4等腰三角形（第4课时）（分层练习，五大类型）
考查题型一、等边三角形的判定
1．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有角的直角三角形 D．钝角三角形
2．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
4．如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．
（1）经过 秒，为等边三角形；
（2）经过 秒，为直角三角形．
5．如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
考查题型二、等边三角形的性质与判定
6．如图，已知，，，点在边上，连接，．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有 ．（填写全部正确结论的序号）
7．如图，在等边的三边上各取一点M、N、P，且有，，，，则的周长为 ．
8．如图，在中，，，点在上，，点、分别是、上动点，连接，当的值最小时，，则的长为 ．
9．如图，已知均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，其中正确结论有 （填序号）．
10．如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ．
考查题型三、含30°的直角三角形的性质
11．如图，已知如图，已知，，，若，则 ．
12．如图是西宁市某公园一段索道的示意图，已知、两点间的距离为30米，，则缆车从点到点过程中，上升的高度（的长）为 米．
13．中，，，则 ．
14．如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为 ．
15．如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ．
考查题型四、等边三角形的证明
16．如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB=HC，，求证：△ABC为等边三角形.
17．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明．
18．已知：如图，在中，，D为的中点，，，垂足分别为E，F，且．求证：
(1)
(2)是等边三角形．
19．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论．
20．如图，在等边中，点P在内，点Q在外，B，P，Q三点在一条直线上，且，，问是什么形状的三角形？试证明你的结论．
考查题型五、等边三角形的综合问题
21．如图是等边三角形．
(1)如图①，，分别交于点D、E．求证：是等边三角形；
(2)如图②，仍是等边三角形，点B在的延长线上，连接，求证：．
22．如图，在等边中，平分交于点，交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)试判断与的数量关系，并说明理由．
23．在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且．
(1)如下图，当动点E在边上时，连接，，求证：；
(2)如下图，当动点E是边的中点，判断的形状，并说明理由；
(3)如下图，当动点E在边上时，求证：；[提示：需作辅助线]
(4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长．
24．在边长为的等边三角形中，点是边上的一点，动点以的速度从点沿向点运动，设运动时间为．
(1)如图①，若，，求的值；
(2)如图②，若点从点向点运动的同时，点以的速度从点沿向点运动，求为何值时，是等边三角形；
(3)如图③，将边长为9cm的等边三角形变换为以、为腰、为底的等腰三角形，且，，点运动到的中点处停止．点停止运动后，点以的速度从点沿向点运动，同时点以的速度从点沿向点运动，当与全等时，直接写出的值．
25．已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足．
(1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长．
(2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．如图，在中，，，点D在上，，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图，等边三角形纸片的边长为6，点E，F是边上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．阅读下面材料：
已知：，，，点是中点，给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④点是上的一个动点，当取最小值时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
5．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．将宽的长方形纸条折叠成如图所示的形状，为折痕，则正方形的面积为 ．
7．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆，若衣架收拢时，，如图，则此时，两点之间的距离是 ．
8．是的中线，，，把沿直线折叠，使点落在点的位置，连接，则的长为 ．
9．如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么 ．
10．如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为 ．
三、解答题
11．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)证明：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
12．点D为的边上一点，连接，点E在外，连接，，，．
(1)如图1，若，请你判定的形状并证明；
(2)如图2，若，请你判定的形状并证明．
13．如图，等边三角形，与关于射线对称，点E为边上一点．点F在的延长线上，．作点F关于直线的对称点G，连接．
(1)依题意补全图形，并证明；
(2)用等式表示之间的数量关系，并证明．
14．如图，在中，，点分别在边、上，，连结、．
(1)若，求证：．
(2)若，求、的大小．
(3)若，则的大小为__________度（用含的代数式表示）．
15．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________；
【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：；
【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
16．规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”；
(2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分
(3)如图③，在四边形中，，，，求的度数．
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专题1.4等腰三角形（第4课时）（分层练习，五大类型）
考查题型一、等边三角形的判定
1．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有角的直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定，涉及了绝对值和偶次方的非负性，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴的形状为等边三角形，
故选：A
2．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
3．在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法即可求解，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法及其应用．
【详解】解：∵在中，，
∴
∴是等腰三角形，
添加条件，
∴是等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
4．如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．
（1）经过 秒，为等边三角形；
（2）经过 秒，为直角三角形．
【答案】 10 6或15
【分析】（1）设经过秒，为等边三角形，先求出，再根据等边三角形的判定可得当时，为等边三角形，由此建立方程，解方程即可得；
（2）设经过秒，为直角三角形，分两种情况：①和②，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为，
（1）设经过秒，为等边三角形，
由题意得：，
，
，
要使为等边三角形，则，
，
解得，符合题意，
故答案为：10．
（2）设经过秒，为直角三角形，
由题意得：，
，
①当时，为直角三角形，
