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各 位 老 师 ，
您 好 ！
以“点线面”铺就数学复习成功之路
章贡区教研室
罗斐锋
——从近三年江西中考试题谈初三复习备考方略
一、近三年江西省数学中考试题特点：
1、突出重点知识,引领落实“双基”—初中数学核心内容及主要思想方法是考查的重点，基础性的常规题是试题的主体．
2、密切联系实际、强化应用意识——有鲜明的生活气息和社会价值的应用性试题，考查力度平稳．
3、倡导开放探究，注重实践创新——开放探索与创新性试题是考试的热点．
4、引导多思、多想、多动，全面考查能力——能力立意试题仍是试题的主流．
1、图形变换问题:
（2007年）（第16题）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC=22.5 ，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45 的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【评析】本题一方面主要考查学生的空
间观念，另一方面还考查了学生的动
手操作能力，当学生的空间想象受到影
响时，可借助动手实践，从中发现在折
叠过程中不变量与变量的特点，找到与
45°角相等的所有角.
B
（2008年）第20题：如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处；
（1）求证：B'E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，
BF=c，试猜想a，b，c之间
的一种关系，并给予证明．
A
B
C
D
F
E
A'
B'
【评析】本题结合轴对称、全等变换与勾股定理等知识，较全面地考查了学生的动手操作、猜想探索与合情推理能力。该题既是一道开放探究题，又是一道实验操作题，解法多样，较好地体现了学生的思维深度．
2、动态问题:
（2007年）21题．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时， △BDE的
面积S有最大值，最大值为多少？
A
E
D
B
C
（2008年）16题：如图，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系： （0≤x≤5），
给出以下四个结论：①AF=2；②BF=5；
③OA=5；④OB=3．其中正确结
论的序号是 ．
【评析】这是一道创新性试题,考查学生思维的深刻性与批判性，它巧妙地把动点和函数结合在一起．本题看似难，其实很容易，只要抓住x=0和x=5这两种情况进行计算就行．
x
y
O
A
F
B
P
（第16题）
（2008年）第25题：如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）.
（1）当α=0°时（如图2所示），求x、y的值（结果保留根号）；
（2）当α为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此时x、y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”，当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出由点G运动所形成的大致图形.
（参考数据：
．）
α 0 15 30 45 60 75 90
x 0.03 0 0.29
y 0.29 0.13 0.03
【评析】这是一道鲜活的、融动点探索与 课题学习，几何计算与证明于一体的代数与几何综合性应用试题，题目借点的运动问题，考察了学生的空间直觉以及对正方形、正三角形、三角形全等、三角函数、 对称等有关知识的灵活运用能力．考题鲜活，需要学生具备较全面的数学素养，如画图过程中的类比、迁移能力．
A
H
F
D
G
C
B
E
图1
图2
B(E)
A(F)
D
C
G
H
A
D
C
B
图3
H
H
D
A
C
B
图4
3.网格问题：
(2006年)第9题：请在由边为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出一个
所有顶点均在格点上，且至
少有一条边为无理数的等腰
三角形。
【评析】这是一道网格题，它有别于以往常见的小正方形网格，而是以小正三角形网格形式出现，它很好地考查了无理数的概念及学生的几何变换能力，渗透了数形结合思想．
（2007年）24题．在同一平面直角坐标系中有6个点：
Ａ(1，1) ，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)， E(-2，-3) ， F(0，-4) ．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出
点D与⊙P的位置关系；
（2）若将直线EF沿y轴向上平移，当它
经过点D时，设此时的直线为l1．
①判断直线l1与⊙P的位置关系，并说明理由；
②再将直线l1绕点D按顺时针方向旋转，当它经过点C时，设此时的直线为l2 ．求直线l2与⊙P的劣弧CD围成的图形的面积（结果保留π）．
【评析】此题将圆的内容与图形的平移、旋转通过坐标、网格（热点）这个载体有机的结合在一起，考查的知识点多、面广，有梯度，解题方法多样，是一道综合性很强的题目，充分考查了学生的基本功是否扎实.
（2008年）第8题：下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
【评析】本题是一道网格题，考查了勾股定理和相似的判定．从本题可以看出网格题在考了多年后出大题已经考不出多少新意了，有可能会逐渐淡出中考大题的舞台．
（第8题）
A．
B．
C．
D．
4. 开放性问题 ：
（2007年）19题．如图，在正六边形ABCD中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；
（2）选择（1）中的一个结论加以证明．
M
N
A
F
E
D
C
B
【评析】本题将合情推理与演绎推理有机结合在一起，考查学生通过观察思考后，提出猜想，进而再加以论证。同时以开放的形式为学生提供了各自的展示平台，关注了学生对空间与图形的重点知识——特殊四边形的性质的不同认识。
（2008年）第23题：为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈，让他们看了一眼后迅速说出圈内有多少个汉字，但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：
（1）观察、分析上图，写出三条不同类型的正确结论；
（2）若对甲、乙两同学进行第6次测试，
①请你用统计知识分别预测他们估计字
数的偏差率（从一个角度预测即可）；
②若圈出的实际字数为100，请根据①中预测
的偏差率，推算出他们估计的字数所在的范围．
偏差率的计算公式：
例如，圈内实际字数为80个，某同学估计的实际字数为65个时，偏差率为
显然，偏差率越低，字数估计能力越强．
20
偏差率（％）
第1次
15
10
5
0
第2次
第3次
第4次
第5次
次数
甲同学
乙同学
【评析】这是一道鲜活的开放性统计类阅读理解题，要求学生能结合图文两方面的信息，分别从同一折线与不同折线上提取信息并进行比较、估计与综合分析，以获取有用的信息．本题全面而灵活的考察了学生运用统计知识进行综合分析、提取、处理信息的能力，考察了学生的数学应用意识．同一条折线上提取信息时可从最大、最小值，平均值、极差等角度考虑；从不同折线上提取信息时可从变化趋势、某种明显的差异性表现得出结论。
5.应用性问题：
（2006年）第24题：小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人,a﹥8），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（含a的代数式表示？）
（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移
到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口
所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口
所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其
它因素）。
【评析】本题以考生所贴近的学校生活为背景，创设似真的问题情境，关注数学与生活的联系，考查学生分析问题与解决问题的能力．它考查的主要知识是“数与代数”中的核心内容----用代数式表示一个量，用不等式表达生活中的不等关系和将实际问题转化为数学问题的建模能力．
、
（2008年）第21题：甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，
甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请
问哪位同学获胜？
【评析】本题把一个常规的数学问题放在
一个很有生活气息的背景中，较好地体现
了“问题情境-建立模型-解释应用”的数学学习方法；考查了学生进行综合分析与提取信息，并将实际问题转化为数学问题的能力。此题可从时间、速度等角度入手来加以解决,但过多的文字描述易让学生模糊从而造成不必要的失分，同时题目中未强调弯道长度忽略不计．如果把图用水平方向的直线图表示，同时相关信息设制为甲、乙两位同学的对话内容，一句话提供一个相关信息，这样学生就能更好把握题意．
P
30米
l
6. 探索性问题
（2008年）第18题： 如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（，0），C（1，0）三点坐标．
（1）若点D与三点A，B，C构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；
（2）选择（1）中符合条件的
一点D，求直线BD的解析式．
【评析】本题是一道探索性试题，考查了平行四边形的性质、判定，一次函数有关知识及数形结合思想．
y
x
A
C
B
2
1
1
2
O
（2008年）第22题：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β.
（1）当α=35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的
关系，并给予证明.
【评析】本题是个典型的中档题，以几何核心知识为载体，重点考察了圆心角与圆周角知识，综合考察了学生观察联想，证明等合情推理和演绎推理能力．解题方法多种多样（体现在辅助线的不同做法），给学生思维提供了很大的展现平台，体现了由特殊到一般的数学思想.
二、今年中考复习备考方略：
（一）抓中考数学命题走势的几个“点”
点1、把握重点知识，凸现思想方法
点2、根植现行教材，突出思维提升
点3、延拓传统题型，开发创新题型
点4、挖掘课题学习，培养动手能力
点5、关注新增内容，体现应用数学
点1、把握重点知识，凸现思想方法
近年来中考数学命题改革的又一个发展趋势是：除了着重考察学生的基础知识外，还十分重视对数学思想方法的考察．试题几乎设计了初中阶段课程标准要求的各种数学思想，内容丰富，形式多样． 如：转化的思想、分类思想、方程的思想、数形结合思想．
例1、如图所示，有一长为8cm，宽为4cm，高为5cm的长方体盒子，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？
A
B
★数学转化思想－－立体图形转化为平面图形（如：展开图、截面图、三视图等）．
★数学分类思想－－蚂蚁的路径的几种情况分析（注意分类原则：不重也不漏）．
★勤思考敢质疑－－大胆思考，敢疑乐问；要有“不唯师”、“不唯书”的批判精神．
★学习数轴、直角坐标系中的有关知识
——着重渗透数形结合思想；
★学习代数——渗透用字母表示数的思想；
★学习求代数式的值——渗透整体思想和配方法的使用；
★学习解方程组 ——渗透转化思想；
★研究方程ax=b的解——渗透分类讨论思想；
点2、根植现行教材，突出思维提升
通常对例题作以下七种变形： （1）改变题型； （2）改变条件或结论； （3）改变图形的位置； （4）改变问题的情境； （5）改变解题方法； （6）改变数字、改变符号； （7）类比、引申、拓宽.
例2、（课本原题）某校墙边有甲、乙两根木杆．
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（用线段表示影子）（课本P111）
（2）在图中当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？
点3、延拓传统题型，开发创新题型
将传统的、典型的试题进行创新和整合，改编成阅读理解题、探索性试题，采用“动”与“静”结合、“特殊”与“一般”结合等手法，变换设问的方式，让学生去探索事物的存在性或规律性，考查学生思维的创造性．成为中考数学命题改革的一个热点．
课本中例题改编题
例3、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
点4、挖掘课题学习，培养动手能力
突出“数学教学”实质是“数学活动的教学”，既包含了“数学”，又凸现了获得结果的“活动”，体现了过程与结果的统一．
点5、关注新增内容，体现应用数学
江西省近3年中考试题，都精心设计了对新增内容——视图与投影、图形与变换及概率的考查，特别是加大了对应用问题的考查力度。 这些应用题的情境具体，有鲜明的生活气息和时代特色，其背景、取材和考查角度都较新颖．其中有奥运门票预订的计算问题、统计中的方案与决策问题、学校食堂排队买饭中的代数式与不等式问题、托球赛跑游戏中的方程问题、扑克牌中的概率问题等．
“四基”的教学
★促进学生理解数学的基础知识；
★训练学生掌握数学的基本技能；
★启发学生领会数学的基本思想；
★帮助学生积累数学的基本活动经验．
（二）抓中考数学“四基”复习的几条“线”
线1、把握时间流程线
线2、架起知识间联系线
线3、归纳方法形成线
线1、把握时间流程线
★6月17日中考，6月初就要结束复习； ★三个半月左右的复习时间，共15周， ★减去法定节假日约一周，只有14周时间.
复习一般都分成三个阶段： 全面复习 专题训练 模拟强化
第一阶段：全面复习——依“纲”据“标” 夯实基础 沟通联系 考虑按以下步骤进行：
课前自主复习——课堂讲练结合——课后精简作业——自习反馈矫正
做到：“三抓三化四过关”.
★ “三抓”是：抓基本概念的理解和认识；抓公式、定理的熟练和应用；抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用.
★“三化”是：基础知识系统化；基本方法类型化；解题步骤规范化.
★“四过关”是：能独立证明书中的重要定理；能独立求解书中的典型例题；能弄清书中的主要作业；能掌握书中的基本思想方法和基本解题方法.
第二阶段：专题训练——把握重点抓住考点 训练思维考虑设置以下专题训练
（1）知识综合型专题：代数综合问题（方程、不等式与函数），几何综合问题（三角形四边形、几何变换），几何代数综合性问题． （2）重点题型突破：规律探索性型、开放探究型、实验与操作型、方案设计型、阅读理解型、图表信息型、学科综合型、实际应用型． （3）数学思想方法专题：主要数学思想有：方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、统计思想、整体思想等；常见解题方法有：待定系数法、定义法、列举法、归纳法、割补法、消元法、配方法、换元法等．
做到：
（1）重视知识的综合，尤其是横向联系，教学要有深度；
（2） 重视合情推理能力、动手实践能力和创新意识的培养；
（3）突出数学思想与解题方法；
（4）密切关注社会热点问题，强化应用．
第三阶段：模拟强化
这一阶段的重点应放在三个方面：
★思想方法的提炼；
★模拟考试的讲评；
★学生心理素质的调整，
以达到以下三个目的： ★基本内容的再次覆盖与重点强调. ★解题能力的实际检验与强化提高. ★考试经验的具体积累与不断丰富
线2、架起知识间联系线
明确：基础知识 ☆数与代数：数与式、方程与不等式、函数及其图象. ☆空间与图形：图形的认识(三角形、四边形、圆、基本几何体等)、图形与变换(轴对称、中心对称、平移、旋转、相似等)、图形与坐标、图形与证明. ☆统计与概率：统计(抽样调查、基本统计量、基本统计图、合理判断等)、概率(用列举法、 计算概率等).
基本技能
计算、作图、推理、统计观念、空间观念、应用数学解决问题等.
基本思想方法
转化的思想、函数的思想、方程的思想、数形结合、分类讨论、配方法、换元法、待定系数法等.
基本活动经验：
观察与实验活动、猜测与验证活动、推理与交流活动、自主探究活动等．
数学知识内容之间的联系
★数与式之间的联系.
★数与形之间的联系.
★方程、不等式、函数之间的联系.
★图形的性质、位置关系与图形变换之间的联系.
★统计知识与统计方法之间的联系
树状图法：用树图将“数与代数”的内容编织成知识网络为：
用树图将“方程”的内容编织成知识网络为：
概念：定义、方程（组）的解、解方程（组）、检验
分类：一元一次、二元一次组、二元一次、二元二次组
多元——消元：代入法、加减法、换元法
解法: 高次——降次：因式分解法、换元法
分式——去分母化为整式方程：最小公分母方程
无理——去根号化为有理方程：乘方、换元
找：相等关系，数学建模
设：直接、间接，带单位
应用 列：列方程，单位配套
解：解方程
验：解的合理性（适合方程、符合实际）
答：按问题回答
方程
知识分块：
复习圆的知识，分为六个部分进行：
◆圆的有关性质 ◆直线和圆 ◆三角形和圆 ◆四边形和圆 ◆多边形和圆 ◆圆和圆．
复习二次函数的知识 ，分为七个部分进行：
☆二次函数的定义、图像和性质 ☆二次函数与一元二次方程 ☆抛物线与直线 ☆抛物线与双曲线 ☆抛物线与三角形 ☆抛物线与四边形 ☆抛物线与圆．
线3、归纳方法形成线
例如：在讲几何图形中的计算问题时，常常在直角三角形中来解决．
（三）抓中考数学复习工作中的几个“面”
面1、开发数学复习的有效方法
面2、培养学生良好的数学素养
面3、聚集全体数学教师的智慧
面1、开发数学复习的有效方法
(1)由厚到薄 — 构建知识网络
※如1：解直角三角形的复习可浓缩为“1234”： 1－三角函数的定义 2－两种类型（由边求角、由角求边） 3－三个关系（平方关系、倒数关系、商的关系） 4－四个沟通（边与角的沟通、函数与几何的沟通、代数与几何的沟通、特殊三角形与一般三角形的沟通）．
※如2：整式的加减复习，可浓缩为“341”：
3－三式（单项式、多项式、整式） 4－四数（系数、次数、项数、常数） 1－一法则（合并同类项法则）
※如3：整式的乘除复习时可浓缩为“12345”． 即：一个方法，两种运算，三个公式，四个性质，五个法则．
※如4：在复习幂指数时可浓缩为“353”． 即：三种幂的意义、五种运算法则、三个易错点．
(2)变化形式 — 提高课堂效果
常见方法有：
①常规法；
②边讲边练法；
③先练后讲法；
④讨论探索法；
⑤小组竞赛法；
⑥相互出题法；
⑦同学解题方法展示法.
