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专题1.5直角三角形(分层练习,七大类型)
考查题型一、直角三角形的性质
1.如图,在中,,是边上的高,,,则的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质,掌握30度所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.先根据是边上的高,得到,由直角三角形两锐角互余可得,进而得到,根据30度所对的直角边等于斜边的一半可得;即可解答.
【详解】解:是边上的高,
,
,
,,
,
,
在中,,,
,
,
故选:C.
2.如图,在中,,且D在上,于E,交于点F,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由有,而,根据三角形内角和定理得到,由得到,根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质可求出的度数和的度数,进而求出的度数,利用邻补角的知识求出的度数.
【详解】解:,
,
而,
,
,
,
,
∵,
,
,
.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,直角三角形两锐角互余,邻补角,解题的关键是求出和的度数.
3.如图,是等腰底边边上的中线,,,则度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质,直角三角形两锐角互余,平行线性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.首先根据题意得到,,然后求出,然后求出,然后利用平行线的性质求解即可.
【详解】∵是等腰底边边上的中线,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴.
故选:B.
考查题型二、直角三角形的判定
4.下列各组数中,以它们为边长能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.1,2, C.2,2, D.,,
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理.若两条短边的平方和等于最长边的平方,根据勾股定理的逆定理,该三角形为直角三角形,否则不是直角三角形.据此依次判断即可.
【详解】A选项:∵,∴它们不能构成直角三角形;
B选项:∵,∴它们不能构成直角三角形;
C选项:∵,∴它们能构成直角三角形;
D选项:∵,∴它们不能构成直角三角形.
故选:C
5.下列条件中,可以判断是直角三角形的是( )
A. B.
C., D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理,三角形内角和定理,若三角形中两较小边的平方和等于最长边的平方,那么这个三角形为直角三角形,有一个角为90度的三角形是直角三角形,据此求解即可.
【详解】解:A、任何三角形都满足,不能判断是直角三角形,不符合题意;
B、设,
∵,
∴是直角三角形,符合题意;
C、∵,,
∴,
∴不是直角三角形,不符合题意;
D、∵,,
∴,
∴不是直角三角形,不符合题意;
故选B.
6.在如图所示的的方格图中,点A和点B均为图中格点.点C也在格点上,满足为以为斜边的直角三角形.这样的点C有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可.
【详解】解:如图,满足条件的点C共有4个,
故选D.
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理,正确进行讨论,把每种情况考虑全,是解决本题的关键.
考查题型三、用HL证全等
7.如图,于点 C,于点D,要根据“”直接证明 与全等, 则还需要添加一个条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等,根据HL定理的条件进行判断即可;
【详解】解:∵,,
∴当时,.
当时,.
故选D.
8.如图,用三角尺可以画角平分线:在已知的两边上分别取点,,使,再过点画的垂线,过点画的垂线,两垂线交于点,画射线.可以得到,所以,那么射线就是的平分线.的依据是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,角平分线的判定等知识,根据直角三角形全等的判定定理,可证,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
【详解】由题意知,,,
在和中,
∴,
∴,
故选:.
9.如图,在中,点D在边上,,,,垂足分别为E,F,.
求证:.
以下是排乱的证明过程:
①∵在和中, ②∴ ③∴ ④∵,.
证明过程正确的顺序是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.利用“”证明即可.
【详解】解:证明:是边的中点,
,
又∵,,
∴,
在和中,
,
∴.
综上,顺序是.
故故选:B.
考查题型四、用勾股定理的逆定理求解
10.如图,每个小正方形的边长为1.
(1)求四边形的面积;
(2)求的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
(1)利用网格割补法求面积进行求解即可;
(2)先用勾股定理求出各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行求解即可.
【详解】(1)四边形的面积;
(2)解:连接,
根据勾股定理得,,
,,
,,,
∴,
∴.
11.如图,在中,,,D为上一点,且,.
(1)求证:;
(2)求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理,勾股定理的逆定理,关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形.