，
，即，
解得，符合题意；
②当时，为直角三角形，
，
，即，
解得，符合题意；
故答案为：6或15．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
5．如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
【答案】 1 无数
【分析】（1）先在中，证明，再利用角所对直角边是斜边的一半即可得答案；
（2）先作辅助线，再利用三角形全等证明只要，就是等边三角形，这样就得到满足条件的三角形有无数个
【详解】（1）∵，平分
∴
∴
又∵
∴
故填：1
（2）解：如图在、上截取，作．
∵平分，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：无数
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题的关键
考查题型二、等边三角形的性质与判定
6．如图，已知，，，点在边上，连接，．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有 ．（填写全部正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定 和性质，特殊角的直角三角形．根据性质，注意计算证明判断即可．
【详解】∵，，，∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
故①②④正确；
无法证明平分，
故③错误，
故答案为：①②④．
7．如图，在等边的三边上各取一点M、N、P，且有，，，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质：先根据等边三角形的性质和垂直条件，得是等边三角形，结合30度所对的直角边是斜边的一半，得则，，根据勾股定理建立等式，化简计算即可作答．
【详解】解：∵是等边三角形
∴
∵，，，
∴
则
∴
此时
同理，得
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
则
∴
即
则的周长为
故答案为：
8．如图，在中，，，点在上，，点、分别是、上动点，连接，当的值最小时，，则的长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形的知识．根据动点的运动，当点、、（关于的对称点）三点共线且于点时，的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，以所在直线为对称轴，作的轴对称图形，的对称点为；
∴，，，
∴，，
当、、三点共线且时，的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：9．
9．如图，已知均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，其中正确结论有 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到，根据，证得，即可得到②正确，同理证得，得到是等边三角形，易得③④正确．
【详解】解：∵均是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②正确；
同理：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∴，故③④正确；
综上，正确的结论是①②③④
故答案为：①②③④．
10．如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定；先根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴，
∴
∵是的中点，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，又
∴是等边三角形，
∴的周长为，
故答案为：．
考查题型三、含30°的直角三角形的性质
11．如图，已知如图，已知，，，若，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点D作，垂足为G．利用等腰三角形的“三线合一”先求出，利用含角的直角三角形的边间关系，再求出，最后利用线段的和差关系求出．
【详解】解：过点D作，垂足为G．
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：10．
12．如图是西宁市某公园一段索道的示意图，已知、两点间的距离为30米，，则缆车从点到点过程中，上升的高度（的长）为 米．
【答案】15
【分析】本题含的直角三角形，根据含的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半进行求解是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，米，
米，
故答案为：15．
13．中，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意画出图形，由所对直角边等于斜边的一半可知，斜边，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，由题意可知，中，，，
故，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
利用等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，，
，
故答案为：4．
15．如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质，熟知所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴和是直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：4．
考查题型四、等边三角形的证明
16．如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB=HC，，求证：△ABC为等边三角形.
【答案】证明见解析
【分析】由HB＝HC推出∠HBC＝∠HCB，再由∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90推出∠ABC＝∠ACB，由此即可证明．
【详解】证明：∵HB＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用等角的余角相等得到∠ABC＝∠ACB．
17．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明．
【答案】等边三角形，见解析
【分析】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．由折叠的性质可得出、，根据角的计算可得出，再根据中线的定义即可得出，由此即可证出是等边三角形．
【详解】证明：由折叠的性质可知：，，
∵是边的中线，
∴，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
18．已知：如图，在中，，D为的中点，，，垂足分别为E，F，且．求证：
(1)
(2)是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形全等的判定，等边三角形的判定：
（1）根据等腰三角形中等边对等角直接证明；
（2）根据证明，推出，进而推出，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）证明：∵D为的中点，
∴，
∵，，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
19．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形；
（2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：当时，是等边三角形，证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键．
20．如图，在等边中，点P在内，点Q在外，B，P，Q三点在一条直线上，且，，问是什么形状的三角形？试证明你的结论．
【答案】为等边三角形．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定．先根据等边三角形的性质可得，再根据证明，再根据全等三角形的性质得到，再证，从而得出是等边三角形．本题中求证是解题的关键．
【详解】解：为等边三角形．
证明：∵为等边三角形，
∴，，
在与中，
∵
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
考查题型五、等边三角形的综合问题
21．如图是等边三角形．
(1)如图①，，分别交于点D、E．求证：是等边三角形；
(2)如图②，仍是等边三角形，点B在的延长线上，连接，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先由等边三角形的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论；
