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专题1.6线段的垂直平分线（分层练习，五大类型）
考查题型一、线段的垂直平分线的性质
1．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，
∴
∵直线为线段的垂直平分线，
∴
故选：B
2．如图,中,,的垂直平分线交于点,若,,的周长等于( )
A．14 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】本题考查垂直平分线性质,三角形周长公式．
根据题意可知,因为的垂直平分线交于点,可知,再根据三角形周长公式进行边的转换,即可得到本题的答案．
【详解】解:∵,,
∴,
∵的垂直平分线交于点,
∴,
∵的周长为:,
∴,
∵,
∴的周长为:,
故选:D．
3．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解．
【详解】解：的垂直平分线交边于点E，
的垂直平分线交边于点N，
，，
，，
，
，
，
；
故选：B．
4．如图，为的高，的垂直平分线与、分别交于点，平分．若，则以下结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，三角形的内角和，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，是解题的关键．①根据垂直平分线的性质得出，即可判断；②设，得出，推出，，即可判断；③在上截取，则，推出，，即可判断；④先求出 ，则，即可判断．
【详解】解：①∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，故①正确，符合题意；
②设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴与不一定相等，故②不正确，不符合题意；
③在上截取，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个，
故选：C．
考查题型二、线段的垂直平分线的判定
5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据题意可知到三个顶点的距离相等，从而判定在三边的垂直平分线的上，即它们的交点处，从而得解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
6．如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴垂直平分，
根据现有条件，无法证明垂直平分，
故选A．
7．如图，，边上存在一点P，使得．下列描述正确的是（ ）
A．P是的垂直平分线与的交点 B．P是的平分线与AB的交点
C．P是的垂直平分线与的交点 D．P是的中点
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定解答即可．
【详解】解：，
，
∴P是的垂直平分线与的交点．
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，熟知判定定理是解题的关键．
8．如图，等腰中，，，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明，得出，，判定①②正确；证明点A、F在线段的垂直平分线上，得出垂直平分，判定④正确；延长交于点G，根据等腰三角形的性质得出，根据余角性质得出，即可判定③正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
∵，
∴点A、F在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，故④正确；
延长交于点G，如图所示：
∵，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
考查题型三、线段的垂直平分线的尺规作图的有关计算
9．如图，等腰的周长为18，底边，分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别相交于点，，直线分别与，相交于点，，连接，则的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，先根据等腰三角形的定义求出，由作图方法可知，垂直平分，则，据此根据三角形周长公式得到的周长．
【详解】解：∵等腰的周长为18，底边，
∴，
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选A．
10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，则的大小是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和，先根据尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，即，再根据“等边对等角”得，可求，然后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：根据题意可知直线是线段的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，．
故选：C．
11．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【详解】解：选项B正确．理由：
连接．
由作图可知点P在的垂直平分线上，
，
．
故选：B．
12．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．利用基本作图得到垂直平分，，则可对A选项、B选项和C选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得垂直平分，，
∴为等边三角形，，所以A、B、C选项符合题意；
∴．所以D选项不符合题意；
故D．
考查题型四、线段的垂直平分线的应用
13．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的运用．根据题目要求是要找到三个点距离相等的点的位置，那么这一个点就在这三个点围成的三角形三边的垂直平分线上，即监控的位置是的各边的垂直平分线的交点；根据以上提示作出任意两个边的垂直平分线，交点即为这个监控安装的位置．
【详解】解：如图，点P这个监控安装的位置．
．
14．金秋十月，我校第32届体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A、B两点相距为两个班级，于点A，于点B，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站E，使得C、D两个班级到E站的距离相等．
(1)请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
(2)已知，求饮水站E到点B的距离．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查作图图应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用是解答本题的关键．
（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
（2）设，则，在和中，由勾股定理得，，则，即，求出的值即可．
【详解】（1）如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
（2）由题意得，，
设，则，
∵，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵，
即，
解得，
答：饮水站到点的距离为．
15．（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．
（2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称求最短距离．
（1）由题意可得，作出线段的垂直平分线、的交点D，即可求解；
（2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则点即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求，
；
（2）点P即为所求，
；
16．如图，在中，．
(1)在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接，若，，试求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作的垂直平分线交于，点即为所求；
（2）利用线段垂直平分线的性质和勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：作的垂直平分线交于，如图：
点即为所求；
（2）设，则，
，
，
解得，
线段的长为．
考查题型五、线段的垂直平分线的计算与证明综合问题
17．如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接．
(1)求证：；
(2)延长，与交于点F，若，
①求证：F是的中点；
②连接，若，则与的位置关系是______
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握垂直平分线的性质．
（1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，即可解决问题；
（2）①证明，得到，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可解决问题；
②通过是等腰直角三角形，利用各角之间数量关系，证明，然后证明是等腰直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点在上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①在和中，
，
∴，
是等腰三角形，平分，
∴，
∴F是的中点；
②∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，中，，，过点C在外作射线，且，点A关于的对称点为点D，连接，其中分别交射线于点M，N．
(1)依题意补全图形；
(2)当时，直接写出的度数；
(3)当时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）依据题意即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）证明为等腰直角三角形，得到，证明，即可求解．
【详解】（1）解：补图如下：
（2）解：∵点A关于的对称点为点D，
则，
即，
，
则；
（3）结论：，
证明：作交的延长线于点H，
∵点A与点D关于对称，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是图形的几何变换，涉及到三角形全等、几何作图、点的对称性、等腰三角形的性质，有一定的综合性，难度适中．
19．已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.
