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专题1.8第1章三角形的证明单元测试（提高卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·山西晋中·八年级统考期末）下列数据能作为直角三角形三边的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理内容是解题关键．
【详解】解：∵，
∴不能作为直角三角形三边，故A不符合题意；
∵，
∴不能作为直角三角形三边，故B不符合题意；
∵，
∴不能作为直角三角形三边，故C不符合题意；
∵，
∴能作为直角三角形三边，故D符合题意；
故选：D．
2．（2024上·贵州遵义·八年级校联考期末）已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是（ ）
A．3 B．8 C．3或8 D．13
【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，能灵活应用分类思想是解决问题的关键．因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论，根据三角形周长可求得底边．
【详解】解：当3是腰长时，底边为，
此时，不能组成三角形；
当3是底边时，腰长为，
此时3，8，8三边能够组成三角形．
所以等腰三角形的底边是3．
故选：A．
3．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图．屋顶钢架外枢是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
4．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等边对等角以及三角形内角和计算即可．
【详解】解：∵
，
故选：A．
5．（2024下·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考期末）下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（ ）
A．I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B．I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→②
C．I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D．I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→②
【答案】B
【分析】该题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握尺规作图的基本方法；
根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线； 作一条线段的垂直平分线；即可判断得出答案；
【详解】解：①是作一个角等于已知角的方法；②是作一个角的平分线的作法；③是作一条线段的垂直平分线方法，
故选：B．
6．（2024上·安徽滁州·九年级统考期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，米，，则横梁的长为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．12米
【答案】A
【分析】本题考查含的直角三角形三边关系．根据题意利用在直角三角形中含角所对的边是斜边的一半即可得到本题答案．
【详解】解：∵立柱垂直于横梁，
∴，
∵米，，
∴米，
故选：A．
7．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，先延长交于E，证明为等腰三角形，可得，，再根据等角对等边，得，最后根据得出答案．
【详解】解：延长交于E，如图，
∵平分，，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，.
∵，
∴，
∴．
故选：D．
8．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，平行线的性质，角平分线的判定，由角平分线的判定定理即可判断②；证明即可判断①；由平行线的性质得到，根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断③；由于只有，并不能得到，即可判断④.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴平分，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明，故③错误；
∵，
∴，
由于只有，并不能得到，
∴不成立，故④错误，
故选：B．
9．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（ ）．
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】连接与交于点P，则此时周长取到最小值时周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，M，N，
∴A，C关于对称，
连接与交于点P，则此时周长取到最小值时周长取到最小值，
∵，点D是的中点，
∴，
∵垂直平分，点P是上的点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关键．
10．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒（），当为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
根据题意可知：临界值∶当和时，再结合直角三角形中30度角的性质求出的取值范围，进而确定点t的取值范围．
【详解】解：如图：当时，
在中，，
∴，
∴；
如图：当时，
在中，，
∴，
∴，
∴当时，为锐角三角形，
∴，
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角为 ．
【答案】35
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：的角为顶角，
∴它的底角为．
故答案为：35
12．（2024上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线上任意一点到角的两边距离相等即可求解．
【详解】解：∵P是平分线上一点，，，
，
故答案为：．
13．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ．
【答案】90
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：90．
14．（2024上·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，若的周长为，，则的长为 cm．
【答案】14
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，结合周长列式计算即可．
【详解】∵线段的垂直平分线交于点D，
∴；
∵的周长是，
∴；
∴；
∴；
∴；
∵
∴；
故答案为：14．
15．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，相互平行的三条直线，，，与，与之间的距离分别为1，3，若在三条直线上各取一点，构造一个等腰直角三角形，那么作出的等腰直角三角形面积最大值为 ．
【答案】//
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理和等腰三角形的性质，构造等腰直角三角形，过点A作于D，过点C作于E，即可判定，可求得和，利用勾股定理即可求得，即可求得面积．
【详解】解：构造如下等腰直角三角形，过点A作于点D，过点C作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和
∴，
∴，
在中，，
则．
故答案为：．
16．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得：，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：9．
三、解答题
17．（2023上·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键．
（1）证即可求证；
（2）由（1）可得，据此即可求证．
【详解】（1）证明：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
18．（2023上·福建泉州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，．
(1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键；
（1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求；
（2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明；
【详解】（1）解：作图如图所示，
则为所求作的角平分线
（2）证明：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
19．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可；
（2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合 以及（）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，
在和中，
，，
∴．
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此的度数为．
20．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接．
(1)若，求证：；
(2)试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键．
（1）证明得到是线段的垂直平分线，推出，利用平行线的判定定理即可证明；
（2）过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；理由如下：
是等边三角形，
，
过作，交的延长线于点，如图②：
，，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
∴，
，
在和中，
∵，
，
，
，
即．
21．（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点D，E分别在上，且，与交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质．解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据等边三角形的性质可得到，结合条件可证明，可得．
（2）由（1）可得，结合外角的性质可求得．最后求出的度数即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
22．（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）已知四边形，，．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．
①求的度数；
②若，，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）设，则，根据等边对等角解题即可；
（2）①运用等边对等角解题即可；②作，为垂足，利用角的直角三角形的性质解题即可．
【详解】（1）解：设，则，
∵，
∴∴，
故答案为：；
（2）①解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，，
∴；
②解：作，为垂足，
∵，平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）在中，，点为边的中点，点在边上．
(1)若，，（如图①），求的长；
(2)过点作与边交于点（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)．理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）证明是线段的垂直平分线，利用勾股定理求得，，再利用面积法求解即可；
（2）作交的延长线于点，证明，推出，，由线段垂直平分线的判定和性质，得到，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，
∵点为边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，即，
在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下，
作交的延长线于点，连接，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，即．
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专题1.8第1章三角形的证明单元测试（提高卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·山西晋中·八年级统考期末）下列数据能作为直角三角形三边的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·贵州遵义·八年级校联考期末）已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是（ ）
A．3 B．8 C．3或8 D．13
3．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图．屋顶钢架外枢是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一”
4．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
5．（2024下·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考期末）下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（ ）
A．I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B．I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→②
C．I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D．I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→②
6．（2024上·安徽滁州·九年级统考期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，米，，则横梁的长为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．12米
（第6题） （第7题） （第8题）
7．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（ ）．
A． B． C． D．无法计算
10．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒（），当为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角为 ．
12．（2024上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ．
（第12题） （第13题） （第14题）
13．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ．
14．（2024上·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，若的周长为，，则的长为 cm．
15．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，相互平行的三条直线，，，与，与之间的距离分别为1，3，若在三条直线上各取一点，构造一个等腰直角三角形，那么作出的等腰直角三角形面积最大值为 ．
16．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题（第17、18题每题6分，第19，20，21，22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2023上·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
(1)；
(2)．
18．（2023上·福建泉州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，．
(1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
19．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接．
(1)若，求证：；
(2)试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
21．（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点D，E分别在上，且，与交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
22．（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）已知四边形，，．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．
①求的度数；②若，，求的长．
23．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）在中，，点为边的中点，点在边上．
(1)若，，（如图①），求的长；
(2)过点作与边交于点（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
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