(3)分层要求 — 提升解题质量
作业布置要注意以下几点：
（1）阶段性：
（2）形式多样性：
①总结归纳性作业；
②练习题形式作业；
③置疑性作业;
④设计性作业；
⑤阶段性反思作业．
（3）分层作业：
测试题应突出以下特点：
①有重点，有针对性；
②有层次、有梯度；
③灵活多样；
④介入新题型；
⑤滚动考查存在问题；
⑥设定为100＋A、B、C等级制；
⑦及时反馈检测．
面2、培养学生良好的数学素养
要求学生按照四个步骤来解题：
审题：已知是什么？求证或求解的问题是什么 思考：需要用哪些数学知识和思想方法去解决 问题？本问题有几种方法解 哪种方法较简便 求解：格式规范,表达清楚,书写整洁,步步有据. 反思：本题解法中是否有不合情理的地方 它与哪些
题有联系 有哪些联系 有没有规律性的东西
是否发现新的结论
面3、聚集全体数学教师的智慧
1.备课组加强备课 2.科学合理分配任务 3.资源共享 教研组老师整体协作 将复习内容落到实处 充分调动学生积极性
“长风破浪会有时，
直挂云帆济沧海”，
让我们聚力图强， 共创中考新辉煌.以“点线面”铺就数学复习成功之路
——从近三年江西中考试题谈初三复习备考方略
赣州市章贡区教研室 罗斐锋
一、近三年江西省数学中考试题特点：
1、突出重点知识,引领落实“双基”—初中数学核心内容及主要思想方法是考查的重点，基础性的常规题是试题的主体。
2、密切联系实际、强化应用意识——有鲜明的生活气息和社会价值的应用性试题，考查力度平稳。
3、倡导开放探究，注重实践创新——开放探索与创新性试题是考试的热点。
4、引导多思、多想、多动，全面考查能力——能力立意题仍是试题的主流。
：一组中考题赏析
1、折叠问题:
（2007年）第16题：．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【评析】：本题一方面主要考查学生
的空间想象能力，另一方面还考查学
生的动手操作能力，当学生的空间想
象受到影响时，可借助动手实践，从中发现在折叠过程中不变量与变量
的特点，找到与45°角相等的所有角。 （答案B）
（2008年）第20题：如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处；
（1）求证：；
（2）设，试猜想之间的
一种关系，并给予证明．
【评析】本题结合轴对称、全等、勾股定理等知识，较全面地考查了学生的动手操作能力、逻辑思维能力及猜想探索与合情推理能力。
此题有多种解法，充分发挥了一题多解的优点，能很好地体现学生的思维深度。
2、动点问题:
（2007年）21．如图，在中，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
（1）求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
（2008年）第16题：如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_ 。
【评析】这是一道非常鲜活的题目,考查学生思维的深刻性与批判性，它巧妙地把动点和函数结合在一起。本题看似难，其实很容易，只要抓住x=0和x=5这两种情况进行计算就行。
（2008年）第25题：如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）。
（1）当α=0°时（如图2所示），求x、y的值（结果保留根号）；
（2）当α为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此时x、y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
0.03 0 0.29
0.29 0.13 0.03
（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”，当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出由点G运动所形成的大致图形。（参考数据：．）
【评析】这是一道创新性试题，题目借运动问题考察了学生对正方形、正三角形、三角形全等、三角函数等有关知识的掌握情况。考题灵活，需要考生牢固掌握、灵活运用基础知识，通过观察、比较、分析、联想、概括、推理、归纳等一系列的探索活动，寻求隐含的条件或结论。
3.网格问题：
(2006年)第9题：请在由边为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形。
它是一道网格题，有别于以往见多的小正方形网格，而
是小正三角形网格，它很好地考查了无理数的概念，
渗透了数形结合思想，增强了学生的几何变换能力。
（2007年）第24题：在同一平面直角坐标系中有6个点：
，，．
（1）画出的外接圆，并指出点与的位置关系；
（2）若将直线沿轴向上平移，
当它经过点时，设此时的直线为．
1 判断直线与的位置关系，
并说明理由；
2 再将直线绕点按顺时针方向旋转，
当它经过点时，设此时的直线为．
求直线与的劣弧围成的图形的面积（结果保留）．
【评析】此题将圆的内容与图形的平移、旋转通过坐标、网格（热点）这个载体有机的结合在一起，考查的知识点多、面广，有梯度，解题方法多样，是一道综合性很强的好题，充分考查了学生的基本功是否扎实。
（2008年）第8题：下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
【评析】本题是一道网格题，考查了勾股定理和相似的判定。从本题可以看出网格题在考了多年后出大题已经考不出多少新意了，有可能会逐渐淡出中考大题的舞台。
4. 开放性问题 ：
（2007年）19．如图，在正六边形中，对角线与相交于点，与相交于点．
（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；
（2）选择（1）中的一个结论加以证明．
【评析】这是一道优美的几何开放题，学生在解答开放性问题的
过程中能从不同的角度进行探索，从不同层面进行分析，克服思维
定势，此题较好地反映出不同层次的学生在认识平行四边形、矩形、菱形、直角梯形等特殊四边形时的思维层次。
（2008年）第23题：为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈，让他们看了一眼后迅速说出圈内有多少个汉字，但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：
（1）观察、分析上图，写出三条不同类型的正确结论；
（2）若对甲、乙两同学进行第6次测试，①请你用统计知识分别预测他们估计字数的
偏差率（从一个角度预测即可）；
②若圈出的实际字数为100，请根据①中预测的偏差率，推算出他们估计的字数所在的范围．
【评析】这是一道鲜活的开放性统计类阅读理解题，要求学生能结合图文两方面的信息进行综合分析，获取有用的信息，并能对信息进行必要的处理。本题全面而灵活的考察了学生运用统计知识进行综合分析提取信息的能力，考察了学生的数学应用意识。第（1）问可从两同学偏差率的变化趋势，平均偏差率及偏差率的极差等方面进行回答；第（2）问可从平均偏差率、偏差率的中位数、偏差率的变化趋势等角度进行预测；
5.应用性问题：
（2006年）第24题：小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人,a﹥8），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
（1） 此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（含a的代数式表示？）
（2） 此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其它因素）。
【评析】本题以考生所贴近的学校生活为背景，创设似真的问题情境，关注数学与生活的联系，考查学生分析问题解决问题的能力。它考查的主要知识是“数与代数”中的核心内容——用代数式表示一个量，用不等式表达生活中的不等关系和将实际问题转化为数学问题的建模能力。
（2008年）第21题：甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：
用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线
（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，
用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，
乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的
和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的
1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
【评析】本题把一个常规的数学问题放在一个很有生活气息的背景中，较好地体现了“问题情境-建立模型-解释应用”的数学学习方法；考查了学生进行综合分析、提取信息，将实际问题转化为数学问题的能力。此题可从时间、速度等角度入手来加以解决,但过多的文字描述易让学生模糊从而造成不必要的失分，同时题目中未强调弯道长度忽略不计。如果把图用水平方向的直线图表示，同时相关信息设制为甲、乙两位同学的对话内容，一句话提供一个相关信息，这样学生就能更好把握题意。
6. 探索性问题
（2008年）第18题： 如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（，0），C（1，0）三点坐标．
（1）若点与三点构成平行四边形，
请写出所有符合条件的点的坐标；
（2）选择（1）中符合条件的一点，求直线的解析式．
【评析】本题本题是一道探索性试题，考查了平行四边形的
性质、判定及数形结合思想。
（2008年）第22题：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，
点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB=α，
∠C=β。
（1）当α=35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明。
【评析】本题是个典型的中档题，重点考察了圆心角
与圆周角知识，考察了学生的猜想探索与合情推理能力。解题方法多种多样（体现在辅助线的不同做法），给学生思维提供了很大的展现平台，体现了由特殊到一般的数学思想。
二、今年中考复习备考方略：
（一）、抓中考数学命题走势的几个“点”
点1、把握重点知识，凸现思想方法
近年来中考数学命题改革的又一个发展趋势是：除了着重考察学生的基础知识外，还十分重视对数学思想方法的考察。试题几乎设计了初中阶段课程标准要求的各种数学思想，内容丰富，形式多样。
如：转化的思想、分类思想、
方程的思想、数形结合思想；
例1：如图所示，有一长为8cm，宽为4cm，高为5cm的长方体盒子，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？
数学转化思想－－立体图形转化为平面图形（如：展开图、截面图、三视图等）。
数学分类思想－－蚂蚁的路径的几种情况分析（注意分类原则：不重也不漏）。
勤思考敢质疑－－大胆思考，敢疑乐问；要有“不唯师”、“不唯书”的批判精神。
学习数轴、直角坐标系中的有关知识
——着重渗透数形结合思想；
学习代数——渗透用字母表示数的思想；
学习求代数式的值——渗透整体思想和配方法的使用；
学习解方程组 ——渗透转化思想；
研究方程ax=b的解——渗透分类讨论思想；
点2、根植现行教材，突出思维提升
通常对例题作以下七种变形：
（1）改变题型，
（2）改变条件或结论，
（3）改变图形的位置，
（4）改变问题的情境，
（5）改变解题方法，
（6）改变数字、改变符号，
（7）类比、引申、拓宽，
例2、（原题）某校墙边有甲、乙两根木杆。
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（用线段表示影子）（课本P111）
（2）在图中当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？
点3、延拓传统题型，开发创新题型
将传统的、典型的试题进行创新和整合，改编成阅读理解题、探索性试题，采用“动”与“静”结合、“特殊”与“一般”结合等手法，变换设问的方式，让学生去探索事物的存在性或规律性，考查学生思维的创造性。成为中考数学命题改革的一个热点。
课本中例题改编题
例3：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
点4、挖掘课题学习，培养动手能力
突出“数学教学”实质是“数学活动的教学”，既包含了“数学”，又凸现了获得结果的“活动”，体现了过程与结果的统一
点5、关注新增内容，体现应用数学
江西省近3年中考试题，都精心设计了对新增内容——视图与投影、图形与变换及概率的考查，特别是加大了对应用问题的考查力度， 这些应用题的情境具体，有鲜明的时代气息和社会价值，其背景、取材和考查角度都较新颖。其中有商品打折销售的问题、方案与决策问题、水笔销售的条形统计图的分析及计算、排队买饭中的代数式与不等式问题、托球赛跑游戏中的方程问题等。
“四基”的教学
促进学生理解数学的基础知识；
训练学生掌握数学的基本技能；
启发学生领会数学的基本思想；
帮助学生积累数学的基本活动经验。
（二）、抓中考数学“四基”复习的几条“线”
线1、把握时间流程线
6月17日中考，6月初就要结束复习；
三个半月左右的复习时间，共15周，
减去法定节假日约一周，只有14周时间。
复习一般都分成三个阶段：
全面复习 专题训练 模拟强化
第一阶段：全面复习——依“纲”据“标” 夯实基础 沟通联系
考虑按以下步骤进行：课前自主复习——课堂讲练结合——课后精简作业——自习反馈矫正
做到：“三抓三化四过关”.
“三抓”是：抓基本概念的理解和认识；抓公式、定理的熟练和应用；抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用.
“三化”是：基础知识系统化；基本方法类型化；解题步骤规范化.
“四过关”是：能独立证明书中的重要定理；能独立求解书中的典型例题；能弄清书中的主要作业；能掌握书中的基本思想方法和基本解题方法.
第二阶段：专题训练——把握重点抓住考点 训练思维
考虑设置以下专题训练
⑴知识综合型专题：代数综合问题（方程、不等式与函数），几何综合问题（三角形四边形、几何变换），几何代数综合性问题。
（2）重点题型突破：规律探索性型、开放探究型、实验与操作型、方案设计型、阅读理解型、图表信息型、学科综合型、实际应用型。
（3）数学思想方法专题：主要数学思想有：方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、统计思想、整体思想等；常见解题方法有：待定系数法、定义法、列举法、归纳法、割补法、消元法、配方法、换元法等。
做到：(1)重视知识的综合，尤其是横向联系，教学要有深度；（2） 重视合情推理能力、动手实践能力和创新意识的培养；(3)突出数学思想与解题方法；（4）密切关注社会热点问题，强化应用。
第三阶段：模拟强化
这一阶段的重点应放在三个方面：
思想方法的提炼；
模拟考试的讲评；
学生心理素质的调整，
以达到以下三个目的：
基本内容的再次覆盖与重点强调.
解题能力的实际检验与强化提高.
考试经验的具体积累与不断丰富
线2、架起知识间联系线
明确：基础知识
数与代数：数与式、方程与不等式、函数及其图象.
空间与图形：图形的认识(三角形、四边形、圆、基本几何体等)、图形与变换(轴对称、中心对称、平移、旋转、相似等)、图形与坐标、图形与证明.
统计与概率：统计(抽样调查、基本统计量、基本统计图、合理判断等)、概率(用列举法、 计算概率等).
基本技能
计算、作图、推理、统计观念、空间观念、应用数学解决问题等.
基本思想方法
转化的思想、函数的思想、方程的思想、数形结合、分类讨论、配方法、换元法、待定系数法等.
基本活动经验：
观察与实验活动、猜测与验证活动、推理与交流活动、自主探究活动等。
数学知识内容之间的联系
数与式之间的联系.
数与形之间的联系.
方程、不等式、函数之间的联系.
图形的性质、位置关系与图形变换之间的联系.
统计知识与统计方法之间的联系
树状图法：用树图将“数与代数”的内容编织成知识网络为：
用树图将“方程”的内容编织成知识网络为：
概念：定义、方程（组）的解、解方程（组）、检验
分类：一元一次、二元一次组、二元一次、二元二次组
多元——消元：代入法、加减法、换元法
解法: 高次——降次：因式分解法、换元法
分式——去分母化为整式方程：最小公分母方程 无理——去根号化为有理方程：乘方、换元
找：相等关系，数学建模
设：直接、间接，带单位
应用 列：列方程，单位配套
解：解方程
验：解的合理性（适合方程、符合实际）
答：按问题回答
知识分块：复习圆的知识，分为六个部分进行：
圆的有关性质
直线和圆
三角形和圆
四边形和圆
多边形和圆
圆和圆。
复习二次函数的知识 ，分为七个部分进行：
二次函数的定义、图像和性质
二次函数与一元二次方程
抛物线与直线
抛物线与双曲线
抛物线与三角形
抛物线与四边形
抛物线与圆。
线3、归纳方法形成线
例如：在讲几何图形中的计算问题时，常常在直角三角形中来解决。
（三）、抓中考数学复习工作中的几个“面”
面1、开发数学复习的有效方法
(1)由厚到薄 — 构建知识网络
例如1：解直角三角形的复习可浓缩为“1234”：
1－三角函数的定义
2－两种类型（由边求角、由角求边）
3－三个关系（平方关系、倒数关系、商的关系）
4－四个沟通（边与角的沟通、
函数与几何的沟通、
代数与几何的沟通、
特殊三角形与一般三角形的沟通）。
如2：整式的加减复习，可浓缩为“341”：
3－三式（单项式、多项式、整式）
4－四数（系数、次数、项数、常数）
1－一法则（合并同类项法则）
如3：整式的乘除复习时可浓缩为“12345”。
即：一个方法，两种运算，三个公式，四个性质，五个法则。
如4：在复习幂指数时可浓缩为“353”。
即：三种幂的意义、五种运算法则、三个易错点。
(2)变化形式 — 提高课堂效果
常见方法有：
①常规法；
②边讲边练法；
③先练后讲法；
④讨论探索法；
⑤小组竞赛法；
⑥相互出题法；
⑦同学解题方法展示法.
(3)分层要求 — 提升解题质量
作业布置要注意以下几点：
（1）阶段性：
（2）形式多样性：
①总结归纳性作业；
②练习题形式作业；
③置疑性作业;
④设计性作业；
⑤阶段性反思作业。
（3）分层作业：
测试题应突出以下特点：
①有重点，有针对拟题；
②有层次、有梯度；
③灵活多样；
④介入新题型；
⑤滚动考查存在问题；
⑥设定为100＋A、B、C等级制；
⑦及时反馈检测。
面2、培养学生良好的数学素养
要求学生按照四个步骤来解题：
审题：已知是什么？求证或求解的问题是什么
思考：需要用哪些数学知识和思想方法去解决
问题？本问题有几种方法解 哪种方法较简便
求解：格式规范,表达清楚,书写整洁,步步据.
反思：本题解法中是否有不合情理的地方 它与哪些题有联系 有哪些联系 有没有规律性的东西 是否发现新的结论
面3、聚集全体数学教师的智慧
1.备课组加强备课
2.科学合理分配任务
3.资源共享
教研组老师整体协作
将复习内容落到实处
充分调动学生积极性
“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”，
让我们聚力图强，力争中考创造佳绩。
（第16题）
A
B
C
D
F
E
A
E
D
B
C
x
y
O
A
F
B
P
（第16题）
A
H
F
D
G
C
B
E
图1
图2
B(E)
A(F)
D
C
G
H
A
D
C
B
图3
H
H
D
A
C
B
图4
（第8题）
A．
B．
C．
D．
M
N
A
F
E
D
C
B
偏差率的计算公式：
．
例如，圈内实际字数为80个，某同学估计的实际字数为65个时，偏差率为．显然，偏差率越低，字数估计能力越强．
20
偏差率（％）
第1次
15
10
5
0
第2次
第3次
第4次
第5次
次数
甲同学
乙同学
P
30米
l
y
x
A
C
B
2
1
1
2
O
A
B
实数 有理数
数与式 无理数
代数式 整式
分式
数与代数 一元一次方程
二元一次方程组
方程 一元二次方程
方程与不等式 分式方程
不等式 一元一次不等式
一元一次不等式组
一次函数
函数 反比例函数
二次函数九年级学生数学学习情况调查试卷参考答案
一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
1、 A． 2、B． 3、D． 4、C． 5、B．
二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
6、 7、(Ⅰ)2011；(Ⅱ) ＞ ； 8、②、③、④．
详解:如T8借助一次函数中自变量x的两个端点值，
去研究图形中d对应的两条线段，即：
；
；得出这两个结论后，再结合图形求得OA=5，利用勾股定理可得OB=4，这是一道研究性学习的好题；
另外作为老师，你会猜测图像是椭圆吗？若过点P（x ，y）作PH⊥OA ，则FH=，
, PH= y ；由勾股定理得： 变形得：
即：化简得：故这是一个以x轴为长轴，y轴为短轴，焦点为F1（-3，0）、F2（3，0）的标准椭圆．
三、（本大题共2题，每题10分，共20分．）
9、解：原式= …………………………………… 4分
= …………………………………………………… 7分
当时，=2 ． …………… 10分
点评：看似简单的分式的约简、通分加减、代入求值（简单二次根式的有理化），恰是九年级学生失分出乎预料的地方；狠抓“基本计算、基本技能”千万不要变成了一句空话！
10、画出全部正确的3个图形，给10分；若不全对，每对一个给3分. 给出十六个参考图案；
点评：可能部分学生会在第10题上审题不清，题目要求涂黑三个空白的小正方形，使整个正方形及图案成为轴对称图形，也就是说此图画出来、要满足三个要求；但有的学生只涂黑了两个正方形，或者涂黑之后仅满足图案是轴对称图形。
四、（本题16分．）
11、（1）C ；……………… 4分 本题第二问，需从三条直线中优先探究出符合条件的一条！
（2）根据要求及对图形的观察，直线E′ F满足要求k＞0，b＞0，……………… 6分
过E 作E K⊥y轴于K，∵E（，2），KE=，又∵∠KFE=60°，
在Rt△EKF中，tan60°=， FK=1， ∴点F（0，3）； …………………… 9分
又有（，-2），设直线E′ F的解析式为，则…… 13分
解得…………… 15分；直线E′ F的解析式为． ………… 16分
五、（本题18分．）
点评：本题是一道统计题，它结合学生熟悉的现实背景“气温统计与估算”，再增添一个新的统计量“月平均气温”，构成了一道立意新颖与有趣的统计开放题．主要考查学生利用频数折线统计图所反映出来的统计量及变化趋势，来考查对两个城市四月份的平均气温的估计的方法与能力。从试题的形式上看，赋予了学生一定的答题自由度，有利于学生展示对统计图、统计量等知识的认识．
解：（1）由图表知，K市日平均气温的最小值是4℃，J市日平均气温的最大值是24℃；…4分
（2）本月中日平均气温在14℃以上的天数，K市有7天、J市有22天；………………… 8分
（3）本月中J市的日平均气温较高；………………………………………………………… 12分
因为日平均气温在14℃以上的天数，
K市这个月仅占23.3%，而J市这个月占73.3%. ……………………… 16分
(或计算,
.)
六、（本题16分．）
解：（1）如图,篮球出手点A坐标（0，），
最高点B坐标（4，4）；………………… 4分
可设抛物线解析式为，
代入A（0，）得：； ……… 8分
因此篮球抛物线的解析式为 ……………………………………………… 9分
（2）检验篮圈中心点C（7，3）是否在篮球抛物线上？………………………………… 11分
当x =7时，因此此球准确投中！…………………… 14分
（3）小明拦截盖帽点处于点（1，2.9），能否拦截成功？ …………………………… 16分
看此点是否阻挡了篮球飞行线路；
检验：当x =1时，； ……………………… 18分
即篮球飞行线路高于小明拦截盖帽点，则他没能获得成功！ ……………………………… 20分
点评：在直角坐标系中，建立二次函数、抛物线的数学模型，是解决本题的关键所在．还有就是联系实际再现情境、理解最高点的含义，辨析已知、验证结果！本题是一道有着优美情境的、好的应用题！
赣州市教研室 林望春 linwangchun@ ( mailto:linwangchun@ )
一组可供复习选用的好的数学问题参考答案
一、选择题：
1、C； 2、B； 3、C； 4、A； 5、D．
二、填空题：
6、；7、点A、B、C成了的三等点，∠P=30°；
8、虽然小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，然而线段却是绕点顺时针自转，线段转过的角度为240度．
9、参考答案如下图（画对一种得2分，画对第二种再得1分）：
点评：第一种、第二种解法都是从纯几何的角度来完成的：第一种是轴对称分割成全等图形；第二种利用中心对称的图形特性来分割的，具有较高的几何方法特性；然而利用原图形面积数值的特性和图形的特征，从另一个代数计算的角度来分割，即代数方法解决几何问题，不失是另一种好方法；看！多有趣啊！
10、②、④、⑤．从易到难考查了数轴上点的特征，并结合对称点性质更容易解决问题！
三、简答题：
11、解：(1)解得不等式组为 ……… 2分； 即……… 3分；
从而不等式组的解集为…………………………………… 4分
(2)从不等式组解得 ……… 5分；要得到解集为就必须 ……… 7分．
12、解：
（链接几何画板，动画模拟演示） ( 直角三角形旋转0903.gsp )
（2）由几何画板演示可知：
点评：解答旋转问题的关键是：1、找准物体的旋转中心和旋转的角度；2、在求解较复杂图形的面积时要注意观察图形的特征，会进行图形的割补组拼！
四、开放、探究题：
13、解：（1）点P会有6次蜂鸣声； …………………………………………… 2分
（2）点P的示意图如下；
∵ B P1 =BD=，∴点P1的坐标为P1（，0）； ………………… 3分
∵ B P2 =BC=2，∴点P1的坐标为P1（4，0）；……………………………………… 4分
∵ OP3 =AC=，∴点P3的坐标为P3（，0）； ………………………… 5分
∵ 点 P4 就是点B，∴点P4的坐标为P4（2，0）； ……………………………… 6分
∵P5 D = P5 C=，∴点P5的坐标为P5（1，0）； ………………………………… 7分
∵点 P6 就是点A，∴点P6的坐标为P6（0，0）； ……………………………… 8分
每正确写出一点的坐标得一分。
（共构成△BDP1，△CAP2，
△BCP2，△ACP3，△CDP4，
△DAP4，△CP4A，△CDP5，
△BP6D，△DCP6，△BCP6
十一个等腰三角形。）
14、（1）证明：∵P、E分别为BC、BD的中点， ∴PF＝CD； ……………… 1分
同理：PE＝AB；又∵AB＝CD，∴PF＝AB， …………………… 2分
∴AB＝PE＋PF； …………………………………………………… 3分
（2）答：成立AB＝PE＋PF； ………………………………………………… 4分
证明：延长PE交AD于G
易证：四边形ABPG为平行四边形；
可证：△AEG≌△BPF； ………………………………………… 5分
∴EG＝PF，
∴AB＝PG＝PE＋PF； ………………………………………………… 6分
（3）答：AB＝PF－PE ． ………………………………………………………… 8分
五、实际应用题：
15、解答一：设每盏灯的进价是x元，则第一次的购买数是，第二次的购买数是；依题意得：．
化简得： 去分母得：．
解得：，经检验（元）是原方程的解．
答：每盏灯的进价是元．
解答二：设第一次的购买节能灯是，则第二次的购买数是，且单价；依题意得： 去分母、化简得：
，解得：，经检验（盏）是原方程的解，则单价为每盏10元．
答：每盏灯的进价是10元．
六、综合、压轴题：
16、解：(1)过点B作，垂足为D，
∵
∴
又∵
∴△≌△, ………………………………………………………………… 1分
∴==1，==2； ………………………………………………………… 2分
∴点B的坐标为（-3，1）； …………………………………………………………… 3分
（2）抛物线经过点B(-3,1)，则得到，………… 4分
解得，所以抛物线解析式为； ……………………………… 5分
（3）假设存在P、Q两点，使得△ACP是直角三角形：
①若以AC为直角边，点C为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作,
∵1=，，；∴△≌△
∴==2, ∴==1, 可求得点P1（1，-1）； ………………………… 7分
经检验点P1（1，-1）在抛物线上，使得△是等腰直角三角形；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作,且使得,
得到等腰直角三角形△,过点P2作，同理可证△≌△；
∴==2, == 1, 可求得点（2，1）；………………………………… 9分
经检验点（2，1）也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形．
17、解：（1）过作于交于，于．
，，（链接几何画板，动画演示轨迹） ( 2008年江西省数学中考25题.gsp )
，．
，． 2分
（2）当时，点在对角线上，其理由是： 3分
过作交于，
过作交于．
平分，，．
，，．
，．
，．
即时，点落在对角线上． 4分
方法一：，．
在中，，．……5分
．………………………………………………………………………6分
0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50
0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13
（3）
…………………8分
（4）由点所得到的大致图形如图所示：
…………………10分
点评：这是一道典型的几何图形（△EFG）运动的动态几何题，自然流畅和谐；渗透着坐标化思想来刻画点的运动轨迹，是课题学习和探究新知的典型样板，考查学生数学学习的潜能，为后续学习留下伏笔！解决此类问题：一是要抓住几何图形在运动过程中的形状和大小的旋转不变特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同状态下的共同特性，利用中心对称与轴对称变换展开联想，猜想新的结论，形成数学探究的思想方法。本讲座两次的解答，借用多媒体课件演示动画过程，化抽象为具体直观，解决和发展学生的空间观念，充分展示现代教育技术的先进性和科学性；也在此鼓励与倡导教师学习现代教育技术，提高课堂教学的有效性！
江西省赣州市教研室 林望春
欢迎批评指正！谢谢！
2009年3月22日
B(E)
A(F)
D
C
G
K
M
N
H
A
D
C
B
H
E
I
P
Q
G
F
J
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7不同类型的学生需要不同的教育和学习方法（提纲）
——兼谈江西省2009年数学中考复习策略
赣州市教研室 林望春
linwangchun@ ( mailto:linwangchun@ ) 13970766886
一、引言：
教育案例：有位家长带着读初一的女儿去作教育心理咨询：我这女儿听到过的东西一遍就能记住，上课老师讲的东西就能记住，但背课文很慢、数学公式老记不住，你说怪不怪？究竟是什么原因？
家长例举的这个案例并不奇怪，因为她属于典型的听觉学习型，听觉注意力和听觉记忆力很强，善于倾听，听过就能记住，但视觉注意力和视觉记忆力很弱，看过的东西不容易记住。
研究发现，人的学习类型分为：视觉学习型、听觉学习型、听觉·视觉综合学习型、视觉·运动综合学习型、视觉·触觉综合学习型等。视觉学习型：喜欢看，视觉注意力视觉记忆力都非常棒，看过就能记住，做作业考试比较细心认真，但听课效率不够高；听觉学习型：喜欢听，听过就能记住，听课效率相对较好，但在背课文、记单词方面则较弱，容易看错题、看错数字、符号，甚至漏看漏做题等；视觉听觉综合型，则视觉听觉注意力记忆力平衡发展，两种感官参加识记，听课、学习效果较好；视觉·运动综合学习型，在学习时喜欢配上一些动作，如摇头晃脑地读书背书、边走边看书、做作业考试时喜欢转笔等等；视觉·触觉学习型，喜欢东摸摸西摸摸，什么都想用手去感知，喜欢做实验，做到摸过的就特别容易理解，容易记住。
在此案例中，教育心理专家给这位女生做了全面的学习能力和学习类型测评，发现她听觉注意力记忆力超强，而视觉注意力视觉记忆力超弱。于是帮助她的方案是：一方面有针对性地进行视觉注意力和视觉记忆力强化训练，一方面是一边听录音，一边英语单词或英语课文，听和看相结合来提高背课文、背单词的速度。经过40多天的训练，这位家长打电话告知：孩子背课文、记单词的速度快多了，平时做作业看错、写错现象也减少，月考成绩明显进步。
所以，了解孩子的学习类型，指导孩子用适合自己学习类型的学习方法来学习，对提高学习效率和学习成绩很有帮助。
二、尝试进行“学生教育学习方法问卷、学科测试综合调查”
三、数据、试题的信息的收集整理，得出一般性的几条结论：
四、一组可供复习选用的好的数学试题
五、九年级数学总复习的几点思考
二、九年级学生数学学习情况调查试卷
第一部分：问卷（以第一人称作答） 完成时间： 20 分钟
亲爱的同学，请你如实地完成下面的问卷和试题；我们将用于教育科学与心理学调查，并不针对你或老师进行评价，谢谢你的合作。
1、我是（ ）
A、男生 B、女生
2、我觉得数学（ ）
A、非常有趣 B、比较有趣 C、不怎么有趣 D、枯燥无味 G、其它： .
