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专题1.5直角三角形（分层练习，七大类型）
考查题型一、直角三角形的性质
1．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30度所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先根据是边上的高，得到，由直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据30度所对的直角边等于斜边的一半可得；即可解答．
【详解】解：是边上的高，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故选：C．
2．如图，在中，，且D在上，于E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由有，而，根据三角形内角和定理得到，由得到，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质可求出的度数和的度数，进而求出的度数，利用邻补角的知识求出的度数．
【详解】解：，
，
而，
，
，
，
，
∵，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，邻补角，解题的关键是求出和的度数．
3．如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．首先根据题意得到，，然后求出，然后求出，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】∵是等腰底边边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
考查题型二、直角三角形的判定
4．下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．2，2， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理．若两条短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．据此依次判断即可．
【详解】A选项：∵，∴它们不能构成直角三角形；
B选项：∵，∴它们不能构成直角三角形；
C选项：∵，∴它们能构成直角三角形；
D选项：∵，∴它们不能构成直角三角形．
故选：C
5．下列条件中，可以判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，若三角形中两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形为直角三角形，有一个角为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：A、任何三角形都满足，不能判断是直角三角形，不符合题意；
B、设，
∵，
∴是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合题意；
故选B．
6．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
考查题型三、用HL证全等
7．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可；
【详解】解：∵，，
∴当时，．
当时，．
故选D．
8．如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定定理，可证，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【详解】由题意知，，，
在和中，
∴，
∴，
故选：．
9．如图，在中，点D在边上，，，，垂足分别为E，F，．
求证：．
以下是排乱的证明过程：
①∵在和中， ②∴ ③∴ ④∵，．
证明过程正确的顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用“”证明即可．
【详解】解：证明：是边的中点，
，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
综上，顺序是．
故故选：B．
考查题型四、用勾股定理的逆定理求解
10．如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用网格割补法求面积进行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可．
【详解】（1）四边形的面积；
（2）解：连接，
根据勾股定理得，，
，，
，，，
∴，
∴．
11．如图，在中，，，D为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设，则，根据勾股定理进而解答即可．
【详解】（1）证明：在中，
，
∴为直角三角形，即，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
12．如图，为等边三角形内一点，分别连接，．以为边作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理．
（1）利用可证得，从而证得；
（2）根据（1）的结论结合勾股定理的逆定理可证得为直角三角形，从而可求得答案．
【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
而，
∵，
，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
考查题型五、勾股定理逆定理的实际应用
13．为白银市公园建设多一些绿色、多一片蓝天，市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化．如图，现计划在公园一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，，求该四边形的面积．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出为直角三角形，进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，即可得解．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴．
14．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），测得千米，千米，千米，
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2.5千米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．
（1）根据勾股定理逆定理，求出，即可；
（2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：是，理由如下：
∵千米，千米，千米，
∴，
∴，即：，
∴是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴的长为千米．
15．如图是某小区的一块四边形形状的绿地，其四个顶点处为A、B、C、D四栋住宅．已知，，，，．
(1)为了方便居民出入，小区物业计划对绿地进行改造，改造前从A栋到C栋有两条路线，分别为和，改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路，通过计算比较居民从点A到点C将最多少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
【答案】(1)居民从点A到点C将最多少走路程；
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键．
（1）如图，连接，再利用勾股定理求解，再计算即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形的面积和可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，， ．
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴居民从点A到点C将最多少走路程；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴
．
考查题型六、勾股定理的拓展问题
16．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，为锐角三角形；
当时，为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当为锐角三角形时，，
；
当为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
17．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
考查题型七、直角三角形全等的性质与证明
18．如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E；
(1)若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：；
(2)若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．
（1）通过证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证；
（2）用和（1）相同的方法证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，即，
∴．