(1)当，时，求的长.
(2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
(3)当线段的长取最大值时，的值为__________.
【答案】(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，由等角对等边可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理计算出，即可得解；
（2）由轴对称的性质可得是线段的垂直平分线，从而得到，证明，得出，即可得证；
（3）当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，设，则，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：线段，关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，即，
；
（2）解：，
证明：点关于直线的对称点为，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：点关于直线的对称点为，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
如图，作于，
线段，关于直线对称，
，
，，
，
当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，
如图，当时，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
线段，关于直线对称，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）可得，
，
，
故答案为：．
一、单选题
1．（2022上·山东威海·八年级统考期中）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角；连接，先根据等腰对等边求出，再根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点G，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．（2023上·海南海口·八年级海南中学校考期中）中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ．
【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得，
，
，
，
；
如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得，
，
，
，
，
．
底角为或．
故选：B．
3．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）如图，在中，，，，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，连接，设，则，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】解：连接，如图，
设，则，
由作法得垂直平分，
∴，
在中，，
解得，
即的长为5．
故选：A．
4．（2024上·甘肃天水·八年级统考期末）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键．延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断④错误；由，，得出，得出，可判断②正确；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断③正确；进而可以解决问题．
【详解】解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故④错误；
，，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故③正确．
正确的有①②③．
故选：A．
5．（2023上·湖北武汉·八年级期末）已知在锐角中，点为三条边的垂直平分线的交点，点为三个角的平分线的交点，若的度数为x，的度数为y，则x、y间的数量关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的定义可得，整理即可得到结论．
【详解】解：作与点D，作与点E，作与点F，连接，
∵O为三条边的垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵I为三个角的平分线的交点，
∴，
，，
∴，
∴，
故选：C．
6．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形（四边形）内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
根据四边形的内角和定理可判定结论①；根据垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质可判定结论②；根据可判定结论③；如图所示，连接，根据垂直平分线的性质可判定结论④，由此即可求解．
【详解】解：在四边形中，
∵垂直平分于，垂直平分于，
∴，且，
∴，
故结论①正确；
∵在中，，
∴，
∵垂直平分于，垂直平分于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故结论②正确；
在中，，，
∴不是等腰三角形，即，
∴，
∴与的大小关系无法确定，
∴的大小关系也无法确定，
故结论③无法判定；
如图所示，连接，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
故结论④正确；
综上所述，正确的有①②④，共个，
故选：．
二、填空题
7．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图所示，平分于点，，么的长度为 ．
【答案】2
【分析】在上截取，得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明得，进而可求出的长．
【详解】如图，在上截取，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
8．（2023上·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连接．若，，的周长为 ．
【答案】23
【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质．
由作图过程可得是线段的垂直平分线，从而得到，进而利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】根据作图过程可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：23．
9．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质．由勾股定理，求得，由垂直平分线的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程求解，得出，进而得到，再结合轴对称的性质，即可求出的长．
【详解】解：，，，
，
垂直平分，
，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
在中，，
由对称的性质可知，，
，
故答案为：．
10．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，有如下四个结论：①；②；③；④是正三角形．写出正确结论的序号 （请你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②/②①
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆周角定理；根据等腰三角形的性质可得垂直平分，即可判断①②，当时，证明，但是不一定成立，则③不一定正确；不一定等于，④不一定正确．
【详解】∵，
∴为等腰三角形，
又∵平分，
∴垂直平分，①正确；
∴，②正确；
当时，如图所示，过点，则，
∵
∴
∵，则
即
而不一定成立，故③不正确；
∵不一定等于，
∴不一定是正三角形，④错误．
故答案为：①②．
三、解答题
11．（2023上·广西南宁·九年级统考期中）如图，在中，，，．
(1)填空：________；
(2)用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，；（尺规作图，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，连接，求的长．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查作图—基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）利用勾股定理求解；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）设，在中，，构建方程求解．
【详解】（1）解：在中，，
故答案为∶；
（2）如图所示：
（3）设
在中
12．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知中，，点分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)，详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质定理、垂直平分线的判定定理等知识点，
（1）根据可得，利用，进而证明；
（2）由则A在的垂直平分线上，再证明可得，故F在的垂直平分线上，则垂直平分；
正解理解题意是解决此问题的关键．
【详解】（1）与全等；
理由：∵，
∴即，
在与中，
，
∴；
（2）如图：连接，
由（1）∵，
∴A在的垂直平分线上，
∵，
∴，
在与，
，
∴，
∴，
∴F在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
13．（2023上·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示）
(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，，由等边对等角可得，，最后根据进行计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，，由等边对等角可得，，根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等结合三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
（3）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为，可得出，再由的周长为得出，再由线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，即可得解．
【详解】（1）解：在中，，
，
分别垂直平分和，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：分别垂直平分和，
，，
，，
，
，即，
，
，，，
，
故答案为：；
（3）解：如图，连接、、，
分别垂直平分和，
，，
的周长为，
，
，即，
的周长为，
，
，
分别垂直平分和，
，，
，
．
14．（2023上·四川绵阳·八年级校联考期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．
(1)求证：；
(2)过点A作，交延长线于点，交于，连接．
①若，则 ．
②求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到；
（2）①根据等边三角形的性质得出，，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，得出，根据，得出，求出结果即可；
②根据平行线的性质得出，再利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明是等边三角形，即可解答.