3、我对我的数学老师喜好程度？①初一时（ ）；②初二时（ ）；③初三时（ ）．
A、非常喜欢 B、比较喜欢 C、一般 D、不喜欢
E、原因是：① ；② ；③ .
4、在初中三年各阶段，我的数学学习成绩（ ）
A、总是处于上游 B、多数处于中上游 C、多数处于中游
D、多数处于中下游 E、多数处于下游
5、在初中数学学习过程中，老师或家长对我的态度是（ ）（可以填两项）
A、经常鼓励我 B、很少鼓励我 C、经常批评我
D、经常帮助我 E、很少帮助我 F、很少关注我
G、其他: .
6、上课前，您会提前预习、并提出问题吗？（ ）
A、经常预习并提出问题 B、只是提前翻翻看看
C、老师布置预习才去看看 D、老师教到哪看到哪
7、您习惯查找与书本知识相关的资料吗？（ ）
A、在预习的时候找 B、有兴趣的时候找
C、老师布置才找 D、没有条件，一般不找
8、您参与课上讨论的情况是（ ）
A、经常参加 B、有时参加 C、偶尔参加 D、没兴趣参加
9、我对自己性格特点的描述是（ ）（选两项）
A、我活泼好动 B、我比较内向，喜欢独处 C、我喜欢与同学在一起
D、我的好胜心很强 E、我的好胜心较强 F、我常规性地完成任务
G、其它： ．
10、在学习过程中 ，我经常性的表现是（ ）
A、喜欢思考问题, 经常向老师、同学或家长提出自己的一些问题或想法
B、有人向我提问题我就想，没有人向我提问题我就不想
C、数学问题比较难，我不愿动脑筋想问题 Ｄ、其它： ．
11、学习中遇到问题时，我通常是（ ）
A、先独立思考，力求自己解决 B、久想不能解决后，就去问老师或其他同学
C、不愿多想，就去请教老师、同学或家长 D、自己解决不了就算了
E、其它： ．
12、做错的作业，您每次都会重新再做一遍吗？（ ）
A、一定会 B、大部分时间会 C、偶尔会 D、从来不会
13、在上课时，您习惯采用那种方式做笔记 （ ）
A、不停地记笔记，课后再复习 B、认真听老师讲解，偶尔记笔记
C、不听老师讲解，自己看书学习 D、只听老师讲解，从不记笔记
14、进入初三总复习学习后，我对学好数学 （ ）
A、很有信心 B、比较有信心 C、信心提高了 D、信心不足 E、没有信心
15、对于数学学习，你很想对科研命题部门、学校、老师、自己或家长说几句心里话是：
，
，
，
；
。
赣州市教科所、教研室 初中数学组
2009年2月~3月
第二部分：九年级数学测试卷 （满分值120分，完成时间60分钟．）
温馨提示：①解答下面的试卷，以数学中考时的试题量、时间量的一半来模拟测试；②解答时首先仔细审题，其次理解每题的相关知识及解题程序，最后提升至用数学思想方法来解决问题。
一、选择题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．）每小题有且只有一个正确选项，
请将正确选项的代号填在题后的括号内．
1．计算的结果是（ ）．（2008年江西省中考第4题）
A．12 B．4 C．2 D．
2．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）．（2008年江西省中考第8题）
3.已知反比例函数的图像如图，则它关于y轴对称的图像
的函数关系式为（ ）．（2009年江西省样卷）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，以点P（2，3）为圆心，3为半径的⊙P 必定（ ）．
A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相交，与轴都相离
C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相离，与轴相交．（08年南昌第8题，变式）
5. 小明早晨从家里出发跑步晨练，他不间断的匀速跑了20后回到家．已知小明在整个晨练途中，他出发后t min时，他所在的位置与家的距离为s km，且s与t之间的函数关系的图像如图中的折线段OA-AB-BC所示．则下列图形中可大致表示小明晨练的路线的是（ ）．
二、填空题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
6．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过右腰上一点，
沿与这条腰垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，
则四边形中，最大角的度数是 ．（08江西，变式）
7.（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）用“”与“”表示一种运算法则：（ab）= -b，（ab）= -a，如（23）= -3，则 ．（括号运算优先）（09年江西样卷）
（Ⅱ）用“>”或“<”号填空： 0．（可用计算器计算）（08年江西）
8．如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、
轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），给出以下四个结论：
①；②；③；④．其中正确结论的序号是
_ ．（可能有若干个正确答案，填对全部正确答案得满分；
漏填一个或两个答案的依次扣分；但多填错误答案的则判零分．2008年江西
中考第16题，补充评分要点）
三、（本大题共2题，每题10分，共20分．）
9．先化简，再求值：，其中．
10．如图是由4×4个小正方形组成的正方形网格图案，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法，分别在下图中用铅笔再涂黑三个空白的小正方形，使整个正方形图案成为轴对称图形．
(全画对给10分,若不全对每对一个给3分)（2009年1月江西赣州市统考题）
四、（本题16分．）
11．如图已知：△EFG与△均为等边三角形，且E（，2），（，-2），
问题：
（1）通过对图形观察，下列说法正确的是【 】
A、△EFG与△关于y轴对称；
B、△EFG与△关于x轴对称；
C、△EFG与△关于原点O对称；
D、以F、，、E为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）求同时满足下列两个条件的直线解析式：
（a）经过E、F、中的两点；
（b）所求直线y=kx+b中的k＞0，b＞0.
（2008年4月江西吉安市中考模拟题，由吉安永丰邓武高老师提供，有改动．）
五、（本题16分．）
12．下面的频数分布折线图，分别表示我国K市与J市在2007年4月份的日平均气温的情况:
观察统计图，并解答以下问题：（2008年5月江西赣州市中考适应考题．）
（1）在这个月中，K市的日平均气温的最小值是多少℃？J市的日平均气温的最大值又是多少℃？
（2）本月中日平均气温在14℃以上，K市与J市各有多少天？
（3）你认为本月中哪一个城市的日平均气温较高？请说明理由.
六、（本题20分．）
13、某中学一次篮球比赛中，如图，小明正在投篮，已知篮球A出手时离地面米，与篮圈中心点C的水平距离为7米，当篮球出手后水平距离到4米时，达到最高点B距地面4米；设篮球运动的路线为抛物线，篮圈中心点距地面为3米，如图建立坐标系．
（１）写出A、B两点坐标，并求此抛物线的函数表达式；
（２）问此球能否准确投中
（３）此时，若对方队员小华在小明面前１米处
（即球出手时的水平距离为１米）跳起盖帽拦截，
已知小华最大弹跳摸高2.9米；那么他是否能获
得成功？（2007年5月江西萍乡市中考模拟题，
由萍乡市教研室王美德老师提供，有改动．）
三、不同类型学生的教育、学习方法调查研讨
遵照江西省教研室喻汉林老师的工作布置和提供的资料与思路，赣州市教研室初中组设计了以上一份“不同学生的教育学习方法问卷、学科测试综合”调查卷，利用2009年2月底至3月初，针对我市新课标九年级应届毕业生，先后分层（城市、县级城区、农村初中）抽样调查、测试六个学校（赣州七中、赣州一中、赣州章贡中学、崇义章源初中、南康五中、赣县二中）各一个班级共约350名学生；要求前15~20分钟必须认真回答第一部分“学习、教育、心理问卷”问题之后，随后约60~70分钟完成数学学科测试卷；经过批阅试卷、统计问题答卷，得到一批数据与成绩，简述如下：
一、学科成绩统计：所抽测的350名(做了取整数处理)学生中，男生182人占52%，女生168人占48%；数学学科成绩数据列表如下：
抽测人数 均 分 及格率（≥72分） 优良率（≥96分） 尖优率（≥108分） 低分率（＜48分） 中间层（72~96分） 中下层（48~72分）
男：182人 63.55分 48.35% 25.82% 7.14% 23.63% 22.53% 29.12%
女：168人 58.46分 42.86% 13.10% 2.47% 32.72% 29.76% 24.42%
合计：350人 61.10分 45.71% 19.71% 3.14% 28.00% 26.00% 26.29%
启发：1、试卷的起点略高于中考试题，落点却低于一般意义上的中考试题；实施九年义务免费教育以来，初中学生的基础不容乐观（广大的初中学校，一般情况下初三上学期的节假日均没有补课）！一分两率不好，低分率偏高依然存在；初中学生的数学能力培养不仅仅是在总复习时，更多的是在平时的教学中！
2、平时的测验考试不分男女生、不详细分段统计，此次分层统计有了一些新的印记（当然本测试选取半套中考试题，试题分值较高，复习没有进行完毕一轮，多是下午第二三节课时抽测，…，有一定的偶然性不可排除；是否有代表性？有规律性！但仍然有一些发现是值得斟酌与思考的！）
3、从统计数据看出：如今的初中数学学习状况基本上属于优良生、中间层、中下层与低分后进生四分天下（估计农村乡镇初中不及格率还要更高一些），进入九年级（或总复习阶段）来适当分层教学不无道理，但是精神上的呵护、心理的调节与自信心的鼓励尤其显得重要！
4、试卷中的答题情况与我们的预想有许多的出乎意料！值得我们老师寻求原因？深思（待后叙述）！
二、问卷反映情况：针对学生的“学习、教育、心理问卷”答题之后，分题采集选项、归纳统计、整理分析得出以下一些启发和一般性结论：
启发1、与教师以下方面有密切的关联，程度依次是：教师的人格魅力与态度；教学方法与讲课特点；教师的敬业精神、外在感染力；教师的管理与评价；教师对学生的亲和力等；其他等。
启发2、与学生自身以下方面有较大的关联，它们是：学生的学习品质；学生的学习习惯；学生的学习能力；学生原有的学习数学的信心；家庭的亲情关爱、师生的亲和态度；数学的学习任务；对教师的喜好程度；其他等。
结论1：提升教师的自身修养，以自己的人格感染学生，以深入浅出的讲解吸引学生，以适合学生年龄特点的幽默感来激发学生，是赢得学生敬重、教好学生的重要法宝。
结论2：初中起始年级绝大多数对数学的学习是感兴趣的，为初中数学的学习提供了良好的兴趣准备；各年级的学习兴趣、自信心乃至于成绩有时又有起伏，一般与学生对教师的喜好程度、学习状态或家庭变化都有关联。
结论3：学生的数学学习成绩与教师或家长的关爱鼓励态度有较大的关联：一般意义上的成绩较好者受到的关爱与鼓励较多，成绩后进的学生受到的批评与压力大些，期待得到帮助的份额大。“好孩子是夸出来的”、“脆弱的禾苗需要多一份阳光与温暖”、“对孩子，多一份期许，少一分责备”等——教育铭言应带来家长与老师更多的行动。
结论4：积极的、正面的教育所占比例偏低，不少的学生生活在消极、负面的环境中，作为老师应当思考怎样改善这一状况，以帮助学生更好地成长。
结论5：“活泼好动”与“内向独处”是否是影响学生学业成绩的一个重要因素还难以确定；各种不同成绩的学生都有“期盼老师与同学亲近”的共同心理需求、心理倾向，老师应善于利用这一倾向来改善学生的学习、帮助学生成长；“好胜心的强弱”不是影响学习成绩的必然因素，但完全没有好胜心则是导致学习不良的一个重要因素。
结论6：“经常预习查找资料，经常参与课堂讨论、喜欢思考提问题”等等是非常可贵的学习品质，也是学好数学非常重要的因素，教师应当积极培养这一优良的学习习惯。
结论7：“上课听老师认真讲解，偶尔做好笔记”，“做错的作业，订正或重做一遍”是大多数学生的选择，初中数学教学常规有了较好地执行；踏踏实实做好了，一定有利于学生的数学学习。
结论7：“力求自己解决”或“向人请教”对于学好数学有积极的作用；“不愿多想”或“解决不了就算了”、“只听老师讲解，从不笔记”或“做错的作业从不会订正”，可能是造成学不好数学的一个非同小可的障碍；但“如何听讲与做笔记”，各人方法不完全一致，特别是“把做题、做作业看得比看课本、看书更重要”似乎值得深思，“学习的方法与思维能力如何培养形成”考虑太少。
结论9：测试成绩处于中游或中下游的学生中仍然有较一定比例的学生对数学的学习有信心，这是一个良好的现象；特别是“遇到一个耐心帮助自己的老师”、“总复习的基础问题搞懂了，信心倍增”等言语表达，表明进入总复习的好兆头。老师应充分发掘这一因素，帮助学生进步。学生的自信心与学习成绩上有较高但不是很高的关联。
结论10：同一批学生对不同的测验，可能会表现出不同的结果。在初中数学的评价中，不能以成绩论英雄，成绩不佳的学生中，其数学能力，或其他能力也可能是很强的，作为老师应未来的眼光、更全面的眼光来看待学生、公平地对待每一位学生，而不是扼杀、阻碍成绩不良学生的发展。
建议与心里话一栏，概括如下（一般是一个分号摘录学生一句话）：
1、科研命题部门:2009年的数学中考试题不要太难、太复杂了；我对数学是有信心、有优势的，中考数学可以出的活泼、新颖，但不能太难、文字量太多，我希望我的数学分数考出优势！科研部门命制的数学中考题应该适中一些，不要太难，要以基础题为主，一些从未见过的自创题一定不能太多……；数学试题是越来越难了，特别是函数题……；多出一些新而有趣的试题，以开发我们的思维，不要太难，让我们一看就放弃了！
2、学校要适当的搞一些活动：整个初三连一场电影都没看，也没有去过春游；学校布置作业时请均衡考虑，一天的周末发五、六张试卷，真的看不到做完的希望；希望学校老师多解决一些学生心中的“难题”……。
3、老师要与学生多交流，不要轻视后进生；数学教学不要太死板，应该把较难的题分给较好的学生做，把较容易的基础题分给稍弱的同学做，布置作业可以区别对待吗？写试卷时，我会紧张，我喜欢探究，却心情不静，我该怎么办？
4、我也真的很想学好数学，原因是我的基础太差，我将在总复习时补上基础，让数学不像以前那么差……；我想对自己说：尽管我的数学成绩一直不理想，但我不会轻易放弃，争取在总复习时更加认真、刻苦，中考临近啦，加油啊！
5、我的数学成绩一直不理想，爸妈叫我要考上重点高中，我自己也想考上，但这样的数学成绩能行吗？我经常扪心自问：我真的能行吗？我有很大的困惑！？老爸老妈，我会努力的!我知道您们外出打工很苦、付出很艰辛，我想以好的成绩来回报您……。
四、一组可供复习选用的好的数学问题
一、选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）每小题有且只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内．
1、下列说法不正确的是（ ）．
A．无理数一定是无限不循环的小数； B．；
C．满足的m的整数值是4； D．算术平方根最小的数是0．
2、正比例函数y＝k1x（k1≠0）和反比例函数y＝（k2≠0）的一个交点为（m，n），则另一个交点为（ ）．
A．（－m，n） B．（－m，－n） C．（m，－n） D．（m，n）
3、下面各三角形中，面积为无理数的是（ ）．
4、如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，
则下列结论中，不正确的是（ ）．
A． B．
C．四边形AECD是等腰梯形 D．
5、如图所示是三个反比例函数(x<0), (x>0), (x>0)的图象, 由此观察k1、k2、k3的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
6、分解因式： ．
7、如图，是的直径，且，点P是上的一点，则的度数是 ．
8、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形CD的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段绕点顺时针转过的角度为 度．
9、已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论中，
正确的是： ．(只填序号)
①a＜b ② ＞0 ③｜a｜＞｜b｜ ④－a＞1 ⑤－b－a＞2
（有若干正确答案，填对全部正确答案得满分；漏填答案的依次扣分；但填入错误的，则判零分．）
三、简答题：（本大题共2小题，每小题7分，共14分．）
10、关于的不等式组
（1）当时，解这个不等式组；
（2）若不等式组的解集是，求的值．
四、开放、探究题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
12、在平面直角坐标系中，如图放置
着一个边长为2的正方形ABCD，在
x轴上有一点P沿着x轴负方向移动，
当点P与正方形ABCD的任意两顶点
在一起构成一个等腰三角形时，点P
就会发出蜂鸣声；当点P从远处移来，
直至移动到点O处止.（改编题）
（1）点P会有几次蜂鸣声
(2) 画出所有点P的示意图，求出
所有的点P坐标．(共构造成哪几个等腰三角形 )
13、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
（1）如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点（如图1），求证：AB＝PE＋PF；
（2）如果P是BC上任意一点（中点除外），过P作PE∥AB交AC于E，PF∥DC交BD于F（如图2），那么AB＝PE＋PF还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如果点P为BC的延长线上任意点，（2）中的其它条件不变（如图3），请你猜想写出AB、PE、PF三条线段之间的数量关系．（不需要证明）
五、实际应用题：（本大题共1小题，每小题9分，共9分．）
14、某灯具店采购了一批节能灯，共用去400元；搬运过程中，不慎打碎了5盏，该店把余下的灯在进价的基础上按每盏加价4元出售，然后把所得钱款又采购同一批型号的节能灯（进价与上次相同），但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价？
六、综合、压轴题：（本大题共2小题，第一小题9分，第二小题10分，共19分．）
15、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放的第二象限，斜靠在两坐标轴上，且已知点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），
使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）．
（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；
（2）当为何值时，点落在对角线上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
0.03 0 0.29
0.29 0.13 0.03
（4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点运动所形成的大致图形．
（参考数据：．）
五、九年级数学总复习的几点思考
当前中学数学教学中值得注意的几个问题——上海市教育科学研究院 顾泠沅 杨玉东
① 情境不是外衣，重在促进理解。实际问题经过教学加工才能进入课堂，扯得太远，反而冲淡学生学习的主题。
② 兴趣是动力，但不是所有的数学问题都是有趣的。一味地追求兴趣，重心发生偏移。信心有必要，成功必须大于挫折，但挫折不能等于零，学生一时的误解是重要的教学资源，课上得太顺，教师的教学机智无处发挥。
③ 数学教学不是习题教学。即使是习题，也要疏理每道题的作用与意义，多而无度、缺乏梯度是目前存在的突出问题。