19．如图，，垂足分别为D、C，并且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，则__________．（用含m的式子表示）．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用等式的性质可得，再根据“”可证，可得，即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、，再根据角的和差计算求解即可；
（3）根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、，再根据角的和差计算求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：解：，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质及角的和差计算，熟练掌握相关定理是解题的关键．
20．已知：点O到到的两边所在直线的距离相等，且．
(1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：；
(2)如图2，若点O在的内部，求证：；
(3)若点O在的外部，成立吗？请画图表示．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)不一定成立，理由和图示见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，本题有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论．
（1）利用即可证明；
（2）过点O作于E，于F，如图1所示，证明，则，由，可得，则，进而可证；
（3）由题意知分三种情况：①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示，证明，则，，进而可得，进而可证；②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示，证明，则，由，可得，③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：同理②，可得，然后作答即可．
【详解】（1）证明：由题意知，，
∵，，
∴；
（2）证明：过点O作于E，于F，如图2所示，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：不一定成立，理由和图示如下：
分三种情况：
①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示：
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示：
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：
同理②，，
∴，
∵，
∴；
综上所述，不一定成立．
一、单选题
1．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
2．在中，a，b，c分别是的对边，根据下列条件，可以判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
【详解】解：A．∵，
∴，
∵，
∴，
∴最大角，
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵，
∵，
∴最大角
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴
∴，
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．设
∵，
∴
∴，
∴是直角三角形，故本选项符合题意
故选：D．
3．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（ ）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角．熟练掌握了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角是解题的关键．
证明，则，可判断①的正误；等边对等角，可得，则，进而可判断②的正误；题干条件无法判断，进而可判断③的正误．
【详解】解：由题意知，∵，，
∴，
∴，①正确 ，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
由题意无法判断，③错误，故不符合要求；
故选：B．
4．如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质．根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，故②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
∴只有时，故③错误；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，故④正确．
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴,故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：C．
二、填空题
5．如图，在中，M为边的中点，于点E ，于点F，且．若，则 °．
【答案】50
【分析】证明，可得，利用三角形内角和计算即可得答案．此题考查了直角三角形全等的证明方法和性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
【详解】解：∵M为边的中点，于点E ，于点F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50．
6．．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度求得到飞行时间即可解决问题．
【详解】过点C作，垂足为D，
∵，，，且
∴，
∵，
∴
以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴着火点C受到洒水影响时间为．
7．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等．
【答案】0，4，8，12．
【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时； 再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可．
【详解】解：①当E在线段上，时，，
，，
，
，
∴点E的运动时间为（秒）；
②当E在上，时，，
，
，
，
∴点E的运动时间为（秒）；
③当E在线段上，时，，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在上，时，，
，
点E的运动时间为（秒），
故答案为：0，4，8，12．
8．如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则 ， ．
【答案】 2 2
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，再利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，进而利用等角对等边即可解答．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2，2．
三、解答题
9．如图，已知中，于，．
(1)分别求的长；
(2)是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】(1)，详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识点，
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可得，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为12，的长为16；
（2）是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
10．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证，即可得出结论；
（2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：设，
，
，，
则，
在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，在中，，
，
，
，
；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明和是解题的关键．
11．如图，在中，，点在上，，点在上，
(1)若，求的度数．
(2)当的度数是 时，是直角三角形．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（）根据平行线的性质可得，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得；
（）分和两种情况求解．当时，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用直角三角形定义即可得结论；
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，直角三角形的定义和性质，掌握三角形外角性质的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）当的度数是或时，是直角三角形．
理由如下：
当的度数是时，是直角三角形；
当时，
∵，
∴，
∴当时，是直角三角形；
故答案为：或．
12．在等腰直角三角形中，，.点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，点在直线上，且.过点作，点，在直线的同侧，且，连接.