（2）利用等边三角形的性质得到，进而得到，由此证明，即可证明．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
22．如图，在等边中，平分交于点，交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定；
（1）根据等边三角形的性质可得，根据平行线的性质得出，进而可得，则，，即可得证；
（2）根据三线合一可得，进而根据是等边三角形,即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，则
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形，平分交于点，
∴，
∵是等边三角形；
∴
即．
23．在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且．
(1)如下图，当动点E在边上时，连接，，求证：；
(2)如下图，当动点E是边的中点，判断的形状，并说明理由；
(3)如下图，当动点E在边上时，求证：；[提示：需作辅助线]
(4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)证明见解析
(4)的长为或．
【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明，，即可得到结论；
（2）先证明，再证明，即可得到结论；
（3）过点E作，再证明即可得到结论；
（4）分两种情况画图讨论：如图2，当时， 如图3，当时，再结合图形性质可得答案．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，．
又，
是等边三角形，
，，
，，
即，．
在和中，
（2）是等腰三角形；理由如下：
为的中点，是等边三角形，
，．
又，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）如图1，过点E作．
是等边三角形，
，．
∵，
，，
，
是等边三角形，
，
，即．
，
，
，即．
在和中，
，
，即；
（4）的长为或．理由如下：
如图2，当时，是的高，即是的中线，
．
由（1）可知，，
；
如图3，当时，则，
，
．
由（3）可知，，
∴；
综上：的长为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键．
24．在边长为的等边三角形中，点是边上的一点，动点以的速度从点沿向点运动，设运动时间为．
(1)如图①，若，，求的值；
(2)如图②，若点从点向点运动的同时，点以的速度从点沿向点运动，求为何值时，是等边三角形；
(3)如图③，将边长为9cm的等边三角形变换为以、为腰、为底的等腰三角形，且，，点运动到的中点处停止．点停止运动后，点以的速度从点沿向点运动，同时点以的速度从点沿向点运动，当与全等时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1或
【分析】（1）根据是等边三角形，，得出 ，，证明出是等边三角形，即可得出；
（2）需要进行分类讨论，当点Q在边上时，此时不可能为等边三角形；当点Q在边上时，若为等边三角形，则，然后求解；
（3）当，全等时，分两种情况讨论，当时，当时，设经过秒后全等，，然后再分类讨论，进行计算．
【详解】（1）解： 是等边三角形，，
，，
，
，
是等边三角形，
．
由题意可知，则，
，
解得．
（2）解：如图2
①当点Q在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点Q在边上时，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
故当秒时，为等边三角形；
（3）解：如图3：
，
当，全等时，分两种情况讨论，
当时，
设经过秒后全等，
，
根据，
，
解得：，
即时，，全等；
当时，
设经过秒后全等，
，
根据，
即，
解得：，
，
，
解得：，
综上：当，全等时，a的值为1或．
【点睛】本题考查了等边三角形、平行线的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握相应的定理，还需要利用分类讨论的思想进行求解．
25．已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足．
(1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长．
(2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；
（1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；
（2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
为等边三角形，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
，
，
∵
，
；
（2）解：，理由如下：
过点E作交于点F，如图，
∵，
∴，
，
∵，
，
，
，
∴，
，
，
在和中，
∵，
∴，
，
∵，
．
一、单选题
1．（2023上·湖南娄底·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D在上，，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度．
【详解】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故选：C．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，等边三角形纸片的边长为6，点E，F是边上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明是等边三角形．
由是等边三角形，得到，由平行线的性质得到，，即可推出是等边三角形，得到的周长．
【详解】解：点，是边上的三等分点，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
的周长．
故选：C．
3．（2024上·上海闵行·八年级校考期末）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，三线合一，得到，等边对等角，求出，进而求出，利用含30度的直角三角形的性质，求出的长，进一步求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，D是的中点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
4．（2024上·北京昌平·八年级统考期末）阅读下面材料：
已知：，，，点是中点，给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④点是上的一个动点，当取最小值时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据题意可推出，，即可判断①、②；由，，即可判断③；作点关于的对称点，连接交于点，可得的最小值为，证得即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∵点是中点，
∴
∴
∴是等边三角形
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
故②正确；
∴是等边三角形，
∵，，
∴，故③正确；
作点关于的对称点，连接交于点，如图所示：
则有：
∴
∴的最小值为
∵，，
∴
∴
∴当取最小值时，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边关系、含的直角三角形的特征、全等三角形综合以及线段和的最值问题，熟记相关定理结论是解题关键．
5．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，根据题意逐一判断即可，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，如图
∵是等边三角形，
∴， ，
∵，
∴，故①符合题意；
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴， 故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 故③符合题意；
∵，是的中点，
故④符合题意；
，
∴，
又∵
∴，
∴，故⑤符合题意．
故选：．
二、填空题
6．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）将宽的长方形纸条折叠成如图所示的形状，为折痕，则正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关性质，作出辅助线是解答本题的关键．
根据题意，作于点，得到是等边三角形，由等边三角形的性质，得到的长，进而求得答案．
【详解】如图所示，
解：作于点，由题意得，，
，
，
由折叠性质得：，
即，
，
是等边三角形，
，
在中，
，
，
，
正方形的面积为：，
故答案为：．