④ 课题学习是不同于寻常知识内容的学习方式。它是一种让学生学会“做数学”的过程，不是教结论、更不是讲解难题。引导学生做数学，老师至少也要学会做数学。
⑤ 探究是高位的理解，好的探究必须讲究基础。合作学习与独立思考相辅相成，什么时候合作才有效应引起大家的重视。（“热闹的交流中缺少了数学本质的思考”这种现象还很常见．）
⑥“具象—表象—抽象”是递进关系。该抽象的时候用具象、做测量反而使思维水平下降；介于具象、抽象之间的表象（如线段图、示意图）思考是促进提升的重要手段。
⑦ 教材常有“混而不错”的处理。但“混”中常有陷阱，混错了对学生会产生误导；教参有时是一家之言，不能迷信，是参考借鉴，不是依据准绳。
★针对学生自己的数学学习情况，建议采取以下一些具体的措施：
1、不抛弃、不放弃 。九年级的数学总复习对于学生来说，总是有不同层次的提高；也可以说：对基础不是太差而又会努力的学生，通过对初中数学的梳理，知识缔结成板块或网络，思想方法提升，数学能力提高，数学整体成绩提高；可谓有“再造之功”。对各层次学生都要说：老师不抛弃任何一位，学生不能放弃了自己！
2、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构。实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
3、记数学笔记。特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的知识交汇点，通法通则等，记录下来。还要记录：本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
4、熟记一些数学规律和数学小结论。能使自己平时的运算技能达到自动化或半自动化的熟练程度。教师讲解时，一定有适量的归纳总结：重要结论，常用方法，规范的步骤；而不会是杂乱无章。
5、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
6、阅读一定量的数学课外书籍与报刊。参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面，涉猎一些新情境的数学问题。
7、及时复习。强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘——遵循德国著名的心理学家：艾宾浩斯“记忆规律曲线”的科学原理。
8、学会从多角度、多层次地进行归类总结。如：①从数学思想分类；②从解题方法归类；③从知识应用上分类等；最终使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
9、经常在做题后进行一定的“反思”。数学问题解答完成之后，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么？为什么要这样想，是否还有别的想法和解法？本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也使用过？
10、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法通则放在第一位。而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要方法。
欢迎批评指正！谢谢！
2009年3月14日
参考资料：
1、江西省教研室 喻汉林老师 《起始年级学生数学学习准备状况分析》
2、历年《全国中考数学考试评价报告》 全国中考数学评价课题组 张远增博士等
3、《试题资料》，赣州市初中数学试题研讨小组：林望春，黄水根，郭元军，黄瑞英，马跃进、赵声洪，李 明、肖 庆等老师
（第2题）
A．
B．
C．
D．
第3题
20 t/min
O
s/km
A B
C
家
家
家
家
A
B
C
D
x
y
O
A
F
B
P
（第8题图）
（1）
（2）
（3）
备用图
A
O
图①
A
O
A
O
A
O
图②
（第8题图）
·
·
1
0
·
·
A
D
C
B
（第4题）
E
F
得分 试卷人
(第9题图)
b
a
-1
·
A
H
F
D
G
C
B
E
图1
图2
B(E)
A(F)
D
C
G
H
A
D
C
B
图3
H
H
D
A
C
B
图4
PAGE
12务本，求实，守正，出新
――2009年中考复习与评价略谈
江西省教研室 喻汉林 y6180@ ( mailto:y6180@ )
一、务 本
教学：以学生为本，为发展服务。
﹡﹡若能真按中考评价所倡导的方向去复习，则既能减轻学生负担又能提高学生素质。
了解学生，以从学生实际出发为要领
美国著名教育心理学家奥苏伯尔:“如果我不得不将所有的教育心理学原理还原为一句话的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生的原有知识状况进行教学”。
怎样了解？通过各种学习活动中的学生表现来了解。
例1（Ⅰ）（青海）化简：（Ⅱ）（青岛）用配方法解方程：x- 2x -2 ＝ 0．
例2（Ⅰ）下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是（ ）．
（Ⅱ）如图，△ABC是⊙D的内接三角形，点C是优弧AB上一点，
设∠OAB=，∠C=．
(1)当=35°时，求的度数；(2)猜想与之间的关系，并给予证明．
随说：双基理解、掌握了没有？有多少学生掌握了？未掌握的困难所在？
在这些活动中，学生有怎样的心智活动表现和情绪表现？追溯到最初未掌握的地方，并从这里开始。当前教学最大的困难之一，是一些学生讨厌学习。
遵循规律，以促进学生发展为要务
（1）不要干扰学生的数学思维（章建跃老师的建议与所模拟的学生的心理活动）
①思维需要合适的问题情景——老师，我不是三岁的孩子，也不是数学家，请在设置问题情景时，能够让我“跳一跳，够得着”；
②思维从问题开始——老师，不要总是您提出问题让我们回答，请给我提问的机会；
③独立思考需要安静的环境——老师，提出问题后，您可以先看一看窗外的风景，让我先理解一下题意，先让我自己独立思考一下，您为了不让我们走弯路而“喋喋不休”的引导，实在是对我们思维的干扰；
④有深度的思维需要充分的时间——老师，提出问题后，请给我思考的时间，不要马上让我回答，请您耐心点，别逼我；
⑤让学生完成关键的概括活动——老师，有了这些具体例子为基础，我也能概括出一般的规律，请把发现的机会让给我；
⑥数学思维是以概念的发生发展过程为线索的，要体现前后一致的思想方法——老师，如果我理解了概念，通过解答一定量的题目，让我有反思解题过程的机会，从中总结概括基本思想方法，那么“什么样的题目我都能对付”，请不要用“题型”限制我。
（2）“最近发展区”及其对教学的意义
“最近”――最近学生的原有基础，教学活动开展的起点。目标明确，目标准确。
①在新课程推进的背景下，起点应该有新的内涵：起点不是一维的，而是三维的，即不但有“知识与能力”的起点，还应该有“过程与方法”和“情感、态度与价值观”的起点。
②学生是有差异的，因此，应该关注大部分学生起点，同时在教学中，尽可能关注每一位学生。
③如果能把学生原来的“相异构想”（ 与正确的概念及思维方法大相径庭的想法）显现出来，与正确的认识“碰撞”，再放入学生的脑中，这样的教学才是启发。才是有意义的学习。否则，如果仅仅告诉学生什么是正确的，而“相异构想”尚未得到纠正。
﹡﹡出错是正常现象――宽容。课堂本来就是出错的场所。纠正错误正是走向真理的开始――从错误中学习。暴露自己的错误。让学生展现所有错误――不仅仅是展现正确好的。
例3 观察函数y＝2x-5的图像，回答下列问题：
（1）x取何值时，2x-5＝0？
（2）x取何值时，2x-5＞0？
（3）x取何值时，2x-5＜0？
（4）x取何值时，2x-5＞3？
练习：如图，是函数y＝-2x-6的图像，
看图回答问题：
（1）当x 时，-2x -6＞0？（2）当x 时，-2x - 6＜0？
A：x＞3，-2x-6＞0？，…… B：x＜3，-2x-6＞0？，……
T：同意B的举手？－2x－6就是谁？ S：y； T：有没有其他方法求解？
反思：（1）A只是形式上的“学会了”，所以不会变通。（2）举手的办法不是确定真理的标准。
（3）有了一致的认同，并不一定懂了。（4）这里的本质与重点是有没有其他的求解方法吗？用函数观点（本质上不是方法层面）观察一元一次不等式、一元一次方程及二元一次方程组时，建立了一个从整体观察局部、数形结合的方法：解不等式时，只要求解相应的方程就可以了（确定界点），以后只要观察图像便能解决问题。即用方程获得精确的解，数形结合的方法获得求解不等式的思路，同时也避免了解不等式变号可能出现的错误，还避免了三次重复地做一个相似的问题。
（5）转化：x轴向上平移3个单位。
拓展：如下图，已知：y1＝2x-5和y2＝，请回答下列问题：
x取何值时，y1＝y2？ x取何值时，y1＞y2？
x取何值时，y1＜y2？ x取何值时，y1－y2＞3？
S：（学生几乎全部用的是解的方法）
T：（2）（3）还有没有其他方法？
反思：（1）学生明显地习惯于代数方法，并认为这样才能准确地
确定问题的解？而笼统地认为图像法并并提供解决问题的技术。
（2）用函数观察，这里解不等式问题意味着什么？似乎未明晰。
（3）朝哪里拓展？数形结合的解决问题；
（4）是更有意义的。转化：y1＞y2＋3或y1－3＞y2．
④“过程与方法”的效果往往不能即刻凸现，并且往往不是显性的，而是隐性的；要增强计划性。
⑤哪些是已经懂了的，哪些是易懂的，哪些是困难的，哪些是易误解的，哪些是能力的生长点，在易误解的、困难的、生长点上着力是提高效率的关键。知道的不讲，易懂的少讲，难懂的、有价值的地方多花力气。
⑥造成认知冲突。只有产生认知冲突时，问题才对思维的发展有益。
⑦让学生展现自己的才华，而不是教师展示自己的才智。
（3）让学生学会思考、学会探究。
探究精神是课堂的灵魂，唯有探究才能培养思想者和批判者，没有探究的教学只能是训练。探究学习的意蕴：思考、质疑、批判、欣赏、创新。让探究成为课堂教学的常态。
（4）提升学生的学习体验:激发情趣。
良好的态度与良好的师生关系：①宽容，接纳学生；②重视，尊重学生；③相信，依靠学生。
建立“自由、民主、宽松、和谐”的课堂文化。关注学生的感受，让学生觉得：学习数学是有趣或值得做的事情。
例4 教师对学生影响的两个例子：
一位留美博士、20年前的学生回校探望老师时说：“您当年课上的‘挖小妙’(挖掘问题中小小的妙处，注意每个细节)20年来我一直在用着，天天用，而且越用越管用!”
另一位千万富翁的企业家在教师节给老师的贺卡中写道：“您的‘瞄准靶心——射击’（看问题要把握中心、抓住本质）一直影响着我！您在课堂上教给我们的思考问题的方法，让我们一辈子受用无穷。”
（5）突出学生的主体作用。
一位特级教师给自己立下了“三不教”原则，即：①凡学生自己看书能懂，不教；②凡看书不懂但自己想想能够弄懂，不教；③想想也不懂但经过学生之间讨论能懂，也不教。
江苏洋思“之教”三点：
①教的内容应该是学生自学后还不能掌握的地方，即自学中暴露出来的主要倾向性的疑难问题，对学生通过自己已掌握的，一律不教。
②教的要求，不就题讲题，只找出答案，而要寻找出规律，真正让学生知其所以然。还要引导学生预防运用时可能出现的毛病。
③教的方式都让已掌握的学生先讲（即使倾向性问题，也可能有人会），如学生讲对了，教师肯定，不必重复；讲得不完整、达不到深度的，教师要补充；讲错了的，教师则要更正。这样，教师讲的时间就少了，一般不超过5分钟，但能通过补充、更正的方式达到解决疑难问题的目的。
评价：为学生展示学习成果提供舞台
合理、科学地评价学生；使不同学生得到不同的发展表现；有效控制难度，努力降低难度；
努力控制文字量，尽量减少文字量。
评价方向：基础性，层次性为主体。加强以基本功为重点的基本素养
的考查。
样卷表现：以不同形式，强化对双基的考查。
例5（Ⅰ）二次函数的最小值是 .
（Ⅱ）如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 ．
（Ⅲ）如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，
他发现∠1+∠2= 度.
说明：中考试卷中，基础性的、常见试题应当占有较大的比重．
同时，出现少量有点创意、难度不大的小题是必需的，它可引导教学更灵活地加强基础内容的教学，也可以对学生施以更客观的评价。选择题往往能对概念等的理解施以有效考查，填空题往往能对简单技能的掌握情况施以有效考查，因此，选择题、填空题等是考查简单双基的主体。
二、求 实
教学：夯实基础，提高实效
1.不实现象：（1）追求一步到位。（2）难度盲目拔高。（3）迷信大容量。（4）迷信快节奏。
（5）少数人表现，多数人当观众。（6）表面上热闹。（7）课堂上无事可干，或干不了。（8）心游他方。
﹡﹡教师困惑：方向是什么？方向会不会变？讲了做了很多，似乎没有多大用。做了懂了1000道，第1001道可能还不会做。是深挖？广猎？还是重在探究与能力？
2.求实之道：不仅是训练。聪明人下傻功夫。
辨析：是先讲后做还是先做后讲？是模仿还是探索？不能简单而论，一概而论。
（1）勾画知识树。――突出主干，理清关系，关注交汇点
由谁画脑图？老师？学生？学生交流复习脑图，抖出。
（2）突出核心知识，淡化非本质内容
﹡﹡哪些是核心的？哪些是本质的？
核心即主要部分。本质即根本属性。
例6（Ⅰ）（省略，江西省2008年填空题；第11题：剪裁等腰三角形纸片。）
（Ⅱ）（省略，江西省2008年简答题；第17题：猜想平行四边形坐标点。）
随说：枝末知识点了解即可，使用过的特殊情境不再是关注的对象。核心的知识，常用的技能，思想方法应是关注的重点。
（3）突出通性通法，淡化特殊技巧
例7：谈数形结合思想的教学
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。数形结合是一种意识：能否在需要时建立这种联想。是一种思想：联系与转化的思想。是一种能力：借助数形结合解决问题的能力。是一种思考的方式，一种联想的方式、转化的方式：由数想到形，由形想到数；将数的问题转化为形的问题，将形的问题转化为数的问题，然后回到原问题的解决。
数形结合思想的形成需要的是一个有计划的、循序渐进的、螺旋上升的、多次反复的过程。
数形结合的主要方法，即数形结合的桥梁是数轴和坐标系，A(5),B(-1,6)便是两者的简洁表示。数形结合的基础：点与坐标的一一对应性。
数形结合有两大领域：解析几何：用代数来研究几何图形；函数：用图像来研究性质。
作用：表示。解释。用于解决问题。
对数形结合的理解有三种：
狭义的理解。数的基本元素是指数、坐标、方程、函数等。形的基本元素是指点、直线、圆、曲线等。数形结合就是将数与形联系起来。主要是以坐标为桥梁，一一对应关系为基础。通过“以形助数”或“以数解形”， 相互为用，解决问题：形直观形象，数准确入微；形定思路，数来定解。
广义理解1：狭义中的数形结合，加上特殊代数式、等式、不等式等所反映的几何意义，以及特殊图形所反映的代数意义等。后者可与坐标无关，但有表示、解释的作用。
广义理解2：数指狭义中的数，加上数据。形为几何图形和统计图形。
数形结合通常是以狭义的方式来理解的。有时也在狭义1上使用数学结合。初中数学中与数形结合有关的内容有：
数与代数部分：（1）数轴 ；（2）整式乘法运算。（3）公式；的几何背景。(4)能用观察、画图等手段估计方程的解。（5）会用数轴确定一元一次不等式组的解集。（6）函数的图像表示；（7）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。(8)会画一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的图象，根据一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的图象和解析表达式理解其性质，会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴。(9)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。等等。
﹡﹡运动与函数之间的联想：函数是刻画由运动而引起的变量之间关系的模型；运动是其引起的变量间的函数关系的载体。
空间与图形部分：从广义上讲，有度量存在的几何问题都是具有数形结合特征的。线段及其长度，距离，角及其大小，周长，面积等。度量在初中有两个系统，基于长度的度量与基于角的度量。
（1）角度的和与差计算。（2）三角形的内角和等。（3） 勾股定理及其逆定理。（4）平行四边形→→矩形→→正方形，或平行四边形→→菱形→→正方形的度量刻画。（5）点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系的度量刻画。（6）圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征的度量刻画。（7）孤长及扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积。（8）平移的距离，旋转的度数。（9）线段的比、成比例线段与黄金分割。（10）相似比；位似比。（11）锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，30°、45°、60°角的三角函数值。（12）平面直角坐标系；在给定的直角坐标中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。感受图形变换后点的坐标的变化。等等。
具体办法：（1）用好每一道精选的试题，讲清“要点、易错点、联系点”。（2）将能力、思想的培养渗透在每节课中。（3）在系统思想指导下确定好每一阶段、每节课的具体而又适宜的目标（该调整时调整），循序渐进，落实到位。（4）分类：将学生分类；
将存在问题分类；将练习分类；（5）集体备课。……
“量不在多，典型就行；题不在难，有思想就灵。”“教师跳进题海，学生跳出题海。”
例8（省略，江西省2008年第24题；开口相对的两个抛物线构造的二次函数试题。）
随说：由数到形，由形到数。
评价：抓住核心与主干，提高效度与信度；
﹡﹡考试问题：做不完；做不全；做不规范；做不来。
﹡﹡从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题。
﹡﹡评价要求：不吓唬学生，努力平实些。
样卷表现：常规计算、推理论证能力等仍是考查的重要内容。
例9（Ⅰ） 解方程组：
（Ⅱ）如图,已知平行四边形ABCD中,∠B=60°，BC=2AB，延长BA
至E，使EA=AB，连结EC，交AD于F．
（1）试用实线连结图中已标明字母的两个点，画出使图中出现直角三角形的所有情况；
(2) 请在(1)中选择一种情况证明.
（Ⅲ）某班组织20位同学去帮助某果园果农采摘柑橘，任务是完成720千克柑橘的采摘、运送、包装三项工作，根据实际情况现将三项工作的人员分配和每人每小时完成某项工作量制作如下统计图：
（1）按照图1的人员分配方案，已知各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克柑橘？并补全图2中的条形统计图；
（2）若他们一起完成采摘任务后，小明同学将20人分成两组， 由一
组先运送，另一组再去包装，且每
人每小时完成某项工作量与（1）
中相同.结果当包装组在运送组完
成任务所花时间内还有80千克的
柑橘还没有包装，试问小明是怎样
将人员分配的？
说明：常见、常规题的分值约占60%以上；中档题及较易题分值约占70%以上。
样卷表现：对应用意识与能力的考查保持应有力度
例10（Ⅰ）如图是三副拉力器（拉力器除弹簧的根数有差异外其它都相同），拉力器弹簧部分的长度会随着拉力大小的不同发生变化.自然状态下,弹簧部分长均为28 cm. 经测试发现，当作用于甲拉力器的拉力为360N时，拉力器弹簧部分长58cm.设作用于弹簧的拉力为x(N), 弹簧长度为y (cm).
(1)求拉力器的一根弹簧中y关于x的一次函数表达式；
(2)小明尽力只能将乙拉力器弹簧部分拉至48cm长，而小亮尽力一拉，却能将丙拉力器弹簧部分拉至58cm长，于是小亮说自己的拉力比小明大，你同意小亮的说法吗？说明理由.