(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论;
(2)设,则,根据勾股定理进而解答即可.
【详解】(1)证明:在中,
,
∴为直角三角形,即,
∴;
(2)解:设,则,
在中,,
即,
解得:,
∴.
12.如图,为等边三角形内一点,分别连接,.以为边作等边三角形,连接.
(1)求证:;
(2)求的度数.
【答案】(1)见解析
(2).
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理.
(1)利用可证得,从而证得;
(2)根据(1)的结论结合勾股定理的逆定理可证得为直角三角形,从而可求得答案.
【详解】(1)证明:∵、都是等边三角形,
∴,,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴;
(2)解:∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
而,
∵,
,
∴,
∴为直角三角形,且,
∴.
考查题型五、勾股定理逆定理的实际应用
13.为白银市公园建设多一些绿色、多一片蓝天,市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化.如图,现计划在公园一块四边形空地上种植草皮,测得,,,,,求该四边形的面积.
【答案】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用.连接,利用勾股定理求出,利用勾股定理逆定理,求出为直角三角形,进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积,即可得解.
【详解】解:如图,连接.
∵,,,
∴,
又∵,,
∴,即,
∴是直角三角形,
∴.
14.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),测得千米,千米,千米,
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:与是否垂直?)请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线的长.
【答案】(1)是,理由见解析
(2)2.5千米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理.
(1)根据勾股定理逆定理,求出,即可;
(2)设,在中,利用勾股定理进行求解即可.
掌握勾股定理及其逆定理,是解题的关键.
【详解】(1)解:是,理由如下:
∵千米,千米,千米,
∴,
∴,即:,
∴是从村庄C到河边的最近路;
(2)设,
∵,
∴,
∵,
∴,
由勾股定理,得:,
∴,
解得:,
∴的长为千米.
15.如图是某小区的一块四边形形状的绿地,其四个顶点处为A、B、C、D四栋住宅.已知,,,,.
(1)为了方便居民出入,小区物业计划对绿地进行改造,改造前从A栋到C栋有两条路线,分别为和,改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路,通过计算比较居民从点A到点C将最多少走多少路程?
(2)这片绿地的面积是多少?
【答案】(1)居民从点A到点C将最多少走路程;
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用,熟记定理的含义是解本题的关键.
(1)如图,连接,再利用勾股定理求解,再计算即可;
(2)先利用勾股定理的逆定理证明,再利用直角三角形的面积和可得答案.
【详解】(1)解:如图,连接,
∵,, .
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴居民从点A到点C将最多少走路程;
(2)∵,,
∴,
∴,
∴
.
考查题型六、勾股定理的拓展问题
16.在中,,设为最长边,当时,是直角三角形;当时,利用代数式和的大小关系,探究的形状(按角分类).
(1)当三边分别为6、8、9时,为________三角形;当三边分别为6、8、11时,为________三角形;
(2)猜想:当________时,为锐角三角形;当________时,为钝角三角形;(填“>”或“<”或“=”)
(3)判断:当时,
当为直角三角形时,则的取值为________;
当为锐角三角形时,则的取值范围________;
当为钝角三角形时,则的取值范围________.
【答案】(1)锐角;钝角
(2)
(3)①;②;③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
(1)当两直角边为6、8时,利用勾股定理可得斜边的长度,当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形,反之为钝角三角形;
(2)根据勾股定理的逆定理即可得出结论;
(3)当为直角三角形时,可求出,再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围.
【详解】(1)解:当两直角边为6、8时,斜边
当三边分别为6、8、9时,为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时,为钝角三角形
(2)解:由勾股定理逆定理可得,
当时,为锐角三角形;
当时,为钝角三角形;
(3)解:当为直角三角形时,;
当为锐角三角形时,,
;
当为钝角三角形时,,
则的取值范围为,
两边之和大于第三边,
.
17.阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:①若,则该三角形是直角三角形;②若,则该三角形是钝角三角形;③若,则该三角形是锐角三角形.例如:若一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边是6,,故由③可知该三角形是锐角三角形,请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是________三角形.