7．（2023上·浙江湖州·八年级校考期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆，若衣架收拢时，，如图，则此时，两点之间的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，掌握其判定定理，根据性质作答是解答本题的关键．
先根据，判断是等腰三角形，然后根据，判断是等边三角形，由此得到答案．
【详解】解：根据题意，
如图所示，
，
是等腰三角形，
是等边三角形，
，
故答案为：．
8．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）是的中线，，，把沿直线折叠，使点落在点的位置，连接，则的长为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查折叠的性质，综合利用了中线的定义、等边三角形的判定等知识点，由中线可得，折叠可得，，所以，易得是等边三角形，即可求得的长．
【详解】解：由翻折可知，，，，
，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：6．
9．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么 ．
【答案】5
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
由题意知，，由折叠的性质可知，，，证明是等边三角形，根据，求解即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：5．
10．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可证，由直角三角形的性质可求解．
【详解】是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
如图，过点作于，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
11．（2023上·天津河北·八年级统考期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)证明：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)或或
【分析】（1）由全等三角形的性质得出，结合，即可证明是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，即可求出，即是直角三角形；
（3）由等边三角形的性质得出．根据周角可求出，又可求出 ，从而可求出．分类讨论：①当时，此时；②当时，此时；③当时，此时，分别列出关于的等式，解出的值即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．
理由：∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
，
∴．
①当时，即此时，
∴，
∴；
②当时，即此时，
∴，
∴；
③当时，即此时，
∴，
∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定，三角形的内角和定理，几何图形中的角度计算，等腰三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
12．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）点D为的边上一点，连接，点E在外，连接，，，．
(1)如图1，若，请你判定的形状并证明；
(2)如图2，若，请你判定的形状并证明．
【答案】(1)为等腰三角形
(2)为等边三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及角平分线的判定等知识
（1）证，得，即可得出结论；
（2）过点作于点于点，证是等边三角形，得，再证，得，则平分，然后证，得，即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）是等腰三角形，证明如下：
∵，
∴，
∵°，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：是等边三角形，证明如下：
如图2，过点作于点于点，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴平分，
∵，
∴，
，
∴
∵
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形．
13．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形，与关于射线对称，点E为边上一点．点F在的延长线上，．作点F关于直线的对称点G，连接．
(1)依题意补全图形，并证明；
(2)用等式表示之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得到，则，，根据等边对等角得到，由此即可证明；
（2）连接，由等边三角形的性质得到，，则，由轴对称的性质得到，则，由此推出点F关于的对称点G在线段上，再证明为等边三角形，根据证明得出，从而得出结果；
【详解】（1）证明：补全的图形如图所示；
∵是等边三角形，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴；
（2）解：．证明如下：
如图所示，连接．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵与关于射线对称，
∴，，
∴，
又∵点F和点G关于对称，
∴，
∴点F关于的对称点G在线段上，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定等等，数轴轴对称的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
14．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在中，，点分别在边、上，，连结、．
(1)若，求证：．
(2)若，求、的大小．
(3)若，则的大小为__________度（用含的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）由三角形内角和得到，进而由等腰三角形的的判定与性质得到，，再由三角形全等的判定与性质即可得证；
（2）利用三角形内角和得到，再结合等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质及全等性质得到、的大小；
（3）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：在中，，，则，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：在中，，，则，
，
是等边三角形，则，
；
，
；
（3）解：，
，则，
在中，，则，
在中，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
15．（2023上·吉林·八年级吉林松花江中学校考期末）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________；
【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：；
【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】初步把握：
深入研究：详见解析
拓展延伸：
【分析】[初步把握]易证，再证即可；
[深入研究]易证，再证，即可得出结论；
[拓展延伸]易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可．
【详解】[初步把握]
解：，
，
即，
在和中，
，
，
故答案为：；
[深入研究]
证明：和都是等边三角形，
， ，
即，
在和中，
．
[拓展延伸]
解：，
理由如下：
，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
16．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”；
(2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分
(3)如图③，在四边形中，，，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出的关系便可；
（2）过点A作于点M，作于点N，再证明得，再根据角平分线的判定定理得结论；
（3）延长至E，使得，连接，证明，进而得是等边三角形，便可得．
【详解】（1）∵在与中，，
∴当时，与互为“兄弟三角形”，
∵，
∴，
故当时，与互为“兄弟三角形”，
故答案为；
（2）过点A作于点H，作于点N，
∵在与互为“兄弟三角形”，，
∴，，
∴，
∴，
∴（全等三角形的对应高相等），
∴平分；
（3）延长至E，使得，如图③，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．
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