（Ⅱ）2008年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：
（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？
（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价
打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，
求果园共销售了多少吨脐橙？
（3）求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式．
说明：成也审题，败也审题。对应用意识与能力的考查是新课程标准关注的重要内容，也是新课程标准的一个。
三、守 正
教学：激发与启发，引导与指导
﹡﹡数学之妙在于理，教学之道在于度﹡﹡
1.不正现象：（1）课堂教学→“题型教学”→“刺激——反应”训练。有的教师试图通过“题型教学”穷尽“题型”，幻想通过“题型”的机械重复、强化训练，让学生掌握对应的“特技”和“动作要领”而提高考试分数。对具有普适意义的、迁移能力强的“根本大法”——数学思想方法的教学，却因其不是“立竿见影”，需要较长时间的坚持才能奏效，是一种潜移默化、润物无声的“慢工”，被有些老师判为“不实惠”而得不到应有的渗透、提炼和概括。结果是在稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活应用数学知识解决问题的能力成为“泡影”。 “讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”。
（2）例题教学替代概念的概括过程。认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”——面对新情境时无法“透过现象看本质”，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。
（3）能力异化（技能化）问题。――尽量使之程序化、技能化。“一个方法，三项注意事项”。
（4）将复习课上成压缩后的新授课，或上成单纯的练习课。理解变成了记忆，探究变成了听懂。
（5）按照现成资料，无删无增，照本宣科，看题讲题。
2.办法：（1）“不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题”，回到基本思想，回到基本想法；（2）加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。（3）“题型”、与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，“巧”是教不会的，要靠学生自己琢磨；（4）追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，要强调思想指导下的操作。（5）整体把握，复习引入，思考延伸课外，引发课后的讨论。（6）防止水平下降。坚持为理解而教，为发展而教。（7）自然的延伸。（8）“举一反三”，“举三反一”。（9）“控制”自己的讲解。
3.有效教学的铁律：（1）先学后教—以学定教；（2）先教后学—以教导学；（3）“温故知新”—学会了才有兴趣；重新认识，有所提高。
4.其他观念：多与少（量）。粗与细（讲授）。小与大（方法）。远与近（目标）。高与低（观点）。理与例（内容）。明与暗（思想）。善与恶（情感）。接受与探究（方式）。
﹡﹡例子的选择至关重要，“一个好例子胜过一千条说教”。
﹡﹡“细节决定成败”――设问，选题，概念等细节。
评价：考数学素养，非展示作品
问题与困惑：（1）辅助线问题、删去内容问题、新增内容问题、计算器问题、带好备用纸片等问题等怎样处理？（2）有人认为：近几年中考有看重不等式，看轻方程趋势，对否？二次函数应用题近年考得很少，是否应当加强？——重要的是建模，而点落何处，应由问题自然引出。（3）基础（基本核心主干）与探究等（基础外）的比例如何？基础：探究等的比例约7：3。探究等也分为中等与较高两个层次。
样卷表现：对探究能力的考查受到高度重视
例11（Ⅰ） 如图，在△ABC的外接圆中，BD平分∠ABC，DB⊥FB,
D、F在△ABC的外接圆上，连接DF交AC于G.
(1)根据图中已知条件，试写出三个不同类型的正确结论
(不再添加辅助线和字母)；
(2) 若DF=9，sin∠DBC=，求AC的长.
（Ⅱ）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为斜边AB上的
任意一点（不与点A、B重合），连接CD，作EC⊥DC，且EC = DC，
连接AE．
（1）求证：∠E＋∠ADC＝180°；
（2）猜想：当点D在何特殊位置时，四边形AECD是何种特殊四边形？说明理由．
说明：开放与探索是发展学生创新思维能力的两大方面，这既是数学课程的潜在目标，又是数学独特教育功能的重要方面，因而中考中理应关注并加强。这一直是我们所关注的重要内容，教师们应予以高度重视。
四、出 新
教学：源于反思，成于改进
﹡﹡有所设想，有所尝试，有所反思，不断改进
… 0 1 2 …
… …
例12（苏州）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时， ．
例13（南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
随说：如何教才能使效果最大化？――长远与全体为重。
★在知识生长点处引入； 在知识结合点处展开；在知识关键点处引伸； 在能力提高点处设疑；在有价值处思考讨论； 在困难处点拨与分析。
评价：新为考能力，新为导教学； 样卷表现：中等新颖试题关注度有所上升。
例14 阅读下列计算程序:
（1）当x0=1200时,输出的y值是多少
（2）问经过二次输出才能输出y的值，求x0的取值范围.
样卷表现：综合题重在能力与数学素养的考查
例15 如图，在直角坐标系中，A（0，），点P是第一象限
平分线上的一动点，设OP =n.
(1)用含n的式子表示P点坐标；
（2）连接AP，过P作PC⊥AP，并交x轴于C，又分别过C、A作CD⊥PC于C，AD⊥DC于D，
①求证：四边形APCD是正方形；
②设四边形APCD的面积为S，试求出S与n之间的函数关系，并求当n为何值时，S最小？
例16．在正方形网格中，多边形的顶点均在小正方形的网格顶点上，且多边形的边都不与网格线重合，我们把这样的多边形称为格点斜多边形.
命题的提出：某课题学习小组在探究格点斜多边形的性质时得到如下命题：格点斜多边形内部水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等.
命题的证明：
（1）如图①，在6×6的正方形网格中，△ABC是格点斜三角形.求证：△ABC内部的水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等.
（2）如图②，在n×n的正方形网格中，设格点斜三角形ABC内部有水平线段k条，且线段长度（从上至下）依次为a1、a2、a3、…、ak－1、ak，有铅直线段m条，且线段长度（从左至右）依次为b1、b2、b3、…、bm－1、bm . 问：a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak＝b1＋b2＋b3＋…＋bm－1＋bm成立吗？请证明你的判断.
（3）如图③，在6×6的正方形网格中，请画出一个格点斜四边形ABCD. 问：格点斜四边形ABCD内部的水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等吗？说明理由.
（4）在正方形网格中，格点斜n边形内部的水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等吗？（不必说明理由）
随说：新而得当才好，新而符合实际才行。
总结：能力需要基础，成功需要方法。
祝愿：学生在考试成功中开心，教师在学生成功中微笑！
2009年3月23日
赣州市2009年数学中考复习研讨会安排
时 间 地 点 安 排 主持或主讲人
3月23日上午 正银大厦、华坞酒店报到 缴纳会务费，领取听课证 各县(市、区)教研员
23日14:30~17:20 赣州三中多媒体报告厅 《务本求实，守正出新》 省教研室 喻汉林老师
24日8:00~9:30 赣州三中多媒体报告厅 《从三年试题谈备考方略》 章贡教研 罗斐锋老师
23日9:30~11:50 赣州三中多媒体报告厅 《不同需求，不同方法》 市教研室 林望春老师
主办：赣州市教研室 协办：赣州三中
赣州教研室数学618公共邮箱：gzjyssx618@ ( mailto:gzjyssx618@ ) 密码：314159
（第8题）
A．
B．
C．
D．
C
B
A
O
例6图1
35°
甲拉力器
28cm
58cm
48cm
28cm
乙拉力器
28cm
丙拉力器
58cm
A
BA
CA
DA
EA
例13题图
A
B
C
D
O
y/km
900
12
x/h
4
A
B
C
图①
图③②①
C
B
A
图②③①
PAGE
9知识是船 能力是帆
——2008年江西省中考数学试卷回顾分析
一、试卷概况
纵观2008年江西省数学中考试卷，与06、07年相比较，08年的数学中考试卷严格以《课程标准》和《考试说明》为依据，在重基础面向全体学生的同时，也体现了数学中考的选拔功能，扣住了“用数学”的理念，选材广泛，内容丰富，背景活泼有趣，贴近生活与社会热点，以数学知识为载体，充分考查学生的数学思想方法和迁移能力、阅读理解能力、探索创新能力和数学应用能力.通过改变题型结构，使试卷的总体难度控制较好，并有效控制了低分率，为初中数学教学起到了较好的导向作用，真正体现了以人为本的新理念，是一份值得赞誉的好试卷.
（一）试卷结构
题型 题量 分值 百分比 数与代数 空间与图形 统计与概率
题量 分值 题量 分值 题量 分值
选择 10个 30分 25% 6个 18分 3个 9分 1个 3分
填空 6个 18分 15% 4个 12分 2个 6分 0个 0分
解答 9个 72分 60% 3.5个 27分 3.5个 29分 2个 16分
总计 25个 120分 13.5个 57分 8.5个 44分 3个 19分
08年数学试卷全面考察了九年义务教育初中阶段的教学内容，结合社会热点问题，既考察了学生对初中数学内容的掌握情况，又考察了学生的数学应用能力，整卷凸现了时尚、新颖、实践、操作、探究等特点，让学生以平静的心态进入考试状态，让各个层次的学生考出自己的水平，但要做对做完试题，没有扎实的数学功底，也不是一件容易的事，体现了数学中考的选拔功能，有较好的区分度．
从上表中可以看出，“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三个知识领域试题的分值分别为57分、44分、19分，各占总分值的48%、36%、16%，代数与几何的比例符合课标要求和教材课时的比例.
（二）试题特点
1、突出对初中数学基础知识、基本技能、核心内容的考查
试题形式多样，基础题中以常规试题为主，知识覆盖面广是本套试卷的最大特点。考查基础知识和基本技能的比重较大，对基础知识的考查是近三年最容易的，体现了以人为本，人人学有价值的数学理念．重视考查学生对“三基”核心内容的理解和掌握水平，代数方面主要涉及“数与式”、“方程与不等式”、“函数”、“统计的应用”、“简单的概率计算”等核心内容，主要考查学生对概念、法则及运算的理解应用水平，如T17题的整式化简并求值；几何方面主要涉及“基本图形的性质”、“图形间的基本关系” 等核心内容，注重考查学生对几何事实的理解推理能力、空间观念以及猜想探究能力，淡化了对几何证明技巧的考查，如T22题图中圆心角与圆周角关系，广大考生都感到入手容易.
2、突出对主要的数学思想和方法的考查
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，它不仅蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，而且也渗透在数学教与学的过程中，本卷突出了对方程与不等式、函数、数形结合、化归转化、归纳猜想、开放探索、分类讨论、演绎推理、数学建模等主要思想方法的考查。如T3、T5、T14、T16、T21、T24考查了不等式与方程和函数思想；T22先给出α的大小，求β的度数，再猜想α、β之间关系，这正是归纳猜想和从特殊到一般思想方法的体现；T25利用图形的运动变化来考查分类讨论思想；T20从图形折叠变换考查数形结合思想；T18、T7考查了待定系数法、配方法；T21借助方程把实际问题转化为数学问题，有效考查了数学建模思想.
3、加强了对数学学习过程的监测
设置一些观察、猜想、探究、发现等开放性、探索性试题，给学生提供了思考研究空间，体现对数学学习的“猜想－验证－推广”过程的考查，更加有利区分学生在思维上的差异，较好体现了对学生发展过程的关注.如T22不仅在于探索问题的结论，更重要的是强调知识间的内在联系，真正考查了圆周角定理、垂径定理等知识的形成过程.T24、T25开放性问题、探索性问题更强化了数学学习过程的考查.这一特点与新课程所倡导的学习方式和教学方式相呼应，引导和促进学生平时改进和完善学习方式，对今后的数学课堂教学也有较好的导向作用.
4、突出考查学生的基本数学能力
试卷在重视对基础知识、基本技能和常用数学思想方法考查的同时，还对基本的数学能力给予了充分关注.
（1）注重对数学应用与建模能力的考查
T19计算器与之匹配的盖子问题、 T21 “托球赛跑”游戏都是从现实中取材，只需用到简单概率计算和简单的分式方程等知识点，学生根据已有的生活经验，耐心、仔细阅读材料，找出题中的关键词，架起“已知”与“未知”间的桥梁；较好地考查学生用数学眼光看问题的能力、将实际问题转化为数学模型的建模能力.
（2）注重研究性学习与探究能力的考查
有效的学习过程不单纯依赖模仿与记忆，通过观察、操作、猜测、归纳、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解，从而使知识得以消化，方法得以迁移，能力得以形成；如T16借助一次函数中自变量x的两个端点值，去研究图形中d对应的两条线段，即 ；，得出这两个结论后，再结合图形求得OA=5，利用勾股定理可得OB=4，这是一道研究性学习的好题；又如T25的背景是一个正三角形在一个正方形内的转动，所设计的问题涉及考查学生的猜想探究能力，同时也考查学生用动态的眼光来分析和探索问题的能力.
（3）注重对收集、处理信息能力的考查
科学、合理地处理日常生活中的信息，提高信息传递与交流的效率，以及根据所接受的信息作出准确的判断是当代生活的重要特征，收集信息、分析信息、处理信息的能力更是数学学习的所必备的能力. T9设计较为自然、亲切的扇形统计图，不仅考查学生直接从图中获取有关数据信息做出准确判断的能力,同时对计算能力也有较高要求；T21将一个学生熟悉的折线统计图和一个相对新颖的学习情境融合在一起，不仅要求学生读图、识图、析图，而且要求学生从不同角度（实际上就是利用不同的统计量）分析预测，有效考查学生获取数据进行科学决策的能力水平.这道题的背景材料公平，有利于学生展示自已在数学课程学习中取得的成就，有较好的效度.
（4）注重对几何图形变换和图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、圆等图形，通过“旋转、翻折、动点的滑动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形关系．在解题过程中渗透空间观念和合情推理，经历“实验、操作、论证”的过程，重点考查学生有无证明的意识，能否用证明的方式进行数学说理；几何证明题的难度控制较好，并选择基本的几何图形，预计多种论证方式．如T10给出几何体的三视图，逆向考查其直观图中小正方体块数，有一定的思维含量；T20是矩形的折叠，猜想验证三条线段之间的关系，有多种证明方式，开阔的学生的视野；T25题图形在滑动过程中观察图形之间存在的关系，需要理解图形在不同状态的位置情况，才能做好计算推理的过程．图形变换，动静结合，能培养学生“透过现象看本质”的洞察能力，展现图形的内在性质，第(4)小题画出的图形具有对称美，给人以美的享受．
（5）注重阅读理解能力的考查
T23设置“新定义”型问题，学生不能套用已有知识的现成模式就能解决，而必须通过自己的积极思考，紧密围绕“偏差率” 这一陌生的新概念蕴含的数学意义，去解决所提出的问题.要解决这类问题必需具备以下能力：第一，迅速而较强的数学阅读理解能力；第二，对“新概念”的运用能力.这类问题对学生思维能力具有一定的挑战性，在一定程度上反映出学生数学学习能力发展的差异．同时，从解决问题与实践过程中，更加有效地考查出学生数学学习能力．
以能力立意，考查学生的自主探究能力和创新意识，促进培养学生解决问题的能力，这是本套试题最显著的一个特点．知识是船，能力是帆，帆与浆才是驱动航船前进的动力．
5、试卷图文并茂，亲切和谐
二、考试成绩分析
1、中考试评组对数学成绩的统计分析
试评组抽取了赣州市有代表性的10个试场300名学生的数学试卷，认真查阅了考生答题的试卷评阅情况，走访了初三执教老师、评卷老师及考生，详细统计和分析了学生中考成绩，列表如下：
表1：2008年各分数段人数分布表
分数段 0～11 12～23 24～35 36～47 48～59 72～83 84～95 96～107 108～120
人数 5 15 32 34 43 32 36 34 49 20
比率 0.02 0.05 0.11 0.11 0.14 0.11 0.12 0.11 0.16 0.07
从表1、表2及折线统计图来看，两头低中间高：即0～11分、12～23分、108～120分等分数段人数较少，而48～59分、72～83分、96～107分等分数段人数较多.整卷难度较2007年稍有下降，平均分较近几年有所上升．由于第一、二大题结构变化，使得低分率为近四年的最低点，说明今年调整题型结构是成功的，也正是我们广大师生所期盼的．但因本试卷有过多开放力度较大的题和计算量较大的题（让有计算器的考生占了较大的便宜），学生花时较多，导致优良率大大下降．因压轴题的难度有所控制，使得尖优率较去年大大提高．
表2：近几年赣州市数学中考抽样统计表
样本容量 内容年份 平均分 及格率% 优良率% 低分率% 尖优率% 最高分 最低分 整卷难度 整卷区分度 标准差
300 2005 56.86 37.00 8.33 39.60 1.33 118 3 0.47 0.56 28.22
300 2006 65.60 51.30 27.33 35.00 12.00 120 0 0.55 0.72 33.58
300 2007 64.00 47.33 32.33 30.33 3.00 118 3 0.53 0.63 30.00
300 2008 66.70 46.33 23.00 28.67 6.67 119 0 0.56 0.6 29.02
2、试题得分率、试题难度、区分度评价：
表3：各小题得分率
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分率 0.92 0.90 0.96 0.94 0.71 0.59 0.72 0.61 0.84 0.66
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
得分率 0.73 0.71 0.84 0.56 0.67 0.65 0.67 0.60 0.58 0.42
题号 21 22 23 24 25 整卷
得分率 0.30 0.48 0.51 0.32 0.13 0.56
从各小题的得分率、难度评价表来看，第1～19小题、第23题平均得分率在50%以上，第20题、第22题平均得分率为42%、48%，这说明有22个试题为容易题、较容易题和中档题，分值约占整卷的77.5%；仅有第21、24、25题为难题，分值约占整卷的22.5%；第1、3、4题区分度较差，但整卷区分度为优秀的试题达90%．
表4: 难度系数评价
难度 题目题号 分值 占分比（%） 难度评价
0.85以上 1、2、3、4 12 10.00 容易
0.60－0.85 5、7、8、9、10、11、12、13、15、16、17、18 43 35.83 较容易
0.40－0.59 6、14、19、20、22、23 38 31.67 中等
0.20－0.39 21、24 17 14.17 较难
0.20以下 25 10 8.33 很难
表5：区分度评价表
区分度 题目数量 分值 占分比（%） 区分度评价
0.40以上 5——24 108 90 优秀
0.30－0.39 2、25 13 10.83 良好
0.20－0.29 1、4 6 5 合格
0.20以下 3 3 2.5 不合格
三、考生答题质量分析及教学建议
（一）较好的方面
1、运算准确性更高了．T17、T18的得分率均在60%以上，T9 、T13 的得分率均为84%，说明学生的运算能力提高了，仅仅因为运算造成失分的象现大大减少了．
2、基本功更扎实了．第一大题的得分率为78.7%、第二大题的得分率为69.3%、第三大题的得分率分为61.7%，说明学生具有较为扎实的基础知识，从而保证了低分率有所下降，平均分再度上升．
3、解题方法更多样化了．T20多数学生能抓住题中“翻折”实际上对应于“点B点B′点关于EF对称”，从而得到多种不同解题方法；T21有些学生能从不同的角度来审视问题，解法有独特之处，甚至不用方程用算式就解出来了，还有的学生不受条件“30米”的牵制，将来回的路程视为“整体1”，思维这活跃、思路之敏捷、手段之高明，这正是课改给我们的数学教学带来的可喜变化；T22学生根据圆中常规连辅助线（连半径、过圆心弦的垂线等）的方法，或直接利用圆周角与圆心角的关系，或利用等腰三角形三线合一性质、圆周角与圆心角的关系，或利用圆周角定理，把α与β放在同一个直角三角形形中，都能顺利得到α+β=90°，这真是“条条大路通过罗马”，不仅说明命题设计的问题有很大的思考空间，同时也反映出学生的思维更灵活了，视野更开阔了，方法更多样化了．
4、探究能力更强了．尽管试题中出现了三道猜想题（T20 、T22 、T25）和两道开放探究题（T23 、T24），都是中难度试题，但这并没有影响学生的情绪和成绩，相反，还反映了学生的探究能力有了很大的提高.如T25的第（2）问，学生先从一些特殊角入手，大胆猜想当α=45°时，对应的等腰Rt△EAF、等边△EFG、正方形ABCD都是关于对角线AC成轴对称图形，从而进一步给出合理的解释；T23 和T24得出了很多正确结论．
5、读图、识图、析图能力更强了．全卷共有16道题配有图形，学生必须快速、准确的从图中获取有价值的信息，来分析、解决问题．
(二)存在的问题
1、对知识的内涵理解不透．试卷中较多的题目用到的知识点都是较为基础容易的，但考生没有很好掌握，出现了严重的失分现象，反映出考生并没有真正理解知识的实质。如T3中有不少考生不知道科学记数法中a的取值范围，选D的较多；T6 和T8学生没没有深入思考，不能很好地分别应用平行四边形的性质和三角形相似的判定方法去验证，只凭感觉猜测D；T11不少考生对因式分解的要求不够清楚，只分解到x(x2 - 4)，没有分解彻底；T14有的学生在解方程x(x-1)= x时，两边同时除以x，导致丢失另一根x=0．
2、运用数学思想特别是数形结合、分类讨论的能力较薄弱．T18是由数到形的构建图象问题，一方面，学生不能按一定的规律分类讨论所能构成的平行四边形个数，只考虑到一种情形，忽视了其余两种情况，另一方面，因数形结合能力较差，求错了点D的坐标，致使第2问中求解析式出错．
3、解读数学语言的能力偏差．在众多的语言阅读、转换、表达过程中，出现了理解不准确、转化错误、表述不规范等问题.如T20中的证明书写过程缺少条理性、逻辑性和规范性；T23中对图中给出的信息理解出错．
4、运用数学知识分析问题、解决问题能力不够．T21的要求并不高，但得分率却很低，很多同学假设甲的时间为x秒，但在算甲的速度时却忘记了甲的实际运动时间要减6秒，即为（x-6）秒，还有不少学生忘记了分式方程的验根，造成了不必要的失分．
5、缺乏良好的学习习惯．
（1）缺乏良好的审题习惯.主要表现在审题不认真、不仔细．如T8不少学生错选D，他们只是凭两个三角形摆放的位置有点相似，而没有借助网格计算出三角形的三边长，再运用对应三边的比去判断两个三角形是否相似；T23要求写出三条不同类型的正确结论，而有些考生写出好几个相同类型的结论．
（2）缺乏良好的思维习惯.不能就具体的问题具体分析，在T21中不少考生不去认真思考图中给出的“30米”这一条件如何处理，硬是把它放在所列方程中，导致结果正确可方程错误．
（3）缺乏克服困难的勇气和毅力.选拔性考试总有些试题有一定难度的，其实这种考试除了检测学生对初中数学知识的掌握，也是对学生的意志品质的考查.如T23、 T24、T25等很多学生主动放弃，甚至根本就没有动笔．当面临试题中出现的“关卡”，就要看学生遇到困难时，是否具备良好的心理素质，有没有战胜困难的勇气和毅力；这也是一个人走向人生道路必经之坎，更是对一个学生人生态度价值观的心理测试．
四、试题赏析和对命题者的商榷建议
（一）试题赏析
从整卷来看，试题朴华无华，布局合理，基本做到了试题遵循由易到难编排，这与考生答题的心理是相吻合，有利于考生正常发挥自己应有的水平，这是本试卷一大成功之处．但要取得高分，需要较高的数学素养和扎实的数学基本功；从阅读点情况来看，尽管优秀率比往年低些，但有许多靓题让人回味无穷．
第3题：“5．12汶川大地震”发生后，中央电视台于5月18日承办了《爱的奉献》晚会，共募集善款约1 514 000 000元，这个数用科学记数法表示是【 】．
A．1.514×109 B．0.1514×1010 C．1.514×106 D．15.14×l08
点评：本题选题较好，能结合当前形势，以抗震救灾为背景对学生进行爱心教育．让学生在读题中，感受到汶川大地震给灾区人民带来的灾难以及全国人民的无私支援，从而更好地激发学生的爱国热情，也让学生学会用数的观点来看社会问题．
第15题：如图，RtOAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2， AB=1，若将OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点的坐标是 ．
点评：本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，
是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做
了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全
理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较
多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．
第16题： 如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A，
B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是
此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长
为d，且d与x之间满足关系：d=5- (0≤x≤5)，则
结论：①AF=2；②BF=5；③0A=5；④0B=3中，正确
结论的序号是 .