(2)若一个三角形的三边长分别是5,12,x.且这个三角形是直角三角形,求的值.
(3)当,时,判断的形状,并求出对应的的取值范围.
【答案】(1)锐角;(2)169或119;(3)见解析
【分析】(1)直接利用定义结合三角形三边得出答案;
(2)直接利用勾股定理得出x2的值;
(3)分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案.
【详解】解:(1)∵72+82=49+64=113>92,
∴三角形是锐角三角形,
故答案为:锐角;
(2)∵这个三角形是直角三角形,当x为斜边,
∴52+122=x2,
∴x2=169,
当12是斜边,
则52+x2=122,
解得:x2=119,
故x2的值为169或119;
(3)∵a=2,b=4,
∴,
∴,
若△ABC是锐角三角形,
则或,
则或,
∴或;
若△ABC是直角三角形,
则或,
则或;
若△ABC是钝角三角形,
则或,
则或,
∴.
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系,正确进行相关计算是解题关键.
考查题型七、直角三角形全等的性质与证明
18.如图,在中,,是过点A的直线,于D,于点E;
(1)若B、C在的同侧(如图1所示)且.求证:;
(2)若B、C在的两侧(如图2所示),且,其他条件不变,与仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2),见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质.
(1)通过证明,根据全等三角形对应角相等,即可求证;
(2)用和(1)相同的方法证明,根据全等三角形对应角相等,即可求证.
【详解】(1)证明:∵,,
∴,
在和中,
∵,
∴.
∴
∵,
∴.
∴.
∴.
(2)解:.理由如下:
∵,,
∴,
在和中,
∵,
∴.
∴,
∵,
∴,即,
∴.
19.如图,,垂足分别为D、C,并且,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的度数;
(3)若,则__________.(用含m的式子表示).
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】(1)利用等式的性质可得,再根据“”可证,可得,即可得出结论;
(2)根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、,再根据角的和差计算求解即可;
(3)根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、,再根据角的和差计算求解即可.
【详解】(1)证明:,
,
即,
在和中,
,
,
,
;
(2)解:解:,
,
,
,
又,
,
;
(3)解:,
,
,
,
,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质及角的和差计算,熟练掌握相关定理是解题的关键.
20.已知:点O到到的两边所在直线的距离相等,且.
(1)如图1,若点O在边上,过点O分别作,垂足分别是E,F.求证:;
(2)如图2,若点O在的内部,求证:;
(3)若点O在的外部,成立吗?请画图表示.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)不一定成立,理由和图示见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键,本题有一定难度,特别是(3)中,需要进行分类讨论才能得出结论.
(1)利用即可证明;
(2)过点O作于E,于F,如图1所示,证明,则,由,可得,则,进而可证;
(3)由题意知分三种情况:①过点O作的延长线于点E,作的延长线于点F,如图3所示,证明,则,,进而可得,进而可证;②过点O作于点E,作的延长线于点F,连接,如图4所示,证明,则,由,可得,③过点O作于点E,作的延长线于点F,连接,如图5所示:同理②,可得,然后作答即可.
【详解】(1)证明:由题意知,,
∵,,
∴;
(2)证明:过点O作于E,于F,如图2所示,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴;
(3)解:不一定成立,理由和图示如下:
分三种情况:
①过点O作的延长线于点E,作的延长线于点F,如图3所示:
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴;
②过点O作于点E,作的延长线于点F,连接,如图4所示:
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴;
③过点O作于点E,作的延长线于点F,连接,如图5所示:
同理②,,
∴,
∵,
∴;
综上所述,不一定成立.
一、单选题
1.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速海里,乙船时速海里,两个小时后,两船相距海里,已知甲船的航向为北偏东,则乙船的航向为( )
A.南偏东 B.北偏西 C.南偏东或北偏西 D.无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角,勾股定理逆定理,根据题意画出图形,然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解,掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键.
