中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7角平分线（分层练习，五大类型）
考查题型一、角平分线的性质
1．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点D作于E，
是的角平分线，，
，
由垂线段最短可得，
，
．
故选：A．
2．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）在中，，的平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：平分，，，
，
的面积，
故选：B．
3．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作得，据此即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴的面积为：，
故选：C
4．（2023上·重庆江北·八年级校考期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若，，下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】过点作于点，利用角平分线的性质定理，得到，进而得出，再利用平行线的性质，得出，即可判断①结论；利用平行线的判定条件分析，即可判断②结论；根据平行线和角平分线的定义，得出，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可判断③结论；证明，得到，从而得出，即可判断④结论．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
，
，
，,
，
平分，①结论正确；
，而的度数不确定，
不一定等于，
与不一定平行，②结论错误；
，
，
平分，
，
，
，
是平分，
，③结论正确；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，④结论正确，
即正确的结论有①③④，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
考查题型二、角平分线的判定
5．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的判定，涉及“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，掌握角平分线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，
故选：B．
6．（2023上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（ ）
A．线段的中点 B．与的中垂线的交点
C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，
又点P在上，
∴P点是与的平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键．
7．（2023上·河南商丘·八年级校考期末）如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ）
A．为两角平分线的交点
B．为的平分线与的垂直平分线的交点
C．为两边上的高的交点
D．为两边的垂直平分线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的判定：到角两边的距离相等的点在角平分线上；到线段端点距离相等的点在垂直平分线上，据此即可作答．
【详解】解：点到的两边的距离相等，
在的平分线上．
，
在的垂直平分线上．
即为的平分线与的垂直平分线的交点．
故选：B．
8．（2023上·河南驻马店·八年级校考期中）已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)判断点是否在的角平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点在的角平分线上．理由见解析
【分析】（1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题．
（2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上．
【详解】（1）证明：是的高，
，
，
又是公共边，
即是等腰三角形．
（2）解：点在的角平分线上．
理由如下：
，
，
，
，
又，
点在的角平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到．
考查题型三、角平分线与基本作图
9．（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为( )
A．无法确定 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质；先利用基本作图得到平分，然后根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解．
【详解】解：由作法得平分，
过作于，
，
，
，
∴的面积
故选：C．
10．（2024上·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值．
【详解】解：由作图知，平分，
过点D作于E，如图，
∵，
∴；
∵，
∴的最小值为3，
故选：B．
11．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，点A、B分别在的边上，连接，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用三角形外角的性质即可求出答案．
【详解】解：由作法得平分
，
∵平分，
，
．
故选：C．
12．（2023上·山西临汾·八年级校考期末）如图，在中，，
(1)作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了基本作图-角平分线，角平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出图形是解答的关键：
（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，交，与两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，点与两弧的交点所在的射线交于点D，即为所求作；
（2）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的性质推出，由“等角对等边”即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：，理由如下：
，，
．
平分，
，
．
考查题型四、角平分线的应用
13．（2023上·山东·八年级期末）如图，兔子的三个洞口构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，用线段垂直平分线性质判断即可，熟练掌握性质是解题的关键；
【详解】解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点，
故选：A．
14．（2023上·北京·八年级校考期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ）
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
【答案】C
【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．
【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∵和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个；
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解．
二、解答题
15．（2023上·重庆秀山·八年级校考期中）作图题（要求：保留作图痕迹，不写作法）：如图，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的交叉区域内设一个热水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使两个班的学生取热水所走路程一样，你能解决这个问题吗？请画出示意图．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，点P到两条道路的距离相等，则点P在的角平分线上，使两个班的学生取热水所走路程一样，则点P在线段的垂直平分线，据此作出作的角平分线和线段的垂直平分线的交点即为点P．
【详解】解：如图所示，作的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为所求．
16．（2023上·北京东城·八年级北京市文汇中学校考期中）课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
(1)利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)写出作图依据：_____________________________________________________________________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点；
（2）根据（1）中图形证明即可．
【详解】（1）如图，点为所求；
（2）作的平分线，线段的垂直平分线，交于点，
连接，，过点作于点，于点．
，，
且 点在的平分线上，
∴，即活动中心P到两条马路的距离相等，
点在线段的垂直平分线上，
∴，即活动中心P到两个小区的距离也相等，
点为所求作的点．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点的位置是解题的关键．
考查题型五、角平分线的性质与判定综合问题
17．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．
(1)求的度数．
(2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积．
【答案】(1)
(2)4.8
【分析】（1）本题考查三角形的有关性质，充分利用已知条件，三角形的外角性质及内角和公式，本题即可求解．利用三角形外角，，在中用三角形内角和表示出以及表示出外角是解答本题的关键．
（2）运用角平分线的性质表示出点到边、、的距离，利用已知条件即可求得面积．
【详解】（1）解：（1）∵
∴（三角形的外角性质）
又∵平分，
∴
∴
又∵在中
即
∴
又∵是的外角，
∴．
（2）（2）如图，过点分别作于点，于点．
平分，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
;
又，的面积为12，
即
又
∴．
18．（2022上·河北石家庄·八年级校联考期末）如图，在中，，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，
①求证：点E在的垂直平分线上；
②若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）证明得到，即可证明平分；
（2）①先根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义推出，则，据此可得点E在的垂直平分线上；②根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再求出，则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分；
（2）解：①：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点E在的垂直平分线上；