点评：本题是今年出现的一种新题型，以多选题的形
式出现，从考生所填的项中，能看出学生思维层次上的差异，弥补了填空题的不足．答题时，不少学生选择④，有的考生
甚至填入⑤，说明学生对这类新题型的缺乏答题策略，对没有把握的结论宁可少选，也不可乱选;即宁缺勿滥.
第18题：如图，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，
(-1，0)，(1，0)，设点D与A，B，C三点构成平行四边形．
(1)写出所有符合条件的点D的坐标；
(2)选择(1)中的一点D，求直线BD的解析式．
点评：考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想，
本题的呈现形式不落俗套，常规中有创新，在平时的教学中，
随处可见这样试题：“以已知A，B，C为顶点的平行四边形
有几个．”或“画出以已知A，B，C为顶点的平行四边形”．
此道中档题有较好的区分度．
第20题：矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．
（1）求证：B’E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间有何等量关系，并给予证明．
点评：此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现，除参考答案给出的两种方法外，再列举以下几种方法．
方法一：
（1）如图1，连接BE
∵B点B′点关于EF对称
∴∠1=∠2
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠1+∠3=180°
∴∠2+∠3=180°
∴BE∥B′F
又∵AD∥BC
∴B′E∥FB
∴四边形EBFB′为平行四边形
∴ B′E =BF
方法二：
（1）如图2，连接BB′交EF于M
∵点B与B′点关于EF对称
∴B′M=BM
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠2
在△B′ME和△BMF中，
∴△B′ME≌△BMF（AAS），∴B′E=BF
方法三：
（1）连接BE：
∵B点与B′点关于EF对称
∴∠3=∠4
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠2
又∵EF=FE
∴△B′ME≌△BMF（AAS）
∴B′E=BF .
第21题：甲、乙两同学玩“托球赛跑’’游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线L起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒．捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1．2倍”,根据图文信息，请问哪位同学获胜
点评：本题体现了数学源自生活，展示了数学丰富多彩的内涵和广泛的应用价值，选材自然、背景新颖、趣味性强，让学生倍感亲切，不会有紧张心理，大多数学生都能很快进入状态．由于本题对阅读审题能力、分析问题和解决问题的能力要求较高．对于本题也有相当一部分学生，有自己独特的解法，有的解法甚至比参考答案更为简洁（如解法一），比如，有的用比例方法，有的利用一元一次方程，有的利用分式方程等等．以下便是考生的不同解法：
解法一：
∵甲、乙的速度之比为6︰5，两人所走的路程相同
∴ 甲、乙两同学所用时间之比为5︰6
又∵除去捡球时间还剩44秒
∴甲同学所用时间为：44×+6=26（秒）
∴乙同学所用时间为：44×=24（秒）
又26秒＞24秒，∴乙同学获胜
解法二：
设甲除捡球外用了x秒，则乙用了1.2x秒，
两人共用了 50-6=44（秒）（捡球耗时除外），
则， x+1.2x=44，解得x=20
∴乙同学所用时间为1.2×20=24（秒）
甲同学所用时间为20+6=26（秒）
∵26秒＞24秒，∴乙同学获胜
解法三：
设乙同学的速度为x米/秒，则乙同学所用的时间为秒
而甲同学除险球外，所用的时间为：（秒）
∴甲同学的速度为：（米/秒），∴1.2x=，解得x=2.5
经检验 x=2.5是原方程的根
∴乙同学所用的时间为（秒），甲同学所用的时间为：50—24=26（秒）
∵24秒＜26秒，∴乙同学获胜．
本题的命制技术有所欠缺：一是“用时少者胜”、“ 哪位同学获胜” 有故弄弦虚之嫌，如果直接问“谁先回到起点”学生更容易入手；二是“30米”这一已知条件是多余条件，可以省略；三是图形设置也使考生容易与托球混淆，若将图形画成水平放置，学生会更好理解．
第22题：如图，△ABC是⊙D的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合)， 设∠OAB=，∠C=．
(1)当=35°时，求的度数；
(2)猜想与之间的关系，并给予证明．
点评：此题是一道常规中档题，主要考查圆周角、圆心角关系定理．此题与06年T20极其类似，是一道较好的中档题．以学生答题情况来看，学生都能用正确方法来解决，主要证法有三种：（1）连结OB，构建圆周角与圆心角的关系；（2）连OB，并作AB的垂线段OD，利用等腰三角形三线合一性质、圆周角与圆心角的关系；（3）延长AO交⊙O于E，连结BE，利用圆周角定理，把α与β放在同一个直角三角形形中．此题放在第22题的位置上稍略容易了．
第23题：为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈．让他们看一眼后迅速说出圈内有多少个汉字．但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：
(1)观察、分析上图．写出三条不同类型的正确结论；
(2)若对甲、乙两同学进行第6次测试，
①请你用统计知识分别预测他们估计字数的偏差率(从一个角度预测即可)；
②若所圈出的实际字数为100，请根据①中预测的偏差率推算出他们估计的字数所在的范围．
点评：本题是一道统计题，它结合学生熟悉的现实背景“估计字数字”，再增加一个新定义——“偏差率”，构成了一道立意非常新颖的统计开放题．主要考查学生利用折线统计图所反映出来的统计量进行分析和预测推断的能力，这正是统计内容中需要考查的核心知识．从试题的形式上看，赋予了学生很大的答题自由度，有利于学生展示自已对统计图、统计量等知识的认识．
第24题：已知，如图所示的两条抛物线的解析式分别是，(其中a为常数，且a>0)．
(1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
(2)当时，设与x轴分别交于M，N两点(M在N的左边)，与x轴分别交于E，F两点(E在F的左边)，观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
(3)设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线L，L1，L2都垂直于x轴，L1，L2分别经过A，B两点，L在直线L1、L2间，且L与两条抛物线分别交于C、D两点，求线段CD的最大值．
点评：这是一个好题，从难度看正好介于06年到07年之间，而且综合考查了二次函数的主要知识点，难度不大，图形构造也优美体现了数学之美．
第25题： 如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．
（1）当α=0°时（如图2所示），求x、y的值（结果保留根号）；
（2）当α为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
α 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
X 0.03 0 0.29
Y 0.29 0.13 0.03
(4)若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”，当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出由点G运动所形成的大致图形．
（参考数据：）
点评：这是一道较好的压轴题，起点低，思路宽，一改那种“谈题色变”的面孔，而且又有较好的区分度．本题从表面看来是一个针对几何的相关知识进行考查的问题，但从试题的更深层次来理解，可以看到：在所有动态几何问题中，除去由于说理的需要而必须进行相关的合情推理论证及演绎推理外，更多的情况下还会遇到其运动变化过程中相关特殊位置的研究，而对这些特殊位置的研究常常是和几何问题的量化描述密不可分的，而其量化的描述一般会用到函数、方程或不等式．另外，还强化了对数形结合及用代数方法解决几何问题能力的考查．
（二）与命题者商榷
2008年江西省数学中试卷仍有可更加完善之处，特提出与命题者商榷：
1、仍有一些重要知识点或定理未考查到，如垂径定理，三角形中位线定理，直线与圆的位置关系等．
2、T16是今年第一次选用的多项填空题，解答的要求最好能添上说明：（可能有若干个正确答案，填对全部正确答案得满分；漏填答案的依次扣分；但多填错误答案的则判零分．）
2、圆的知识点考查过于简单，多种图形与圆的关系过于淡化．
3、T19概率题，第（2）问中若将两个计算器和两个保护盖放在一起搅匀，再从中随机抽取两个，得出的“Ba”与“aB”应该是同一种类型吧？这与给出的参考答案所列的树状图便会能所不同；T21文字表达不够简洁，图形放置不尽合理，“30米”可以是一个多余条件；T22已知△ABC是⊙D的内接三角形，点C是优弧AB上一点，括号中的补充条件（点C不与A，B重合)，则显得是多余的；T24有计算器的考生占了太大的优势，违背了江西省中考数学研讨会初拟定：“计算器的计算量≤5分”的约定；第（3）问题设置8个空过多，计算量过大；T25中画出点的运动所形成的大致图形，不太好把握评分尺度．
4、T23的数学教育意义巨大，解答的开放自由度太大，不宜作为中考试题；本卷的开放性试题太多、太大，给阅卷带来很多不便．
5、与往年江西省中考试卷相比，今年在第一、二大题缺少出现精美、小巧的“靓题” ．
五、对以后几点教学建议：
1、重视基础教学． 数学的基本概念、性质、定理、思想方法是数学知识的核心，也是各种能力的基础．因此，在新授阶段必须把课标、教材中的基础知识、基本的数学思想方法牢固掌握，引导学生对知识进行内化；在初三数学复习教学中，必须扎扎实实地夯实基础，通过系统的复习，使每个学生对初中数学知识能达到课标中所规定的四个层次的能力要求；在应用初中数学基础知识时要做到熟练、正确和迅速．需要注意的是：（1）切忌“死教”与“教死”，要加深对基础知识的理解，并能灵活地用于各种情境中；（2）重点知识要重点抓，做到融会贯通，透彻理解；（3）帮助学生把各个局部知识按照一定的板块和方法进行梳理，形成知识链．
2、注重过程，提升能力． 教学中，要将数学教学作为一种数学思维活动来进行，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程．让学生在参与数学思维活动、经历知识产生发展过程，逐步提高数学能力：（1）重视动手实践能力和创新意识的培养；（2）重视数学语言（文字语言、符号语言、图形语言和图表语言）的互译的教学；（3）重视合情推理能力的培养；（4）重视思维训练，突出数学思想方法的教学；主要数学思想有：数形结合、分类讨论、特殊与一般、转化化归、方程、函数、概率与统计等思想，特别是转化思想； 常见解题方法有：配方法、换元法、待定系数法、几何图形的面积割补法等．
重视和强化学生能力的培养显得尤为重要，要通过发挥教研组的集体智慧、转变教学观念、提高学生的参与度等各种途径，切实加强学生的能力形成．
3、关注生活，学会思考．《数学课程标准》特别强调数学背景的“现实性”和“数学化”， 能用数学眼光认识世界，并能用数学知识和数学方法处理解决生活中的实际问题．教学中要经常关注社会生活实际，编拟一些贴近生活、贴近实际、有着实际背景的数学应用性试题，引导学生学会阅读、审题、获取信息、解决问题；将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用；引导学生在问题解决中，体会数学与人类社会的密切关系，增进对数学的理解，启迪学生平时关心生活，关注社会，特别重视方程、函数、统计和解直角三角形在生活中的应用．让学生学会思考是从根本上提高成绩，解决问题的良方．这里讲的不是“教会学生思考”，而是“让学生学会思考”，教师能教的，是思考问题的方法和策略，然后让学生用学到的方法和策略，在解决具有新情境问题的过程中，感悟出如何进行正确的思考．
4、关注改革，把握方向．无论是纵向看我省近几年的中考试题，还是横向比较当年各地的中考试题，可以发现中考数学试题的改革力度越来越大．归纳起来，需要关注的主要有如下几个方面：
（1）实施素质教育中对评价内容、评价方式、评价标准、评价观念的改革要求．学科评价标准的内容：是否体现新的评价理念，是否着力引导课堂教学改革，是否在创新上有所作为，是否符合数学学科的特点．考试原则：依标据本体现基础性，命题素材体现公平性，试题背景具有现实性，知识考查具备有效性．
（2）新的数学课程标准对数学教学的改革要求，如数学课程标准指出：“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力.”于是，初三数学复习备课时，就应反思在新授教学中，对照课程标准，还有哪些不足，如何弥补．又如数学课程标准中强化的内容，现行初中数学教材中相应的内容复习中有没有适当强化；标准中降低要求，甚至已删去的内容，复习中是否已适当降低要求，至少不能再拨高了．《新课标（修改稿）》提出“四基”中新的“基本的数学活动经验”，如何体现与落实？值得在2009年起的数学中考命题中琢磨与思考……
（3）题型的多样化问题．在近三年的中考试题中，几乎无一例外均有情境新，题型新的试题，在教学中，对这些问题要作深入的研究，理解其命题的思想和命题的方法，探讨这些问题的解法规律，设计更有利于学生理解和掌握的教学方法，切实提高教学实效．
（4）随时关注上级教研部门对中考改革的指导意见，要根据最新指导意见及时调整复习要求和复习安排，以保证初三数学复习教学有正确的方向，防止无效教学。增强试题与社会实际和学生生活的联系，注重考查学生在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力，要为学生的合理创造留有空间．
5、科学训练，注重实效．初三数学复习教学，时间紧，任务重，要求高，但切切实实提高复习实效才是复习教学的最终目标．首先，任课教师要有强烈的质量意识；其次，要认真探讨和研究确立有效的复习计划和复习方法，各校要因地制宜地拟订好复习计划，备课组内要群策群力，不断研究和改进复习方法，切忌走过场式地搞复习教学；最后，要加强校际交流，校际间除了竞争关系外，更重要是合作关系．
六、对2009年数学中考命题的建议
1、要继续保持近三年的命题风格，加大对“三基”的考查．
2、重点知识点还要继续重点考查．
3、难度保持在近三年平均水平上，填选题的计算量不易过大，控制前面的答题时间．
4、圆的知识考查可适当提高一点份量，而函数难度控制较好．
5、开放题的自由度不宜太大．
南康市教研室 黄瑞英 南康市五中 曾祥尤
赣州市教研室 林望春
2009年2月重新修改
比率
分数段
图1
图2
图3务本，求实，守正，出新
――2009年中考复习与评价略谈
喻汉林 y6180@ ( mailto:y6180@ )
1、 务本。
（1） 教学：以学生为本，为发展服务。
﹡﹡若能真按中考评价所倡导的方向去复习，则既能减轻学生负担又能提高学生素质。
1. 了解学生，以从学生实际出发为要领
美国著名教育心理学家奥苏伯尔:“如果我不得不将所有的教育心理学原理还原为一句话的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生的原有知识状况进行教学”。
怎样了解？通过各种学习活动中的学生表现来了解。
例1（Ⅰ）（青海）化简：.
（Ⅱ）（青岛）用配方法解一元二次方程：x－ 2x － 2 ＝ 0．
例2（Ⅰ）下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是（ ）
（Ⅱ）如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，．
（1）当时，求的度数；
（2）猜想与之间的关系，并给予证明．
随说：双基理解、掌握了没有？有多少学生掌握了？未掌握的困难所在？在这些活动中，学生有怎样的心智活动表现和情绪表现？追溯到最初未掌握的地方，并从这里开始。当前教学最大的困难之一，是一些学生讨厌学习。
2. 遵循规律，以促进学生发展为要务
（1）不要干扰学生的数学思维
（章建跃老师的建议与所模拟的学生的心理活动）
①思维需要合适的问题情景——老师，我不是三岁的孩子，也不是数学家，请在设置问题情景时，能够让我“跳一跳，够得着”；
②思维从问题开始——老师，不要总是您提出问题让我们回答，请给我提问的机会；
③独立思考需要安静的环境——老师，提出问题后，您可以先看一看窗外的风景，让我先理解一下题意，先让我自己独立思考一下，您为了不让我们走弯路而“喋喋不休”的引导，实在是对我们思维的干扰；
④有深度的思维需要充分的时间——老师，提出问题后，请给我思考的时间，不要马上让我回答，请您耐心点，别逼我；
⑤让学生完成关键的概括活动——老师，有了这些具体例子为基础，我也能概括出一般的规律，请把发现的机会让给我；
⑥数学思维是以概念的发生发展过程为线索的，要体现前后一致的思想方法——老师，如果我理解了概念，通过解答一定量的题目，让我有反思解题过程的机会，从中总结概括基本思想方法，那么“什么样的题目我都能对付”，请不要用“题型”限制我。
（2）“最近发展区”及其对教学的意义
“最近”――最近学生的原有基础，教学活动开展的起点。目标明确，目标准确。
①在新课程推进的背景下，起点应该有新的内涵：起点不是一维的，而是三维的，即不但有“知识与能力”的起点，还应该有“过程与方法”和“情感、态度与价值观”的起点。
②学生是有差异的，因此，应该关注大部分学生起点，同时在教学中，尽可能关注每一位学生。
③如果能把学生原来的“相异构想”（ 与正确的概念及思维方法大相径庭的想法）显现出来，与正确的认识“碰撞”，再放入学生的脑中，这样的教学才是启发。才是有意义的学习。否则，如果仅仅告诉学生什么是正确的，而“相异构想”尚未得到纠正。
﹡﹡出错是正常现象――宽容。课堂本来就是出错的场所。纠正错误正是走向真理的开始――从错误中学习。暴露自己的错误。让学生展现所有错误――不仅仅是展现正确好的。
例3 观察函数y＝2x-5的图像，回答下列问题：
（1）x取何值时，2x-5＝0？
（2）x取何值时，2x-5＞0？
（3）x取何值时，2x-5＜0？
（4）x取何值时，2x-5＞3？
练习：如图，是函数y＝－2x－6的图像，看图回答问题：
（1）当x 时，－2x－6＞0？
（1）当x 时，－2x－6＜0？
A：x＞3，－2x－6＞0？，……
B：x＜3，－2x－6＞0？，……
T:同意B的举手？－2x－6就是谁？s：y
T：有没有其他方法求解？
反思：（1）A只是形式上的“学会了”，所以不会变通。（2）举手的办法不是确定真理的标准。（3）有了一致的认同，并不一定懂了。（4）这里的本质与重点是有没有其他的求解方法吗？用函数观点（本质上不是方法层面）观察一元一次不等式、一元一次方程及二元一次方程组时，建立了一个从整体观察局部、数形结合的方法：解不等式时，只要求解相应的方程就可以了（确定界点），以后只要观察图像便能解决问题。即用方程获得精确的解，数形结合的方法获得求解不等式的思路，同时也避免了解不等式变号可能出现的错误，还避免了三次重复地做一个相似的问题。（4）转化： x轴向上平移3个单位。
拓展：如下图，已知：y1＝2x-5和y2＝，请回答下列问题：
（1） x取何值时，y1＝y2？
（2） x取何值时，y1＞y2？
（3） x取何值时，y1＜y2？
（4） x取何值时，y1－y2＞3？
S：（学生几乎全部用的是解的方法）
T：（2）（3）还有没有其他方法？
反思：（1）学生明显地习惯于代数方法，并认为这样才能准确地确定问题的解？而笼统地认为图像法并并提供解决问题的技术。（2）用函数观察，这里解不等式问题意味着什么？似乎未明晰。（3）朝哪里拓展？数形结合的解决问题（4）是更有意义的。转化：y1＞y2＋3或y1－3＞y2。
④“过程与方法”的效果往往不能即刻凸现，并且往往不是显性的，而是隐性的。所以要增强计划性。
⑤哪些是已经懂了的，哪些是易懂的，哪些是困难的，哪些是易误解的，哪些是能力的生长点，在易误解的、困难的、生长点上着力是提高效率的关键。知道的不讲，易懂的少讲，难懂的、有价值的地方多花力气。
⑥造成认知冲突。只有产生认知冲突时，问题才对思维的发展有益。
⑦让学生展现自己的才华，而不是教师展示自己的才智。
（3）让学生学会思考、学会探究。
探究精神是课堂的灵魂，唯有探究才能培养思想者和批判者，没有探究的教学只能是训练。探究学习的意蕴：思考、质疑、批判、欣赏、创新。让探究成为课堂教学的常态。
（4）提升学生的学习体验:激发情趣。
良好的态度与良好的师生关系：①宽容，接纳学生；②重视，尊重学生；③相信，依靠学生。
建立“自由、民主、宽松、和谐”的课堂文化。
关注学生的感受，让学生觉得：学习数学是有趣或值得做的事情。
例4 教师对学生影响的两个例子：
一位留美博士、20年前的学生回校探望老师时说：“您当年课上的‘挖小妙’(挖掘问题中小小的妙处，注意每个细节)20年来我一直在用着，天天用，而且越用越管用!”