【详解】解:由题意得,海里,海里,,
∵,,
∴,
∴点三点共线,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴乙船的航向为南偏东或北偏西,
故选:.
2.在中,a,b,c分别是的对边,根据下列条件,可以判定为直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可.本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理,能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键.
【详解】解:A.∵,
∴,
∵,
∴,
∴最大角,
∴不是直角三角形,故本选项不符合题意;
B.∵,
∵,
∴最大角
∴不是直角三角形,故本选项不符合题意;
C.∵,
∴
∴,
∴不是直角三角形,故本选项不符合题意;
D.设
∵,
∴
∴,
∴是直角三角形,故本选项符合题意
故选:D.
3.如图,在中,于R,于S,则三个结论①;②;③中( )
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的判定,等边对等角.熟练掌握了全等三角形的判定与性质,平行线的判定,等边对等角是解题的关键.
证明,则,可判断①的正误;等边对等角,可得,则,进而可判断②的正误;题干条件无法判断,进而可判断③的正误.
【详解】解:由题意知,∵,,
∴,
∴,①正确 ,故符合要求;
∵,
∴,
∴,②正确,故符合要求;
由题意无法判断,③错误,故不符合要求;
故选:B.
4.如图,中,的平分线交于点,平分.给出下列结论:①;②;③;④;⑤.正确结论有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理,直角三角形的性质,等腰三角形三线合一的性质.根据同角的余角相等求出,再根据等角的余角相等可以求出;根据等腰三角形三线合一的性质求出.
【详解】解:∵,
∴,
∴,故①正确;
∵是的平分线,
∴,
∵,,
∴,
∵(对顶角相等),
∴,故②正确;
假设,
∵,
∴,
∴,
∴只有时,故③错误;
∵,
∴,
∴是等腰三角形,
∵平分,
∴,故④正确.
∵平分,
∴,
∵,
∴,即,
∴,故⑤正确.
综上所述,正确的结论是①②④⑤.
故选:C.
二、填空题
5.如图,在中,M为边的中点,于点E ,于点F,且.若,则 °.
【答案】50
【分析】证明,可得,利用三角形内角和计算即可得答案.此题考查了直角三角形全等的证明方法和性质,三角形内角和定理,证明是解题的关键.
【详解】解:∵M为边的中点,于点E ,于点F,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:50.
6..如图,有一台救火飞机沿东西方向,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点,已知,,,飞机中心周围以内可以受到洒水影响,若该飞机的速度为,则着火点C受到洒水影响 秒.
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用,等腰三角形的性质,过点C作,垂足为D,勾股定理的逆定理证明是直角三角形,进而等面积法求得长度,以点C为圆心,为半径作圆,交于点E、F,勾股定理求得,进而求得的长,根据飞机的速度求得到飞行时间即可解决问题.
【详解】过点C作,垂足为D,
∵,,,且
∴,
∵,
∴
以点C为圆心,为半径作圆,交于点E、F,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴着火点C受到洒水影响时间为.
7.如图,,垂足为点,射线,垂足为点,一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动,点为射线上一动点,随着点运动而运动,且始终保持,当点离开点后,运动 秒时,与全等.
【答案】0,4,8,12.
【分析】本题考查三角形全等的判定,熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键.首先根据题意可知,本题要分两种情况讨论:①当E在线段上时,②当E在射线上时; 再分别分成两种情况,,结合已知,运用即可得出 与全等,然后分别计算的长度即可.
【详解】解:①当E在线段上,时,,
,,
,
,
∴点E的运动时间为(秒);
②当E在上,时,,
,
,
,
∴点E的运动时间为(秒);
③当E在线段上,时,,
这时E在A点未动,因此时间为0秒;
④当E在上,时,,
,
点E的运动时间为(秒),
故答案为:0,4,8,12.
8.如图,在中,,,过上一点D作交的延长线于点P,交于点Q.若,则 , .