②∵在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，证明是解题的关键．
19．（2023上·吉林白山·八年级统考期末）如图，中，，点分别在边上，，．
(1)求证：平分；
(2)写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点作于点，证明得到，从而可得出点在的平分线上，即可得证；
（2）证明得到，由（1）知，，得到，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
20．（2023上·湖北恩施·八年级统考期中）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】问题情境：相等，理由见解析；变式拓展：①，见解析；②，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质；
问题情境：过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证；
变式拓展：①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解；
②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】问题情境：证明：如图1，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
变式拓展：解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
一、单选题
1．（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．条件不足，无法计算
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点到的距离是，
故选：．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，等腰中，，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题根据等腰直角三角形性质和平分，得出，利用为的中点，得出，结合直角三角形两锐角互余，推出，证明，即可得出结论①，再证明，即可得出结论④，利用，、、、四点共圆，结合圆周角定理，即可得出结论③，最后利用三角形外角证明，即可得出结论②．
【详解】解：，，，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
为的中点，
，
，，
在和中，
，
，
①正确．
在和中
，
，
，
．
④正确．
，
、、、四点共圆，
，
，
，
平分，
③正确．
，
，
，
②正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判断，三角形外角，全等三角形的性质和判定、四点共圆，圆周角定理及推论，熟练掌握相关知识即可解题．
3．（2024上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图，在和中，，，，，，交于点M，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】A
【分析】由SAS证明得出，，②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得：，得出，①正确；作于G，于H，则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得出，，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
即
在和中
∴，
∴，，，故②正确；
由三角形内角和定理得：，
又∵，
∴，故①正确；
作于G，于H，如图所示：
则，
在和中，
∴，
∴
∴平分，故④正确；
∵
∴当时，平分，
假设，
∵
∴，
∵平分，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，故③错误；
正确的有①②④；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定，角平分线的定义，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，平分，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，即平分．
∵与不重合，
∴不平分，故③错误；
如图，连接，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∵，，
∴，故④正确．
综上可知正确的有3个．
故选C．
5．（2024上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论：
①；
②；
③点到直线，直线，直线的距离相等；
④．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断①；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断②；根据角平分线的性质即可判断③；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断④．
【详解】解：∵分别平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确；
∵的两条角平分线，相交于点
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵分别平分，
∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离，
∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键．
二、填空题
6．（江苏省南京市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，是的角平分线，，垂足为E．若的面积为10，，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出DE=DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．过D作于F，根据角平分线的性质求出，设，根据的面积为10得出，再把，，代入求出a即可．
【详解】解：过D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
设，
∵的面积为10，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
即，
故答案为：2．
7．（2023上·浙江·八年级期末）如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．
【答案】/
【分析】过点作于点，过点作于点，先利用三角形内角和定理计算出，在中可计算出，的值，再利用得到的值，接着根据角平分线的性质得到，，加上，设，则，接着表示出，于是得到方程并求解得，然后在中计算出的值，即可获得答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵恰好平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
8．（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）如图，在，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，做射线交边于点，若，，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，根据作图的方法可得平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式即可计算出的面积，根据作图方法判断出是的平分线是解题的关键．
【详解】解：由作法得为的平分线，
∴点到的距离等于的长，
即点到的距离为，
∴的面积，
故答案为：．
9．（2023上·山东德州·八年级德州市第十中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是 ．
①；②；③；④．
【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义以及性质定理可得，，证明，则，证明，则，进而可得；可判断①的正误；如图，作于，同理可求，则，可判断②的正误；由题意知，无法判断，可判断③的正误；由，，可得，可判断④的正误．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；①正确，故符合要求；
如图，作于，
同理可求得，
∴，②正确，故符合要求；
由题意知，，但无法判断，③错误，故不符合要求；
∵，，
∴，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2023上·全国·八年级期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在的上方分别作和，且交于点P．有下列结论：①；②；③当时，；④平分．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③④
【分析】由“”可证，可得，可判断①；由，可得，由，可得，利用三角形内角和定理即可判断②；由，可得：，进而得出，再运用等腰三角形性质即可判断③；由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求，由角平分线的性质可得平分，可判断④，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵∠ACD=∠CDB+∠CBD
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
如图，连接，过点C作于G，于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平分，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积，角平分线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键．
三、解答题
11．（2024上·陕西西安·八年级校考开学考试）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图，已知锐角，，在内部求作一点P．使，且．
【答案】见解析
【分析】本题考查基本尺规作图、角平分线和线段垂直平分线的性质，利用角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，故只需作平分线和线段垂直平分线的交点P即可．转化为作角平分线和线段垂直平分线的交点是解答的关键．
【详解】解：如图，点P即为所求作：
12．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：点O在的平分线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
（1）证明，则，根据，可证；
（2）由（1）可知，，证明，则，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：由（1）可知，．
∵，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
13．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．
(1)求的度数；
(2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得，，再根据三角形内角和定理得，代入计算即可；
（2）过点作于点，连接，证明，得，证明，得，然后通过恒等变形得，可得结论；