另一位千万富翁的企业家在教师节给老师的贺卡中写道：“您的‘瞄准靶心——射击’（看问题要把握中心、抓住本质）一直影响着我！您在课堂上教给我们的思考问题的方法，让我们一辈子受用无穷。”
（5）突出学生的主体作用。
一位特级教师给自己立下了“三不教”原则，即：
①凡学生自己看书能懂，不教；
②凡看书不懂但自己想想能够弄懂，不教；
③想想也不懂但经过学生之间讨论能懂，也不教。
洋思“之教”三点：
①教的内容应该是学生自学后还不能掌握的地方，即自学中暴露出来的主要倾向性的疑难问题，对学生通过自己已掌握的，一律不教。
②教的要求，不就题讲题，只找出答案，而要寻找出规律，真正让学生知其所以然。还要引导学生预防运用时可能出现的毛病。
③教的方式都让已掌握的学生先讲（即使倾向性问题，也可能有人会），如学生讲对了，教师肯定，不必重复；讲得不完整、达不到深度的，教师要补充；讲错了的，教师则要更正。这样，教师讲的时间就少了，一般不超过5分钟，但能通过补充、更正的方式达到解决疑难问题的目的。
（2） 评价： 为学生展示学习成果提供舞台
1. 合理、科学地评价学生
2. 使不同学生得到不同的发展表现
3. 有效控制难度，努力降低难度。努力控制文字量，尽量减少文字量。
4. 评价方向：基础性，层次性为主体。加强以基本功为重点的基本素养的考查。
样卷表现：以不同形式，强化对双基的考查。
例 5（Ⅰ）二次函数的最小值是 .
（Ⅱ）如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 。
（Ⅲ）如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上,他发现∠1+∠2= 度.
说明：中考试卷中，基础性的、常见试题应当占有较大的比重。同时，出现少量有点创意、难度不大的小题是必需的，它可引导教学更灵活地加强基础内容的教学，也可以对学生施以更客观的评价。选择题往往能对概念等的理解施以有效考查，填空题往往能对简单技能的掌握情况施以有效考查，因此，选择题、填空题等是考查简单双基的主体。
2、 求实
（1） 教学：夯实基础，提高实效
1.不实现象：（1）追求一步到位。（2）难度盲目拔高。（3）迷信大容量（4）迷信快节奏。（5）少数人表现，多数人当观众。（6）表面上热闹。（7）课堂上无事可干，或干不了。（8）心游他方。
﹡﹡教师困惑：方向是什么？方向会不会变？讲了做了很多，似乎没有多大用。做了懂了1000道，第1001道可能还不会做。是深挖？广猎？还是重在探究与能力？
2.求实之道：不仅是训练。聪明人下傻功夫。
辨析：是先讲后做还是先做后讲？是模仿还是探索？不能简单而论，一概而论。
（1）勾画知识树。――突出主干，理清关系，关注交汇点
由谁画脑图？老师？学生？。学生交流复习脑图，抖出。
（2）突出核心知识，淡化非本质内容
﹡﹡哪些是核心的？哪些是本质的？
核心即主要部分。本质即根本属性。
例6 （Ⅰ）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．
（Ⅱ）如图，点的坐标分别为（0，1），（，0），（1，0），设点与三点构成平行四边形．
（1）写出所有符合条件的点的坐标；
（2）选择（1）中的一点，求直线的解析式．
随说：枝末知识点了解即可，使用过的特殊情境不再是关注的对象。核心的知识，常用的技能，思想方法应是关注的重点。
（3）突出通性通法，淡化特殊技巧
例7 谈数形结合思想的教学
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。数形结合是一种意识：能否在需要时建立这种联想。是一种思想：联系与转化的思想。是一种能力：借助数形结合解决问题的能力。是一种思考的方式，一种联想的方式、转化的方式：由数想到形，由形想到数；将数的问题转化为形的问题，将形的问题转化为数的问题，然后回到原问题的解决。
数形结合思想的形成需要的是一个有计划的、循序渐进的、螺旋上升的、多次反复的过程。
数形结合的主要方法，即数形结合的桥梁是数轴和坐标系，A(5),B(-1,6)便是两者的简洁表示。数形结合的基础：点与坐标的一一对应性。
数形结合有两大领域：解析几何：用代数来研究几何图形；函数：用图像来研究性质。
作用：表示。解释。用于解决问题。
对数形结合的理解有三种：
狭义的理解。数的基本元素是指数、坐标、方程、函数等。形的基本元素是指点、直线、圆、曲线等。数形结合就是将数与形联系起来。主要是以坐标为桥梁，一一对应关系为基础。通过“以形助数”或“以数解形”， 相互为用，解决问题：形直观形象，数准确入微；形定思路，数来定解。
广义理解1：狭义中的数形结合，加上特殊代数式、等式、不等式等所反映的几何意义，以及特殊图形所反映的代数意义等。后者可与坐标无关，但有表示、解释的作用。
广义理解2：数指狭义中的数，加上数据。形为几何图形和统计图形。
数形结合通常是以狭义的方式来理解的。有时也在狭义1上使用数学结合。初中数学中与数形结合有关的内容有：
数与代数部分：（1）数轴 ；（2）整式乘法运算。（3）公式；的几何背景。(4)能用观察、画图等手段估计方程的解。（5）会用数轴确定一元一次不等式组的解集。（6）函数的图像表示；（7）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。(8)会画一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的图象，根据一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的图象和解析表达式理解其性质，会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴。(9)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。等等。
﹡﹡运动与函数之间的联想：函数是刻画由运动而引起的变量之间关系的模型；运动是其引起的变量间的函数关系的载体。
空间与图形部分：从广义上讲，有度量存在的几何问题都是具有数形结合特征的。线段及其长度，距离，角及其大小，周长，面积等。度量在初中有两个系统，基于长度的度量与基于角的度量。
（1）角度的和与差计算。（2）三角形的内角和等。（3） 勾股定理及其逆定理。（4）平行四边形→→矩形→→正方形，或平行四边形→→菱形→→正方形的度量刻画。（5）点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系的度量刻画。（6）圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征的度量刻画。（7）孤长及扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积。（8）平移的距离，旋转的度数。（9）线段的比、成比例线段与黄金分割。（10）相似比。位似比。（11）锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，30°、45°、60°角的三角函数值。（12）平面直角坐标系；在给定的直角坐标中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。感受图形变换后点的坐标的变化。等等。
具体办法：（1）用好每一道精选的试题，讲清“要点、易错点、联系点”。（2）将能力、思想的培养渗透在每节课中。（3）在系统思想指导下确定好每一阶段、每节课的具体而又适宜的目标（该调整时调整），循序渐进，落实到位。（4）分类：将学生分类；将存在问题分类；将练习分类；（5）集体备课。……
“量不在多，典型就行；题不在难，有思想就灵。”
“教师跳进题海，学生跳出题海。”
例8 已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是
，（其中为常数，且）．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）若抛物线相求值；
（3）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（4）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．
随说：由数到形，由形到数。
（2） 评价：抓住核心与主干，提高效度与信度
﹡﹡考试问题：做不完；做不全；做不规范；做不来。
﹡﹡从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题。
﹡﹡评价要求：不吓唬学生，努力平实些。
样卷表现：常规计算、推理论证能力等的考查仍是考查的重要内容。
例9（Ⅰ） 解方程组：
（Ⅱ）如图,已知平行四边形ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,延长BA至E,使EA=AB,连结EC,交AD于F.
（1）试用实线连结图中已标明字母的两个点,画出使图中出现直角三角形的所有情况;
(2) 请在(1)中选择一种情况证明.
（Ⅲ） 某班组织20位同学去帮助某果园的果农采摘柑橘，任务是完成720千克柑橘的采摘、运送、包装三项工作，根据实际情况将三项工作的人员分配和每人每小时完成某项工作量制作如下统计图：
（1）按照图1的人员分配方案，已知各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克柑橘？并补全图2中的条形统计图；
（2）若他们一起完成采摘任务后，小明同学将20人分成两组， 由一组先运送，另一组再去包装，且每人每小时完成某项工作量与（1）中相同.结果当包装组在运送组完成任务所花时间内还有80千克的柑橘还没有包装，试问小明是怎样将人员分配的？
说明：常见、常规题的分值约占60%以上；中档题及较易题分值约占70%以上。
样卷表现：对应用意识与能力的考查保持应有力度
例10 （Ⅰ） 如图是三副拉力器（拉力器除弹簧的根数有差异外其它都相同），拉力器弹簧部分的长度会随着拉力大小的不同发生变化.自然状态下,弹簧部分长均为28 cm. 经测试发现，当作用于甲拉力器的拉力为360N时，拉力器弹簧部分长58cm.设作用于弹簧的拉力为x(N), 弹簧长度为y (cm).
(1)求拉力器的一根弹簧中y关于x的一次函数表达式；
(2)小明尽力只能将乙拉力器弹簧部分拉至48cm长，而小亮尽力一拉，却能将丙拉力器弹簧部分拉至58cm长，于是小亮说自己的拉力比小明大，你同意小亮的说法吗？说明理由.
（Ⅱ） 2008年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：
（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？
（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？
（3）求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式．
说明：成也审题，败也审题。对应用意识与能力的考查是新课程标准关注的重要内容，也是新课程标准的一个。
3、 守正
（1） 教学：激发与启发，引导与指导
﹡﹡数学之妙在于理，教学之道在于度﹡﹡
1.不正现象：（1）课堂教学→“题型教学”→“刺激——反应”训练。有的教师试图通过“题型教学”穷尽“题型”，幻想通过“题型”的机械重复、强化训练，让学生掌握对应的“特技”和“动作要领”而提高考试分数。对具有普适意义的、迁移能力强的“根本大法”——数学思想方法的教学，却因其不是“立竿见影”，需要较长时间的坚持才能奏效，是一种潜移默化、润物无声的“慢工”，被有些老师判为“不实惠”而得不到应有的渗透、提炼和概括。结果是在稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活应用数学知识解决问题的能力成为“泡影”。 “讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”。
（2）例题教学替代概念的概括过程。认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”——面对新情境时无法“透过现象看本质”，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。
（3）能力异化（技能化）问题。――尽量使之程序化、技能化。“一个方法，三项注意事项”。
（4）将复习课上成压缩后的新授课，或上成单纯的练习课。理解变成了记忆，探究变成了听懂。
（5）按照现成资料，无删无增，照本宣科，看题讲题。
2.办法：（1）“不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题”，回到基本思想，回到基本想法；（2）加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。（3）“题型”、与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，“巧”是教不会的，要靠学生自己琢磨；（4）追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，要强调思想指导下的操作。（5）整体把握，复习引入，思考延伸课外，引发课后的讨论。（6）防止水平下降。坚持为理解而教，为发展而教。（7）自然的延伸。（8）“举一反三”，“举三反一”。（9）“控制”自己的讲解。
3.有效教学的铁律：
（1）先学后教——以学定教
（2）先教后学——以教导学
（3）“温故知新”——学会了才有兴趣；重新认识，有所提高。
4.其他观念：多与少（量）。粗与细（讲授）。小与大（方法）。远与近（目标）。高与低（观点）。理与例（内容）。明与暗（思想）。善与恶（情感）。接受与探究（方式）。
﹡﹡例子的选择至关重要，“一个好例子胜过一千条说教”。
﹡﹡“细节决定成败”――设问，选题，概念等细节。
（2） 评价：考数学素养，非展示作品
问题与困惑：（1）辅助线问题、删去内容问题、新增内容问题、计算器问题、带好备用纸片等问题等怎样处理？（2）有人认为：近几年中考有看重不等式，看轻方程趋势，对否？二次函数应用题近年考得很少，是否应当加强？――重要的是建模，而点落何处，应由问题自然引出。（3）基础（基本核心主干）与探究等（基础外）的比例如何？基础：探究等的比例约7：3。探究等也分为中等与较高两个层次。
样卷表现：对探究能力的考查受到高度重视
例11 （Ⅰ） 如图，在△ABC的外接圆中，BD平分∠ABC，DB⊥FB, D、F在△ABC的外接圆上，连接DF交AC于G.
(1)根据图中已知条件，试写出三个不同类型的正确结论(不再添加辅助线和字母)；
(2) 若DF=9，sin∠DBC=，求AC的长.
（Ⅱ）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为斜边AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CD，作EC⊥DC，且EC = DC，连接AE．
（1）求证：∠E＋∠ADC＝180°；
（2）猜想：当点D在何特殊位置时，四边形AECD是何种特殊四边形？说明理由．
说明：开放与探索是发展学生创新思维能力的两大方面，这既是数学课程的潜在目标，又是数学独特教育功能的重要方面，因而中考中理应关注并加强。这一直是我们所关注的重要内容，教师们应予以高度重视。
4、 出新
（1） 教学：源于反思，成于改进
﹡﹡有所设想，有所尝试，有所反思，不断改进
例12（苏州）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：
… 0 1 2 …
… …
根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时， ．
例13（南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
随说：如何教才能使效果最大化？――长远与全体为重。
* 在知识生长点处引入； 在知识结合点处展开；
* 在知识关键点处引伸； 在能力提高点处设疑；
* 在有价值处思考讨论； 在困难处点拨与分析。
（2） 评价：新为考能力，新为导教学
样卷表现：中等新颖试题关注度有所上升。
例14 阅读下列计算程序:
（1） 当x0=1200时,输出的y值是多少
（2） 问经过二次输出才能输出y的值,求x0的取值范围.
样卷表现：综合题重在能力与数学素养的考查
例15 如图，在直角坐标系中，A（0，），点P是第一象限平分线上的一动点，设OP =n.
(1)用含n的式子表示P点坐标；
（2）连接AP，过P作PC⊥AP于P，并交x轴于C，又分别过C、A作CD⊥PC于C，AD⊥DC于D，
①求证：四边形APCD是正方形；
②设四边形APCD的面积为S，试求出S与n之间的函数关系，并求当n为何值时，S最小？
例16 在正方形网格中，多边形的顶点均在小正方形的网格顶点上，且多边形的边都不与网格线重合，我们把这样的多边形称为格点斜多边形.
命题的提出：某课题学习小组在探究格点斜多边形的性质时得到如下命题：格点斜多边形内部水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等.
命题的证明
（1）如图①，在6×6的正方形网格中，△ABC是格点斜三角形.求证：△ABC内部的水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等.
（2）如图②，在n×n的正方形网格中，设格点斜三角形ABC内部有水平线段k条，且线段长度（从上至下）依次为a1、a2、a3、…、ak－1、ak，有铅直线段m条，且线段长度（从左至右）依次为b1、b2、b3、…、bm－1、bm.问：a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak＝b1＋b2＋b3＋…＋bm－1＋bm成立吗？请证明你的判断.
（3）如图③，在6×6的正方形网格中，请画出一个格点斜四边形ABCD.问：格点斜四边形ABCD内部的水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等吗？说明理由.
（4）在正方形网格中，格点斜n边形内部的水平线段长度之和与铅直线段长度之和相等吗？（不必说明理由）
随说：新而得当才好，新而符合实际才行。
总结：能力需要基础，成功需要方法。
祝愿：学生在考试成功中开心，教师在学生成功中微笑。
A
BA
CA
DA
EA
58cm
28cm
甲拉力器
48cm
28cm
乙拉力器
28cm
丙拉力器
58cm
A
B
C
图①
图③②①
C
B
A
图②③①
（第8题）
A．
B．
C．
D．
x
y
35°
O
A
B
C
A
C
B
2
1
1
2
O
B
B
O
A
x
y
图21
A
B
C
D
O
y/km
900
12
x/h
4不同类型的学生需要不同的教育和学习方法（提纲）
——兼谈江西省2009年数学中考复习策略
赣州市教研室 林望春
linwangchun@ ( mailto:linwangchun@ ) 13970766886
一、引言：
教育案例：有位家长带着读初一的女儿去作教育心理咨询：我这女儿听到过的东西一遍就能记住，上课老师讲的东西就能记住，但背课文很慢、数学公式老记不住，你说怪不怪？究竟是什么原因？
家长例举的这个案例并不奇怪，因为她属于典型的听觉学习型，听觉注意力和听觉记忆力很强，善于倾听，听过就能记住，但视觉注意力和视觉记忆力很弱，看过的东西不容易记住。
研究发现，人的学习类型分为：视觉学习型、听觉学习型、听觉·视觉综合学习型、视觉·运动综合学习型、视觉·触觉综合学习型等。视觉学习型：喜欢看，视觉注意力视觉记忆力都非常棒，看过就能记住，做作业考试比较细心认真，但听课效率不够高；听觉学习型：喜欢听，听过就能记住，听课效率相对较好，但在背课文、记单词方面则较弱，容易看错题、看错数字、符号，甚至漏看漏做题等；视觉听觉综合型，则视觉听觉注意力记忆力平衡发展，两种感官参加识记，听课、学习效果较好；视觉·运动综合学习型，在学习时喜欢配上一些动作，如摇头晃脑地读书背书、边走边看书、做作业考试时喜欢转笔等等；视觉·触觉学习型，喜欢东摸摸西摸摸，什么都想用手去感知，喜欢做实验，做到摸过的就特别容易理解，容易记住。
在此案例中，教育心理专家给这位女生做了全面的学习能力和学习类型测评，发现她听觉注意力记忆力超强，而视觉注意力视觉记忆力超弱。于是帮助她的方案是：一方面有针对性地进行视觉注意力和视觉记忆力强化训练，一方面是一边听录音，一边英语单词或英语课文，听和看相结合来提高背课文、背单词的速度。经过40多天的训练，这位家长打电话告知：孩子背课文、记单词的速度快多了，平时做作业看错、写错现象也减少，月考成绩明显进步。
所以，了解孩子的学习类型，指导孩子用适合自己学习类型的学习方法来学习，对提高学习效率和学习成绩很有帮助。
二、尝试进行“学生教育学习方法问卷、学科测试综合调查”
三、数据、试题的信息的收集整理，得出一般性的几条结论：
四、一组可供复习选用的好的数学试题
五、九年级数学总复习的几点思考
二、九年级学生数学学习情况调查试卷
第一部分：问卷（以第一人称作答） 完成时间： 20 分钟
亲爱的同学，请你如实地完成下面的问卷和试题；我们将用于教育科学与心理学调查，并不针对你或老师进行评价，谢谢你的合作。
1、我是（ ）
A、男生 B、女生
2、我觉得数学（ ）
A、非常有趣 B、比较有趣 C、不怎么有趣 D、枯燥无味 G、其它： .
3、我对我的数学老师喜好程度？①初一时（ ）；②初二时（ ）；③初三时（ ）．
A、非常喜欢 B、比较喜欢 C、一般 D、不喜欢
E、原因是：① ；② ；③ .
