中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.9第1章三角形的证明单元测试（培优卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·重庆长寿·八年级统考期末）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．或 B． C． D．以上答案均不对
2．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题）
3．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，则线段的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）如图，，，于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．1.5 C． D．1
6．（2024上·湖北随州·八年级统考期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）
A． B．与互余 C． D．
（第5题） （第6题） （第8题）
7．（2023上·山东青岛·八年级校考期中）若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
8．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2024上·湖南张家界·八年级校考期末）等腰三角形的底角是顶角的2.5倍，则顶角度数是 ．
12．（2023上·江西南昌·八年级统考期末）如图，于，于，，，则的度数是 ．
（第12题） （第13题） （第14题）
13．（2024上·江西赣州·八年级统考期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度．
14．（2024上·江西新余·八年级统考期末）如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是 .
15．（2024上·山西大同·八年级统考期末）如图，在中，的面积是42，的垂直平分线分别交边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
16．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，AD与BE相交于点O，BE与AC相交于点M，AD与CE相交于点N，连接MN．给出下列结论：
①；②；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（第17、18题每题6分，第19，20，21，22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2021下·广东韶关·八年级校考期末）如图是单位长度为1的正方形网格．
(1)在图1中画出一条长度为的线段；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形．
18．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，，E是上的一点，且，．求证：．
19．（2023下·广东揭阳·七年级统考期末）如图，已知中，，，且平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，．
(1)在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
21．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
22．（2023下·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长．
23．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数；
(2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条双腰分割线；
(3)如图3，已知中，是三角形的双腰分割线，且；已知，，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.9第1章三角形的证明单元测试（培优卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·重庆长寿·八年级统考期末）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．或 B． C． D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据非负数的性质，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：，，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长，
∴三角形的周长为，
故选：B．
2．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
3．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，则线段的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等角对等边．根据角平分线定义得出，，根据平行线的性质得出，，根据等角对等边得出，，根据求出结果即可．
【详解】解：∵在中，和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
故选：A．
4．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，设，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
设，
∵是的垂直平分线，
是的外角，
解得：，
故选：B．
5．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）如图，，，于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．1.5 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质作于G，根据角平分线的性质得到的长度，再根据平行线的性质得到，然后利用三角形的外角和内角的关系求出，利用角所对的直角边是斜边的一半解题．
【详解】解：作于G，如图所示：
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
6．（2024上·湖北随州·八年级统考期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）
A． B．与互余 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴要利用“”判定的条件是．
故选D．
7．（2023上·山东青岛·八年级校考期中）若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，利用三角形内角和定理求出中最大的内角度数即可判断A、B；利用勾股定理的逆定理：三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，那么该三角形是直角三角形，即可判定C、D．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴不能判断是直角三角形，不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴不能判断是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不能判断是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴能判断是直角三角形，符合题意；
故选D．
8．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，则可证明，可以得到是直角三角形，且，再由进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选B．
9．（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
∵在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，故结论④正确．
综上，正确的结论有4个．
故选：D
10．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据的长度不固定可判断①错误；作于H，根据证明得，从而，再证明即可判断②正确；由勾股定理得，，两式相减可判断③正确；设，则，根据可判断④正确．
【详解】解：①∵的长度不固定，
∴的大小不固定，故①错误；
②作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，
，，
，故③正确；
④设，
则，
∴，
即，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2024上·湖南张家界·八年级校考期末）等腰三角形的底角是顶角的2.5倍，则顶角度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形，三角形内角和．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
设底角为，则顶角为，根据等腰三角形性质，三角形内角和定理列出方程，解方程，即得．
【详解】设底角为，则顶角为，
根据题意得：，
解得：，
∴顶角为．
故答案为：．
12．（2023上·江西南昌·八年级统考期末）如图，于，于，，，则的度数是 ．
【答案】/90度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明得到，由进而得到，利用角的和差关系即可求出的度数，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（2024上·江西赣州·八年级统考期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度．
【答案】60或105或150
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可．
【详解】解：当时，
则；
当时，，
则；
当时，，
则；
故答案为：60或105或150
14．（2024上·江西新余·八年级统考期末）如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是 .
【答案】或或
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数．
【详解】解：，
，，
是等边三角形，
，即，
，又，
是等边三角形，
，
，
，
，
若，则，
即
解得：；
若，则，
即
解得：；
若，则，
即，
解得：；
综上所述，当是等腰三角形时，的度数是或或．
故答案为：或或．
15．（2024上·山西大同·八年级统考期末）如图，在中，的面积是42，的垂直平分线分别交边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．根据中垂线的性质，得到，进而得到周长等于，根据三线合一，求出的长，即可得出结果．掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分，点为线段上一动点，
∴，
∴周长等于，
∵，点为边的中点，
∴，，
∴的面积为，
∴，
∴周长的最小值为；
故答案为：．
16．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，AD与BE相交于点O，BE与AC相交于点M，AD与CE相交于点N，连接MN．给出下列结论：
①；②；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定．利用“边角边”证明；再利用“角边角”证明，推出；判断出为等边三角形，得到；求出，即为，再根据计算即可得解．
【详解】解：和均是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
∴，
，
，
在和中，
，
，
∴，故②正确；
，
，
为等边三角形，
，
，
∴，故③正确；
，
，
，
，故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（第17、18题每题6分，第19，20，21，22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2021下·广东韶关·八年级校考期末）如图是单位长度为1的正方形网格．
(1)在图1中画出一条长度为的线段；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求解；
（2）根据勾股定理及其逆定理求解．
【详解】（1）如图：根据勾股定理．
故即为所求；
（2）如图：根据勾股定理得：，，
，
故直角三角形即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理和逆定理，掌握网格结构特点和勾股定理是解题的关键．
18．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，，E是上的一点，且，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质可得，从而可得和都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证．
【详解】，
，
和都是直角三角形，
，
，
在和中，，
．
∴
∵，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键．
19．（2023下·广东揭阳·七年级统考期末）如图，已知中，，，且平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70度
【分析】（1）要求证：可以先根据角角边定理证明，再根据全等三角形性质得出结论；
（2）根据，得，再由三角形内角和求出．
【详解】（1）（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键．
20．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，．
(1)在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线，与的交点即为P点．
（2）设，则，勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：设，则．
在中，由勾股定理，得
，
即：，
解得 ．
∴
21．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识．
（1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得；
（2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得；
②分两种情况：(ⅰ)当点在线段上时，解法一：由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；解法二：过作于点，由面积比求得，进一步证得，即可求得；(ⅱ)当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同②解法一或解法二可得，即可求得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）①在中，由勾股定理得：．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②分两种情况：
(ⅰ)如图，当点在线段上时．
解法一：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解法二：如图，过作于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
(ⅱ)当在线段的延长线上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
同②解法一(如图)或解法二(如图)可得：
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
22．（2023下·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)3
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；
（3）点E在延长线上时，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．
【详解】（1），
理由如下：，
，
三角形为等边三角形，
，
点E为的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数；
(2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条双腰分割线；
(3)如图3，已知中，是三角形的双腰分割线，且；已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角定理和勾股定理，
根据给定的将分为和即可双腰三角形；
根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立；
过点A作于点E，由题意得，则有，设，在和中，利用勾股定理即可求得，进一步可求得．
【详解】（1）解：线段是的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图1；
（2）∵线段的垂直平分线交于点E，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的一条双腰分割线．
（3）过点A作于点E，如图，
∵，
∴，
设，
∵在中，，
在中，，
∴，解得，，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