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴在中，
，
∴的度数为；
（2）．
理由：如图，过点作于点，连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∵，，
∴，，
由（1）得：，，
∴
在四边形中，，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，角平分线的定义、性质，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键．
14．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，尺规作图痕迹与的边分别交于点过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结，使．
(1)求证：．
(2)若的面积为的面积为，则的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
(1)根据角平分线的性质以及全等三角形的判定证明即可．
(2)证明，可得，由，可得，进而可得，即可得出答案．
【详解】（1）证明∶由作图痕迹可知，平分，
．
（2）由（1）可知，，
，
的面积为，
的面积为，
即的面积为3．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）已知，如图1所示，为等边三角形，D是边上一点，，且，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于点F，连接，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作于H，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到，，求出，然后证明出，即可得到；
（2）过点C作，过点G作，由得到，即可证明平分；
（3）在线段上取点M，使，过点D作，首先求出，然后证明出，得到，，证明出是等边三角形，得到，，然后由得到，，然后证明出，得到．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴；
（2）如图所示，过点C作，过点G作
∵，，
∴
∴
∴平分；
（3）如图所示，在线段上取点M，使，过点D作，
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∴是等边三角形
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
由（1）得，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，P是线段上一个动点．
(1)如图1，若平分，交于点F，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)6
【分析】（1）证出，由等腰三角形的判定可得出结论；
（2）设，则，由勾股定理得出，则可得出答案；
（3）延长交于点M，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
；
（2）设，则，
，
，
，
；
（3）延长交于点M，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7角平分线（分层练习，五大类型）
考查题型一、角平分线的性质
1．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）在中，，的平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．20
3．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·重庆江北·八年级校考期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若，，下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考查题型二、角平分线的判定
5．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
6．（2023上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（ ）
A．线段的中点 B．与的中垂线的交点
C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点
7．（2023上·河南商丘·八年级校考期末）如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ）
A．为两角平分线的交点
B．为的平分线与的垂直平分线的交点
C．为两边上的高的交点
D．为两边的垂直平分线的交点
8．（2023上·河南驻马店·八年级校考期中）已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)判断点是否在的角平分线上，并说明理由．
考查题型三、角平分线与基本作图
9．（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为( )
A．无法确定 B．10 C．15 D．30
10．（2024上·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
11．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，点A、B分别在的边上，连接，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·山西临汾·八年级校考期末）如图，在中，，
(1)作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
考查题型四、角平分线的应用
13．（2023上·山东·八年级期末）如图，兔子的三个洞口构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
14．（2023上·北京·八年级校考期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ）
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
15．（2023上·重庆秀山·八年级校考期中）作图题（要求：保留作图痕迹，不写作法）：如图，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的交叉区域内设一个热水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使两个班的学生取热水所走路程一样，你能解决这个问题吗？请画出示意图．
16．（2023上·北京东城·八年级北京市文汇中学校考期中）课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
(1)利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)写出作图依据：_____________________________________________________________________．
考查题型五、角平分线的性质与判定综合问题
17．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．
(1)求的度数．
(2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积．
18．（2022上·河北石家庄·八年级校联考期末）如图，在中，，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，
①求证：点E在的垂直平分线上；
②若，求的长．
19．（2023上·吉林白山·八年级统考期末）如图，中，，点分别在边上，，．
(1)求证：平分；
(2)写出与的数量关系，并说明理由．
20．（2023上·湖北恩施·八年级统考期中）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．条件不足，无法计算
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，等腰中，，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
3．（2024上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图，在和中，，，，，，交于点M，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论：
①；
②；
③点到直线，直线，直线的距离相等；
④．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（江苏省南京市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，是的角平分线，，垂足为E．若的面积为10，，，则的长为 ．
7．（2023上·浙江·八年级期末）如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．
8．（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）如图，在，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，做射线交边于点，若，，则的面积是 ．
9．（2023上·山东德州·八年级德州市第十中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是 ．
①；②；③；④．
10．（2023上·全国·八年级期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在的上方分别作和，且交于点P．有下列结论：①；②；③当时，；④平分．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题
11．（2024上·陕西西安·八年级校考开学考试）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图，已知锐角，，在内部求作一点P．使，且．
12．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：点O在的平分线上．
13．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．
(1)求的度数；
(2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由．
14．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，尺规作图痕迹与的边分别交于点过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结，使．
(1)求证：．
(2)若的面积为的面积为，则的面积为______．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）已知，如图1所示，为等边三角形，D是边上一点，，且，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于点F，连接，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作于H，若，，求的长．
16．（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，P是线段上一个动点．
(1)如图1，若平分，交于点F，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