4、在初中三年各阶段，我的数学学习成绩（ ）
A、总是处于上游 B、多数处于中上游 C、多数处于中游
D、多数处于中下游 E、多数处于下游
5、在初中数学学习过程中，老师或家长对我的态度是（ ）（可以填两项）
A、经常鼓励我 B、很少鼓励我 C、经常批评我
D、经常帮助我 E、很少帮助我 F、很少关注我
G、其他: .
6、上课前，您会提前预习、并提出问题吗？（ ）
A、经常预习并提出问题 B、只是提前翻翻看看
C、老师布置预习才去看看 D、老师教到哪看到哪
7、您习惯查找与书本知识相关的资料吗？（ ）
A、在预习的时候找 B、有兴趣的时候找
C、老师布置才找 D、没有条件，一般不找
8、您参与课上讨论的情况是（ ）
A、经常参加 B、有时参加 C、偶尔参加 D、没兴趣参加
9、我对自己性格特点的描述是（ ）（选两项）
A、我活泼好动 B、我比较内向，喜欢独处 C、我喜欢与同学在一起
D、我的好胜心很强 E、我的好胜心较强 F、我常规性地完成任务
G、其它： ．
10、在学习过程中 ，我经常性的表现是（ ）
A、喜欢思考问题, 经常向老师、同学或家长提出自己的一些问题或想法
B、有人向我提问题我就想，没有人向我提问题我就不想
C、数学问题比较难，我不愿动脑筋想问题 Ｄ、其它： ．
11、学习中遇到问题时，我通常是（ ）
A、先独立思考，力求自己解决 B、久想不能解决后，就去问老师或其他同学
C、不愿多想，就去请教老师、同学或家长 D、自己解决不了就算了
E、其它： ．
12、做错的作业，您每次都会重新再做一遍吗？（ ）
A、一定会 B、大部分时间会 C、偶尔会 D、从来不会
13、在上课时，您习惯采用那种方式做笔记 （ ）
A、不停地记笔记，课后再复习 B、认真听老师讲解，偶尔记笔记
C、不听老师讲解，自己看书学习 D、只听老师讲解，从不记笔记
14、进入初三总复习学习后，我对学好数学 （ ）
A、很有信心 B、比较有信心 C、信心提高了 D、信心不足 E、没有信心
15、对于数学学习，你很想对科研命题部门、学校、老师、自己或家长说几句心里话是：
，
，
，
；
。
赣州市教科所、教研室 初中数学组
2009年2月~3月
第二部分：九年级数学测试卷 （满分值120分，完成时间60分钟．）
温馨提示：①解答下面的试卷，以数学中考时的试题量、时间量的一半来模拟测试；②解答时首先仔细审题，其次理解每题的相关知识及解题程序，最后提升至用数学思想方法来解决问题。
一、选择题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．）每小题有且只有一个正确选项，
请将正确选项的代号填在题后的括号内．
1．计算的结果是（ ）．（2008年江西省中考第4题）
A．12 B．4 C．2 D．
2．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）．（2008年江西省中考第8题）
3.已知反比例函数的图像如图，则它关于y轴对称的图像
的函数关系式为（ ）．（2009年江西省样卷）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，以点P（2，3）为圆心，3为半径的⊙P 必定（ ）．
A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相交，与轴都相离
C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相离，与轴相交．（08年南昌第8题，变式）
5. 小明早晨从家里出发跑步晨练，他不间断的匀速跑了20后回到家．已知小明在整个晨练途中，他出发后t min时，他所在的位置与家的距离为s km，且s与t之间的函数关系的图像如图中的折线段OA-AB-BC所示．则下列图形中可大致表示小明晨练的路线的是（ ）．
二、填空题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
6．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过右腰上一点，
沿与这条腰垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，
则四边形中，最大角的度数是 ．（08江西，变式）
7.（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）用“”与“”表示一种运算法则：（ab）= -b，（ab）= -a，如（23）= -3，则 ．（括号运算优先）（09年江西样卷）
（Ⅱ）用“>”或“<”号填空： 0．（可用计算器计算）（08年江西）
8．如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、
轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），给出以下四个结论：
①；②；③；④．其中正确结论的序号是
_ ．（可能有若干个正确答案，填对全部正确答案得满分；
漏填一个或两个答案的依次扣分；但多填错误答案的则判零分．2008年江西
中考第16题，补充评分要点）
三、（本大题共2题，每题10分，共20分．）
9．先化简，再求值：，其中．
10．如图是由4×4个小正方形组成的正方形网格图案，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法，分别在下图中用铅笔再涂黑三个空白的小正方形，使整个正方形图案成为轴对称图形．
(全画对给10分,若不全对每对一个给3分)（2009年1月江西赣州市统考题）
四、（本题16分．）
11．如图已知：△EFG与△均为等边三角形，且E（，2），（，-2），
问题：
（1）通过对图形观察，下列说法正确的是【 】
A、△EFG与△关于y轴对称；
B、△EFG与△关于x轴对称；
C、△EFG与△关于原点O对称；
D、以F、，、E为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）求同时满足下列两个条件的直线解析式：
（a）经过E、F、中的两点；
（b）所求直线y=kx+b中的k＞0，b＞0.
（2008年4月江西吉安市中考模拟题，由吉安永丰邓武高老师提供，有改动．）
五、（本题16分．）
12．下面的频数分布折线图，分别表示我国K市与J市在2007年4月份的日平均气温的情况:
观察统计图，并解答以下问题：（2008年5月江西赣州市中考适应考题．）
（1）在这个月中，K市的日平均气温的最小值是多少℃？J市的日平均气温的最大值又是多少℃？
（2）本月中日平均气温在14℃以上，K市与J市各有多少天？
（3）你认为本月中哪一个城市的日平均气温较高？请说明理由.
六、（本题20分．）
13、某中学一次篮球比赛中，如图，小明正在投篮，已知篮球A出手时离地面米，与篮圈中心点C的水平距离为7米，当篮球出手后水平距离到4米时，达到最高点B距地面4米；设篮球运动的路线为抛物线，篮圈中心点距地面为3米，如图建立坐标系．
（１）写出A、B两点坐标，并求此抛物线的函数表达式；
（２）问此球能否准确投中
（３）此时，若对方队员小华在小明面前１米处
（即球出手时的水平距离为１米）跳起盖帽拦截，
已知小华最大弹跳摸高2.9米；那么他是否能获
得成功？（2007年5月江西萍乡市中考模拟题，
由萍乡市教研室王美德老师提供，有改动．）
三、不同类型学生的教育、学习方法调查研讨
遵照江西省教研室喻汉林老师的工作布置和提供的资料与思路，赣州市教研室初中组设计了以上一份“不同学生的教育学习方法问卷、学科测试综合”调查卷，利用2009年2月底至3月初，针对我市新课标九年级应届毕业生，先后分层（城市、县级城区、农村初中）抽样调查、测试六个学校（赣州七中、赣州一中、赣州章贡中学、崇义章源初中、南康五中、赣县二中）各一个班级共约350名学生；要求前15~20分钟必须认真回答第一部分“学习、教育、心理问卷”问题之后，随后约60~70分钟完成数学学科测试卷；经过批阅试卷、统计问题答卷，得到一批数据与成绩，简述如下：
一、学科成绩统计：所抽测的350名(做了取整数处理)学生中，男生182人占52%，女生168人占48%；数学学科成绩数据列表如下：
抽测人数 均 分 及格率（≥72分） 优良率（≥96分） 尖优率（≥108分） 低分率（＜48分） 中间层（72~96分） 中下层（48~72分）
男：182人 63.55分 48.35% 25.82% 7.14% 23.63% 22.53% 29.12%
女：168人 58.46分 42.86% 13.10% 2.47% 32.72% 29.76% 24.42%
合计：350人 61.10分 45.71% 19.71% 3.14% 28.00% 26.00% 26.29%
启发：1、试卷的起点略高于中考试题，落点却低于一般意义上的中考试题；实施九年义务免费教育以来，初中学生的基础不容乐观（广大的初中学校，一般情况下初三上学期的节假日均没有补课）！一分两率不好，低分率偏高依然存在；初中学生的数学能力培养不仅仅是在总复习时，更多的是在平时的教学中！
2、平时的测验考试不分男女生、不详细分段统计，此次分层统计有了一些新的印记（当然本测试选取半套中考试题，试题分值较高，复习没有进行完毕一轮，多是下午第二三节课时抽测，…，有一定的偶然性不可排除；是否有代表性？有规律性！但仍然有一些发现是值得斟酌与思考的！）
3、从统计数据看出：如今的初中数学学习状况基本上属于优良生、中间层、中下层与低分后进生四分天下（估计农村乡镇初中不及格率还要更高一些），进入九年级（或总复习阶段）来适当分层教学不无道理，但是精神上的呵护、心理的调节与自信心的鼓励尤其显得重要！
4、试卷中的答题情况与我们的预想有许多的出乎意料！值得我们老师寻求原因？深思（待后叙述）！
二、问卷反映情况：针对学生的“学习、教育、心理问卷”答题之后，分题采集选项、归纳统计、整理分析得出以下一些启发和一般性结论：
启发1、与教师以下方面有密切的关联，程度依次是：教师的人格魅力与态度；教学方法与讲课特点；教师的敬业精神、外在感染力；教师的管理与评价；教师对学生的亲和力等；其他等。
启发2、与学生自身以下方面有较大的关联，它们是：学生的学习品质；学生的学习习惯；学生的学习能力；学生原有的学习数学的信心；家庭的亲情关爱、师生的亲和态度；数学的学习任务；对教师的喜好程度；其他等。
结论1：提升教师的自身修养，以自己的人格感染学生，以深入浅出的讲解吸引学生，以适合学生年龄特点的幽默感来激发学生，是赢得学生敬重、教好学生的重要法宝。
结论2：初中起始年级绝大多数对数学的学习是感兴趣的，为初中数学的学习提供了良好的兴趣准备；各年级的学习兴趣、自信心乃至于成绩有时又有起伏，一般与学生对教师的喜好程度、学习状态或家庭变化都有关联。
结论3：学生的数学学习成绩与教师或家长的关爱鼓励态度有较大的关联：一般意义上的成绩较好者受到的关爱与鼓励较多，成绩后进的学生受到的批评与压力大些，期待得到帮助的份额大。“好孩子是夸出来的”、“脆弱的禾苗需要多一份阳光与温暖”、“对孩子，多一份期许，少一分责备”等——教育铭言应带来家长与老师更多的行动。
结论4：积极的、正面的教育所占比例偏低，不少的学生生活在消极、负面的环境中，作为老师应当思考怎样改善这一状况，以帮助学生更好地成长。
结论5：“活泼好动”与“内向独处”是否是影响学生学业成绩的一个重要因素还难以确定；各种不同成绩的学生都有“期盼老师与同学亲近”的共同心理需求、心理倾向，老师应善于利用这一倾向来改善学生的学习、帮助学生成长；“好胜心的强弱”不是影响学习成绩的必然因素，但完全没有好胜心则是导致学习不良的一个重要因素。
结论6：“经常预习查找资料，经常参与课堂讨论、喜欢思考提问题”等等是非常可贵的学习品质，也是学好数学非常重要的因素，教师应当积极培养这一优良的学习习惯。
结论7：“上课听老师认真讲解，偶尔做好笔记”，“做错的作业，订正或重做一遍”是大多数学生的选择，初中数学教学常规有了较好地执行；踏踏实实做好了，一定有利于学生的数学学习。
结论7：“力求自己解决”或“向人请教”对于学好数学有积极的作用；“不愿多想”或“解决不了就算了”、“只听老师讲解，从不笔记”或“做错的作业从不会订正”，可能是造成学不好数学的一个非同小可的障碍；但“如何听讲与做笔记”，各人方法不完全一致，特别是“把做题、做作业看得比看课本、看书更重要”似乎值得深思，“学习的方法与思维能力如何培养形成”考虑太少。
结论9：测试成绩处于中游或中下游的学生中仍然有较一定比例的学生对数学的学习有信心，这是一个良好的现象；特别是“遇到一个耐心帮助自己的老师”、“总复习的基础问题搞懂了，信心倍增”等言语表达，表明进入总复习的好兆头。老师应充分发掘这一因素，帮助学生进步。学生的自信心与学习成绩上有较高但不是很高的关联。
结论10：同一批学生对不同的测验，可能会表现出不同的结果。在初中数学的评价中，不能以成绩论英雄，成绩不佳的学生中，其数学能力，或其他能力也可能是很强的，作为老师应未来的眼光、更全面的眼光来看待学生、公平地对待每一位学生，而不是扼杀、阻碍成绩不良学生的发展。
建议与心里话一栏，概括如下（一般是一个分号摘录学生一句话）：
1、科研命题部门:2009年的数学中考试题不要太难、太复杂了；我对数学是有信心、有优势的，中考数学可以出的活泼、新颖，但不能太难、文字量太多，我希望我的数学分数考出优势！科研部门命制的数学中考题应该适中一些，不要太难，要以基础题为主，一些从未见过的自创题一定不能太多……；数学试题是越来越难了，特别是函数题……；多出一些新而有趣的试题，以开发我们的思维，不要太难，让我们一看就放弃了！
2、学校要适当的搞一些活动：整个初三连一场电影都没看，也没有去过春游；学校布置作业时请均衡考虑，一天的周末发五、六张试卷，真的看不到做完的希望；希望学校老师多解决一些学生心中的“难题”……。
3、老师要与学生多交流，不要轻视后进生；数学教学不要太死板，应该把较难的题分给较好的学生做，把较容易的基础题分给稍弱的同学做，布置作业可以区别对待吗？写试卷时，我会紧张，我喜欢探究，却心情不静，我该怎么办？
4、我也真的很想学好数学，原因是我的基础太差，我将在总复习时补上基础，让数学不像以前那么差……；我想对自己说：尽管我的数学成绩一直不理想，但我不会轻易放弃，争取在总复习时更加认真、刻苦，中考临近啦，加油啊！
5、我的数学成绩一直不理想，爸妈叫我要考上重点高中，我自己也想考上，但这样的数学成绩能行吗？我经常扪心自问：我真的能行吗？我有很大的困惑！？老爸老妈，我会努力的!我知道您们外出打工很苦、付出很艰辛，我想以好的成绩来回报您……。
四、一组可供复习选用的好的数学问题
一、选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）每小题有且只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内．
1、下列说法不正确的是（ ）．
A．无理数一定是无限不循环的小数； B．；
C．满足的m的整数值是4； D．算术平方根最小的数是0．
2、正比例函数y＝k1x（k1≠0）和反比例函数y＝（k2≠0）的一个交点为（m，n），则另一个交点为（ ）．
A．（－m，n） B．（－m，－n） C．（m，－n） D．（m，n）
3、下面各三角形中，面积为无理数的是（ ）．
4、如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，
则下列结论中，不正确的是（ ）．
A． B．
C．四边形AECD是等腰梯形 D．
5、如图所示是三个反比例函数(x<0), (x>0), (x>0)的图象, 由此观察k1、k2、k3的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
6、分解因式： ．
7、如图，是的直径，且，点P是上的一点，则的度数是 ．
8、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形CD的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段绕点顺时针转过的角度为 度．
9、如图所示的方角铁皮，要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，
请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）．
10、已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论中，
正确的是： ．(只填序号)
①a＜b ② ＞0 ③｜a｜＞｜b｜ ④－a＞1 ⑤－b－a＞2
（有若干正确答案，填对全部正确答案得满分；漏填答案的依次扣分；但填入错误的，则判零分．）
三、简答题：（本大题共2小题，每小题7分，共14分．）
11、关于的不等式组
（1）当时，解这个不等式组；
（2）若不等式组的解集是，求的值．
四、开放、探究题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）
13、在平面直角坐标系中，如图放置
着一个边长为2的正方形ABCD，在
x轴上有一点P沿着x轴负方向移动，
当点P与正方形ABCD的任意两顶点
在一起构成一个等腰三角形时，点P
就会发出蜂鸣声；当点P从远处移来，
直至移动到点O处止.（改编题）
（1）点P会有几次蜂鸣声
(2) 画出所有点P的示意图，求出
所有的点P坐标．(共构造成哪几个等腰三角形 )
14、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
（1）如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点（如图1），求证：AB＝PE＋PF；
（2）如果P是BC上任意一点（中点除外），过P作PE∥AB交AC于E，PF∥DC交BD于F（如图2），那么AB＝PE＋PF还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如果点P为BC的延长线上任意点，（2）中的其它条件不变（如图3），请你猜想写出AB、PE、PF三条线段之间的数量关系．（不需要证明）
五、实际应用题：（本大题共1小题，每小题9分，共9分．）
15、某灯具店采购了一批节能灯，共用去400元；搬运过程中，不慎打碎了5盏，该店把余下的灯在进价的基础上按每盏加价4元出售，然后把所得钱款又采购同一批型号的节能灯（进价与上次相同），但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价？
六、综合、压轴题：（本大题共2小题，第一小题9分，第二小题10分，共19分．）
16、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放的第二象限，斜靠在两坐标轴上，且已知点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），
使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）．
（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；
（2）当为何值时，点落在对角线上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
0.03 0 0.29
0.29 0.13 0.03
（4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点运动所形成的大致图形．
（参考数据：．）
五、九年级数学总复习的几点思考
当前中学数学教学中值得注意的几个问题——上海市教育科学研究院 顾泠沅 杨玉东
① 情境不是外衣，重在促进理解。实际问题经过教学加工才能进入课堂，扯得太远，反而冲淡学生学习的主题。
② 兴趣是动力，但不是所有的数学问题都是有趣的。一味地追求兴趣，重心发生偏移。信心有必要，成功必须大于挫折，但挫折不能等于零，学生一时的误解是重要的教学资源，课上得太顺，教师的教学机智无处发挥。
③ 数学教学不是习题教学。即使是习题，也要疏理每道题的作用与意义，多而无度、缺乏梯度是目前存在的突出问题。
④ 课题学习是不同于寻常知识内容的学习方式。它是一种让学生学会“做数学”的过程，不是教结论、更不是讲解难题。引导学生做数学，老师至少也要学会做数学。
⑤ 探究是高位的理解，好的探究必须讲究基础。合作学习与独立思考相辅相成，什么时候合作才有效应引起大家的重视。（“热闹的交流中缺少了数学本质的思考”这种现象还很常见．）
⑥“具象—表象—抽象”是递进关系。该抽象的时候用具象、做测量反而使思维水平下降；介于具象、抽象之间的表象（如线段图、示意图）思考是促进提升的重要手段。
⑦ 教材常有“混而不错”的处理。但“混”中常有陷阱，混错了对学生会产生误导；教参有时是一家之言，不能迷信，是参考借鉴，不是依据准绳。
★针对学生自己的数学学习情况，建议采取以下一些具体的措施：
1、不抛弃、不放弃 。九年级的数学总复习对于学生来说，总是有不同层次的提高；也可以说：对基础不是太差而又会努力的学生，通过对初中数学的梳理，知识缔结成板块或网络，思想方法提升，数学能力提高，数学整体成绩提高；可谓有“再造之功”。对各层次学生都要说：老师不抛弃任何一位，学生不能放弃了自己！
2、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构。实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
3、记数学笔记。特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的知识交汇点，通法通则等，记录下来。还要记录：本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
4、熟记一些数学规律和数学小结论。能使自己平时的运算技能达到自动化或半自动化的熟练程度。教师讲解时，一定有适量的归纳总结：重要结论，常用方法，规范的步骤；而不会是杂乱无章。
5、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
6、阅读一定量的数学课外书籍与报刊。参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面，涉猎一些新情境的数学问题。
7、及时复习。强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘——遵循德国著名的心理学家：艾宾浩斯“记忆规律曲线”的科学原理。
8、学会从多角度、多层次地进行归类总结。如：①从数学思想分类；②从解题方法归类；③从知识应用上分类等；最终使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
9、经常在做题后进行一定的“反思”。数学问题解答完成之后，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么？为什么要这样想，是否还有别的想法和解法？本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也使用过？
10、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法通则放在第一位。而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要方法。
欢迎批评指正！谢谢！
2009年3月14日
参考资料：
1、江西省教研室 喻汉林老师 《起始年级学生数学学习准备状况分析》
2、历年《全国中考数学考试评价报告》 全国中考数学评价课题组 张远增博士等
3、《试题资料》，赣州市初中数学试题研讨小组：林望春，黄水根，郭元军，黄瑞英，马跃进、赵声洪，李 明、肖 庆等老师
（第2题）
A．
B．
C．
D．
第3题
20 t/min
O
s/km
A B
C
家
家
家
家
A
B
C
D
x
y
O
A
F
B
P
（第8题图）
（1）
（2）
（3）
备用图
A
O
图①
A
O
A
O
A
O
图②
（第8题图）
·
·
1
0
·
·
A
D
C
B
（第4题）
E
F
得分 试卷人
(第9题图)
b
a
-1
·
A
H
F
D
G
C
B
E
图1
图2
B(E)
A(F)
D
C
G
H
A
D
C
B
图3
H
H
D
A
C
B
图4
（备用图）
０
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12