【答案】 2 2
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,熟练掌握等边三角形的判定与性质,以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.根据已知易得是等边三角形,从而利用等边三角形的性质可得,,再利用垂直定义可得,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得,然后在中,利用含30度角的直角三角形的性质可得,从而可得,最后利用对顶角相等可得,从而可得,进而利用等角对等边即可解答.
【详解】解:∵,,
∴是等边三角形,
∴,,
∵,
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为:2,2.
三、解答题
9.如图,已知中,于,.
(1)分别求的长;
(2)是直角三角形吗?证明你的结论.
【答案】(1),详见解析;
(2)详见解析.
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理等知识点,
(1)根据垂直定义可得,然后在中,利用勾股定理进行计算可得,再在中,利用勾股定理求出的长,即可解答;
(2)利用(1)的结论可得,然后利用勾股定理的逆定理进行计算,即可解答;
熟练掌握勾股定理的逆定理,以及勾股定理是解题的关键.
【详解】(1)∵,
∴,
在中,,
∴,
在中,,
∴,
∴的长为12,的长为16;
(2)是直角三角形,
理由:∵,
∴,
∵,
∴,
∴是直角三角形.
10.如图,在中,,是的角平分线交于点,过作于点,点在上,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)证,即可得出结论;
(2)设,在上截取,连接,证,得,,再证,得,然后证,即可得出结论.
【详解】(1)证明:平分,
,
,
,
,
,
在和中,
,
,
;
(2)证明:设,
,
,,
则,
在上截取,连接,如图所示:
在和中,
,
,
,,
,
,
在和中,
,
,
,
,
在中,,
在中,,
,
,
,在中,,
,
,
,
;
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识;证明和是解题的关键.
11.如图,在中,,点在上,,点在上,
(1)若,求的度数.
(2)当的度数是 时,是直角三角形.
【答案】(1);
(2)或.
【分析】()根据平行线的性质可得,再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得;
()分和两种情况求解.当时,根据直角三角形两个锐角互余可得,然后利用直角三角形定义即可得结论;
本题考查了三角形的外角性质,平行线的性质,直角三角形的定义和性质,掌握三角形外角性质的应用是解题的关键.
【详解】(1)∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴;
(2)当的度数是或时,是直角三角形.
理由如下:
当的度数是时,是直角三角形;
当时,
∵,
∴,
∴当时,是直角三角形;
故答案为:或.
12.在等腰直角三角形中,,.点为直线上一个动点(点不与点,重合),连接,点在直线上,且.过点作,点,在直线的同侧,且,连接.
(1)情况一:当点在线段上时,图形如图所示;
情况二:如图2,当点在的延长线上,且,请依题意补全图;
(2)请从问题(1)的两种情况中,任选一种情况,完成下列问题:
①求证:;
②用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)图形如下
(2)证明如下;
【分析】本题考查直角三角形的知识,解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质,勾股定理的运用,全等三角形的判定和性质.
(1)根据题意,补充图形,即可;
(2)根据等腰直角三角形的性质,则,根据,则,根据,即可;过点作交直线于点,根据等边直角三角形,,根据,
则,根据等量代换,得,;再根据全等三角形的判定和性质,勾股定理的运用,即可.
【详解】(1)图形如下:
(2)根据情况一,即图
证明如下:
∵,,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴;
过点作交直线于点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
在中,,
∴.
13.如图,在中,点D为边上的一点,,,,.
(1)试说明,并直接写出点D到的距离;
(2)求的长及的面积;
(3)小华通过计算发现的三边满足,从而得到是直角三角形,她判断的依据是:__________.
(4)动点P从点B出发,以每秒4个单位的速度沿射线方向运动,当是等腰三角形时,请直接写出运动时间t的值.
【答案】(1)证明见解析,
(2),的面积为
(3)勾股定理的逆定理
(4)或或
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理,等腰三角形的性质等知识点,掌握分类讨论的数学思想是解题关键.