(1)情况一：当点在线段上时，图形如图所示；
情况二：如图2，当点在的延长线上，且，请依题意补全图；
(2)请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)图形如下
(2)证明如下；
【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意，补充图形，即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，则，根据，则，根据，即可；过点作交直线于点，根据等边直角三角形，，根据，
则，根据等量代换，得，；再根据全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可．
【详解】（1）图形如下：
（2）根据情况一，即图
证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
过点作交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
13．如图，在中，点D为边上的一点，，，，．
(1)试说明，并直接写出点D到的距离；
(2)求的长及的面积；
(3)小华通过计算发现的三边满足，从而得到是直角三角形，她判断的依据是：__________．
(4)动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿射线方向运动，当是等腰三角形时，请直接写出运动时间t的值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)，的面积为
(3)勾股定理的逆定理
(4)或或
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理即可判断，根据即可求出点D到的距离；
（2）根据即可求的长，根据即可求的面积；
（3）根据勾股定理的逆定理即可判断；
（4）分类讨论三种情况，画出对应图，根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可建立方程求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴
∴为直角三角形，
∴，
点D到的距离为：
（2）解：∵，，，
∴
的面积为：
（3）解：根据勾股定理的逆定理可知：
若的三边满足，则是直角三角形
故答案为：勾股定理的逆定理
（4）解：，如图所示：
∵,，
∴
∴
解得：
，如图所示：
则，
解得：；
，如图所示：
此时，
∴，
解得：
综上所述：或或
14．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．
(1) ．
(2)若点在的角平分线上，求 的面积．
(3)当时，求的值．
(4)当是等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）由勾股定理可求得的值；
（2）根据角平分线的性质求得，然后依据三角形的面积计算公式解答即可；
（3）利用勾股定理求得，进而得到，求出的值即可；
（4）分作为底和腰两种情况讨论即可．
【详解】（1）在中，，，，
由勾股定理得：，
故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
点在的角平分线上，，
，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，
的面积为；
（3）如图2，
，
∴或
∴或；
（4）当作为底边时，如图3所示：
则，设，则，
在中，，
，
解得：，
此时；
当作为腰时，如图4所示：
，此时；
时，
，
，
此时，
综上，的值为或或．
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专题1.5直角三角形（分层练习，七大类型）
考查题型一、直角三角形的性质
1．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在中，，且D在上，于E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（ ）
A． B． C． D．
考查题型二、直角三角形的判定
4．下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．2，2， D．，，
5．下列条件中，可以判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
6．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型三、用HL证全等
7．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点D在边上，，，，垂足分别为E，F，．
求证：．
以下是排乱的证明过程：
①∵在和中， ②∴ ③∴ ④∵，．
证明过程正确的顺序是（ ）
A． B．
C． D．
考查题型四、用勾股定理的逆定理求解
10．如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积；
(2)求的度数．
11．如图，在中，，，D为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
12．如图，为等边三角形内一点，分别连接，．以为边作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
考查题型五、勾股定理逆定理的实际应用
13．为白银市公园建设多一些绿色、多一片蓝天，市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化．如图，现计划在公园一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，，求该四边形的面积．
14．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），测得千米，千米，千米，
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
15．如图是某小区的一块四边形形状的绿地，其四个顶点处为A、B、C、D四栋住宅．已知，，，，．
(1)为了方便居民出入，小区物业计划对绿地进行改造，改造前从A栋到C栋有两条路线，分别为和，改造后物业开辟一条从点A直通点C的小路，通过计算比较居民从点A到点C将最多少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
考查题型六、勾股定理的拓展问题
16．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
17．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
考查题型七、直角三角形全等的性质与证明
18．如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E；
(1)若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：；
(2)若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
19．如图，，垂足分别为D、C，并且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，则__________．（用含m的式子表示）．
20．已知：点O到到的两边所在直线的距离相等，且．
(1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：；
(2)如图2，若点O在的内部，求证：；
(3)若点O在的外部，成立吗？请画图表示．
一、单选题
1．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
2．在中，a，b，c分别是的对边，根据下列条件，可以判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（ ）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
4．如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
5．如图，在中，M为边的中点，于点E ，于点F，且．若，则 °．
6．．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
7．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等．
8．如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则 ， ．
三、解答题
9．如图，已知中，于，．
(1)分别求的长；
(2)是直角三角形吗？证明你的结论．
10．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求证：；
11．如图，在中，，点在上，，点在上，
(1)若，求的度数．
(2)当的度数是 时，是直角三角形．
12．在等腰直角三角形中，，.点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，点在直线上，且.过点作，点，在直线的同侧，且，连接.
(1)情况一：当点在线段上时，图形如图所示；
情况二：如图2，当点在的延长线上，且，请依题意补全图；
(2)请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
13．如图，在中，点D为边上的一点，，，，．
(1)试说明，并直接写出点D到的距离；
(2)求的长及的面积；
(3)小华通过计算发现的三边满足，从而得到是直角三角形，她判断的依据是：__________．
(4)动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿射线方向运动，当是等腰三角形时，请直接写出运动时间t的值．
14．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．
(1) ．
(2)若点在的角平分线上，求 的面积．
(3)当时，求的值．
(4)当是等腰三角形时，直接写出的值．
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