【详解】（1）证明：是等边三角形，是中线，
，，
又，
，
又，
，
，
；
（2）解：①∵是等边三角形，是中线，
∴，，
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
根据（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：8；
②证明：∵，
，
为的中线，
∴
∵，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
垂直平分．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：是的高，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为边上一点，线段的垂直平分线交线段于点，点在线段上，连接，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作交线段于点，于点，连接，若的面积为6，且，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义即性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，即可得出；
（2）设，则，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理得出，从而得到，即可得证；
（3）过点M作于点K，设，则，证明出，再由，得出，由，得出，求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：设，则，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解：过点M作于点K，
设，则，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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专题1.6线段的垂直平分线（分层练习，五大类型）
考查题型一、线段的垂直平分线的性质
1．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图,中,,的垂直平分线交于点,若,,的周长等于( )
A．14 B．16 C．17 D．18
3．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为的高，的垂直平分线与、分别交于点，平分．若，则以下结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型二、线段的垂直平分线的判定
5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
6．如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
7．如图，，边上存在一点P，使得．下列描述正确的是（ ）
A．P是的垂直平分线与的交点 B．P是的平分线与AB的交点
C．P是的垂直平分线与的交点 D．P是的中点
8．如图，等腰中，，，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型三、线段的垂直平分线的尺规作图的有关计算
9．如图，等腰的周长为18，底边，分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别相交于点，，直线分别与，相交于点，，连接，则的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，则的大小是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
11．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
考查题型四、线段的垂直平分线的应用
13．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）
14．金秋十月，我校第32届体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A、B两点相距为两个班级，于点A，于点B，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站E，使得C、D两个班级到E站的距离相等．
(1)请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
(2)已知，求饮水站E到点B的距离．
15．（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．
（2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
16．如图，在中，．
(1)在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接，若，，试求线段的长．
考查题型五、线段的垂直平分线的计算与证明综合问题
17．如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接．
(1)求证：；
(2)延长，与交于点F，若，
①求证：F是的中点；
②连接，若，则与的位置关系是______
18．如图，中，，，过点C在外作射线，且，点A关于的对称点为点D，连接，其中分别交射线于点M，N．
(1)依题意补全图形；
(2)当时，直接写出的度数；
(3)当时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
19．已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.
(1)当，时，求的长.
(2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
(3)当线段的长取最大值时，的值为__________.
一、单选题
1．（2022上·山东威海·八年级统考期中）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·海南海口·八年级海南中学校考期中）中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
3．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）如图，在中，，，，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
4．（2024上·甘肃天水·八年级统考期末）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．（2023上·湖北武汉·八年级期末）已知在锐角中，点为三条边的垂直平分线的交点，点为三个角的平分线的交点，若的度数为x，的度数为y，则x、y间的数量关系是( )
A． B． C． D．
6．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图所示，平分于点，，么的长度为 ．
8．（2023上·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连接．若，，的周长为 ．
9．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ．
10．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，有如下四个结论：①；②；③；④是正三角形．写出正确结论的序号 （请你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题
11．（2023上·广西南宁·九年级统考期中）如图，在中，，，．
(1)填空：________；
(2)用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，；（尺规作图，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，连接，求的长．
12．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知中，，点分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
13．（2023上·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示）
(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
14．（2023上·四川绵阳·八年级校联考期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．
(1)求证：；
(2)过点A作，交延长线于点，交于，连接．
①若，则 ．
②求证：垂直平分．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：是的高，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为边上一点，线段的垂直平分线交线段于点，点在线段上，连接，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作交线段于点，于点，连接，若的面积为6，且，求线段的长．
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