(1)利用勾股定理的逆定理即可判断,根据即可求出点D到的距离;
(2)根据即可求的长,根据即可求的面积;
(3)根据勾股定理的逆定理即可判断;
(4)分类讨论三种情况,画出对应图,根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可建立方程求解.
【详解】(1)解:∵,,,
∴
∴为直角三角形,
∴,
点D到的距离为:
(2)解:∵,,,
∴
的面积为:
(3)解:根据勾股定理的逆定理可知:
若的三边满足,则是直角三角形
故答案为:勾股定理的逆定理
(4)解:,如图所示:
∵,,
∴
∴
解得:
,如图所示:
则,
解得:;
,如图所示:
此时,
∴,
解得:
综上所述:或或
14.如图,在中,,,,点从点出发,沿射线以每秒个单位长度的速度运动.设点的运动时间为秒.
(1) .
(2)若点在的角平分线上,求 的面积.
(3)当时,求的值.
(4)当是等腰三角形时,直接写出的值.
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质;
(1)由勾股定理可求得的值;
(2)根据角平分线的性质求得,然后依据三角形的面积计算公式解答即可;
(3)利用勾股定理求得,进而得到,求出的值即可;
(4)分作为底和腰两种情况讨论即可.
【详解】(1)在中,,,,
由勾股定理得:,
故答案为:;
(2)过点作于点,如图所示:
,
,
点在的角平分线上,,
,
又,
,
,
,
设,则,
在中,,
解得:,
的面积为;
(3)如图2,
,
∴或
∴或;
(4)当作为底边时,如图3所示:
则,设,则,
在中,,
,
解得:,
此时;
当作为腰时,如图4所示:
,此时;
时,
,
,
此时,
综上,的值为或或.
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专题1.5直角三角形(分层练习,七大类型)
考查题型一、直角三角形的性质
1.如图,在中,,是边上的高,,,则的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.如图,在中,,且D在上,于E,交于点F,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图,是等腰底边边上的中线,,,则度数是( )
A. B. C. D.
考查题型二、直角三角形的判定
4.下列各组数中,以它们为边长能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.1,2, C.2,2, D.,,
5.下列条件中,可以判断是直角三角形的是( )
A. B.
C., D.
6.在如图所示的的方格图中,点A和点B均为图中格点.点C也在格点上,满足为以为斜边的直角三角形.这样的点C有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考查题型三、用HL证全等
7.如图,于点 C,于点D,要根据“”直接证明 与全等, 则还需要添加一个条件是( )
A. B. C. D.
8.如图,用三角尺可以画角平分线:在已知的两边上分别取点,,使,再过点画的垂线,过点画的垂线,两垂线交于点,画射线.可以得到,所以,那么射线就是的平分线.的依据是( )
A. B. C. D.
9.如图,在中,点D在边上,,,,垂足分别为E,F,.
求证:.
以下是排乱的证明过程:
①∵在和中, ②∴ ③∴ ④∵,.
证明过程正确的顺序是( )
A. B.
C. D.
考查题型四、用勾股定理的逆定理求解
10.如图,每个小正方形的边长为1.
(1)求四边形的面积;
(2)求的度数.
11.如图,在中,,,D为上一点,且,.
(1)求证:;
(2)求的长.
12.如图,为等边三角形内一点,分别连接,.以为边作等边三角形,连接.
(1)求证:;
(2)求的度数.
考查题型五、勾股定理逆定理的实际应用
13.为白银市公园建设多一些绿色、多一片蓝天,市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化.如图,现计划在公园一块四边形空地上种植草皮,测得,,,,,求该四边形的面积.
14.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),测得千米,千米,千米,
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:与是否垂直?)请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线的长.
15.如图是某小区的一块四边形形状的绿地,其四个顶点处为A、B、C、D四栋住宅.已知,,,,.
(1)为了方便居民出入,小区物业计划对绿地进行改造,改造前从A栋到C栋有两条路线,分别为和,改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路,通过计算比较居民从点A到点C将最多少走多少路程?
(2)这片绿地的面积是多少?
考查题型六、勾股定理的拓展问题
16.在中,,设为最长边,当时,是直角三角形;当时,利用代数式和的大小关系,探究的形状(按角分类).
(1)当三边分别为6、8、9时,为________三角形;当三边分别为6、8、11时,为________三角形;
(2)猜想:当________时,为锐角三角形;当________时,为钝角三角形;(填“>”或“<”或“=”)
(3)判断:当时,
当为直角三角形时,则的取值为________;
当为锐角三角形时,则的取值范围________;
当为钝角三角形时,则的取值范围________.
17.阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:①若,则该三角形是直角三角形;②若,则该三角形是钝角三角形;③若,则该三角形是锐角三角形.例如:若一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边是6,,故由③可知该三角形是锐角三角形,请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是________三角形.
(2)若一个三角形的三边长分别是5,12,x.且这个三角形是直角三角形,求的值.
(3)当,时,判断的形状,并求出对应的的取值范围.
考查题型七、直角三角形全等的性质与证明
18.如图,在中,,是过点A的直线,于D,于点E;
(1)若B、C在的同侧(如图1所示)且.求证:;
(2)若B、C在的两侧(如图2所示),且,其他条件不变,与仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
19.如图,,垂足分别为D、C,并且,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的度数;
(3)若,则__________.(用含m的式子表示).
20.已知:点O到到的两边所在直线的距离相等,且.
(1)如图1,若点O在边上,过点O分别作,垂足分别是E,F.求证:;
(2)如图2,若点O在的内部,求证:;
(3)若点O在的外部,成立吗?请画图表示.
一、单选题
1.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速海里,乙船时速海里,两个小时后,两船相距海里,已知甲船的航向为北偏东,则乙船的航向为( )
A.南偏东 B.北偏西 C.南偏东或北偏西 D.无法确定
2.在中,a,b,c分别是的对边,根据下列条件,可以判定为直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,在中,于R,于S,则三个结论①;②;③中( )
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
4.如图,中,的平分线交于点,平分.给出下列结论:①;②;③;④;⑤.正确结论有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
5.如图,在中,M为边的中点,于点E ,于点F,且.若,则 °.
6..如图,有一台救火飞机沿东西方向,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点,已知,,,飞机中心周围以内可以受到洒水影响,若该飞机的速度为,则着火点C受到洒水影响 秒.
7.如图,,垂足为点,射线,垂足为点,一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动,点为射线上一动点,随着点运动而运动,且始终保持,当点离开点后,运动 秒时,与全等.
8.如图,在中,,,过上一点D作交的延长线于点P,交于点Q.若,则 , .
三、解答题
9.如图,已知中,于,.
(1)分别求的长;
(2)是直角三角形吗?证明你的结论.
10.如图,在中,,是的角平分线交于点,过作于点,点在上,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
11.如图,在中,,点在上,,点在上,
(1)若,求的度数.
(2)当的度数是 时,是直角三角形.
12.在等腰直角三角形中,,.点为直线上一个动点(点不与点,重合),连接,点在直线上,且.过点作,点,在直线的同侧,且,连接.
(1)情况一:当点在线段上时,图形如图所示;
情况二:如图2,当点在的延长线上,且,请依题意补全图;
(2)请从问题(1)的两种情况中,任选一种情况,完成下列问题:
①求证:;
②用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明.
13.如图,在中,点D为边上的一点,,,,.
(1)试说明,并直接写出点D到的距离;
(2)求的长及的面积;
(3)小华通过计算发现的三边满足,从而得到是直角三角形,她判断的依据是:__________.
(4)动点P从点B出发,以每秒4个单位的速度沿射线方向运动,当是等腰三角形时,请直接写出运动时间t的值.
14.如图,在中,,,,点从点出发,沿射线以每秒个单位长度的速度运动.设点的运动时间为秒.
(1) .
(2)若点在的角平分线上,求 的面积.
(3)当时,求的值.
(4)当是等腰三角形时,直接写出的值.
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